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SesiónContenidos: 11 Función exponencial. > Elementos de la función exponencial. Gráfico de funciones exponenciales en el plano cartesiano. Profesor: Víctor.

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1 SesiónContenidos: 11 Función exponencial. > Elementos de la función exponencial. Gráfico de funciones exponenciales en el plano cartesiano. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) Primer Semestre 2012

2 Aprendizajes esperados: > Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento, dominio y recorrido, ceros de la función, esboza la gráfica y determina asíntotas, a partir de la función exponencial dada algebraicamente. > Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado verbal), que se comportan exponencialmente.

3 En un centro de estudio de alimentos se está analizando el grado de descomposición de un alimento. Se considera que el alimento está contaminado si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es 512 o más. Si en un comienzo hay una bacteria por milímetro cuadrado y se sabe que esta bacteria tarda cerca de 20 minutos en reproducirse, ¿cuánto tiempo tardará el alimento en estar descompuesto? La función exponencial:

4 Al comienzo hay una bacteria por milímetro cuadrado y se sabe que esta bacteria tarda cerca de 20 minutos en reproducirse

5 La función exponencial:

6 En general, una expresión de la forma f(x) = b kx se llama función exponencial con base b, exponente x y constante k. Evidentemente el valor de x y el de la base dependerá del tipo de bacteria, y en general, estos valores dependen del fenómeno en estudio.

7 La base puede ser cualquier número que no sea uno. En ciencias las bases más usadas son los números e 2,7118 y el número 10. La función exponencial: f (x) = e x f (x) = 10 x

8 La función exponencial: Evidentemente que para bases mayores que 1, cuanto más grande sea, la función crece más rápido. f (x) = 10 x f (x) = 5 x f (x) = 2 x En estos ejemplos hemos supuesto constante k=1

9 Si el exponente es negativo, la función exponencial decrece. Cuanto más grande sea la base, más rápido es el decrecimiento. La función exponencial: f (x) = e -x f (x) = 10 -x f (x) = 0,0002 x

10 Si 0 < b < 1 la función es decreciente para todo x R. Si k < 0 la función es decreciente para todo x R. La función exponencial: Si b > 1 la función es creciente para todo x R. Así, la gráfica de la función exponencial sólo se presenta por sobre el eje x y se extiende infinitamente en sentido horizontal. f (x) = 7 x f (x) = 2 -x f (x) = 0,6 x El dominio de la función es R y su recorrido es R+. La función no tiene ni máximos ni mínimos locales.

11 El número e, esta considerado el número por excelencia del cálculo, como π para geometría e i para análisis complejo. para valores muy grandes de m, con m en los N. El valor numérico de e con sólo 12 decimales es: e = 2, … La función e x coincide con su derivada, como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas. Aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más. La función exponencial de base e :

12 La función exponencial de base e surge en el estudio de crecimiento y decrecimiento de poblaciones. N(t) = N 0 e k t nos indica el número de individuos que tiene la población en un tiempo t. Nota que si k > 0 la función N es creciente y por lo tanto estamos frente a un modelo de crecimiento poblacional. Si k < 0 la situación se invierte y tenemos un modelo de decrecimiento de población. La función exponencial de base e : Supongamos que N 0 es el número de individuos presentes en una población en un tiempo t = 0 y k es un número real fijo, el modelo

13 Una bacteria en el oído medio se incrementa a razón del 2% cada hora. Supone que al inicio de una infección bacteriana estaban presentes 120 bacterias. Determina el número de bacterias N(t) presentes después de t horas. ¿Cuántas bacterias están presentes en el organismo después de 40 horas? Solución: Es claro del planteamiento del problema, que la función exponencial resultante debe ser creciente. Utilizando el modelo Aplicación función exponencial: N(t) = N 0 e k t, y con los datos aportados, obtenemos que: N(t) = 120 e 0.02 t

14 Aplicación función exponencial: Pasadas 40 horas el número de bactérias presentes será de N(40) 267. N(t) = 120 e 0.02 t

15 Aplicación función exponencial: Muchas drogas absorbidas por el cuerpo humano siguen una ley de decaimiento exponencial, debido a que el metabolismo propio de la acción de enzimas degradan sustancias y aceleran sus reacciones de descomposición. Por ejemplo, si N es la cantidad de Nicotina en microgramos por cm 3 de sangre presente en el organismo en el transcurso de t días, entonces N(t) = 457e -0,08t

16 La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después de t años viene dada por una función de la forma Aplicación función exponencial: Decaimiento radioactivo Q(t) = 3297e -0,0001t Al final de años quedan gramos de la sustancia. ¿Cuántos gramos había inicialmente?

17 Curva de aprendizaje Describe la relación entre la eficacia con que un individuo realiza una tarea y la cantidad de instrucción o experiencia que el individuo ha tenido. f(t) = β – αe -kt Donde α, β, k son constantes positivas. Observa que x(0) = β-α, luego, en general β>α. Además, cuando t crece indefinidamente entonces x(t) se acerca cada vez más al valor β ; y como x(t) = β es una recta (paralela al eje del tiempo), entonces esa recta es una asíntota. Aplicación función exponencial:

18 La curva logística Estas curvas son modelos bastante precisos del crecimiento de una población cuando los factores ambientales imponen un límite superior al tamaño posible de la población, o en el caso que los índices de natalidad disminuyen cuando la población aumenta, por ejemplo. También describen la propagación de epidemias, y también aparecen en muchas reacciones químicas y físico-químicas. Aplicación función exponencial:

19 El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t medido en semanas. ¿Cuántas personas habrán sido contagiados en tres semanas? Aplicación función exponencial:

20 La función f en el contexto del planteo del problema, tiene sentido para. Observa que cuando parte la epidemia 125 personas están contagiadas, esto se obtiene de f(0). Como la función es creciente, sabemos que a medida que pasen las semanas el número de contagiados aumenta. Sin embargo después de muchas semanas el número de personas con la enfermedad tiende a estabilizarse en 250. Aplicación función exponencial:


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