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CUARTO AÑO PROFESOR: JAIME H. QUISPE CASAS 2013 AREA : MATEMATICA TEMA : CONECTIVOS LÓGICOS.

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1 CUARTO AÑO PROFESOR: JAIME H. QUISPE CASAS 2013 AREA : MATEMATICA TEMA : CONECTIVOS LÓGICOS

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3 CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones pueden ser: EJEMPLOS: p: Cincuenta es múltiplo de diez. q: La puerta es de madera r : = 15 s: El cuadrado tiene tres lados Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, …., además no existe conectivo lógico alguno.

4 CLASES DE PROPOSICIONES Son aquellas que están formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos EJEMPLOS: a) 29 es un número primo y 5 es impar. b) Si 3 x 6 = 18 entonces 6 x 3 =18 c) La selección peruana de futbol bien gana o pierde d) Alfredo aprueba matemática si y solo si estudia con responsabilidad.

5 PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD ppqpqr V F V V V V F F FF V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F OBSERVACION: La cantidad de filas en una tabla es:

6 1.- CONJUNCIÓN: Es la operación que enlaza dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y". ( ) Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica p q p : Jorge viajó al Cusco q : Luis viajó a Ica Simbología: p q NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc. Ejemplo

7 p q V V V V F F F F V F F F

8 2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo o, cuyo símbolo es y se llama disyuntor. Juana viajará a Pacarán o a Cerro Azul rs r : Juana viajará a Pacarán s : Juana viajará a Cerro azul Simbología: r s

9 p q V V V V F F F F V F V V La disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL

10 3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo O…..o………, cuyo símbolo es y se llama disyuntor fuerte. Ejemplo: O Jorge radica en Quilmaná o en Lunahuaná pq p : Jorge radica en Quilmaná q : Jorge radica en Lunahuaná Simbología: p q

11 TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE p q V V V V F F F F F F V V La disyunción fuerte es verdadera solo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad La disyunción fuerte es falsa solo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad

12 4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo Si…….entonces……., cuyo símbolo es y se llama implicador. Ejemplo: Si Ana tiene DNI entonces es mayor de edad pq p : Ana tiene DNI……..….… (antecedente) q : Ana es mayor de edad…….(consecuente) Simbología: p q

13 TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL p q V V V V F F F F V V V F El condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

14 5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo …..…si y sólo si………., cuyo símbolo es llamado doble implicador. Ejemplo: Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua p q p : Sicilia es una isla q : Sicilia está rodeada de agua Simbología: p q

15 TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL p q V V V V F F F F V V F F El bicondicional es verdadero solo si ambas proposiciones poseen idénticos valores de verdad El bicondicional es falso solo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad

16 6.- NEGACIÓN.- Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición, cuyo símbolo es y se llama negador. Ejemplo: Luis es profesor de matemática p No es cierto que Luis es profesor de matemática p Es falso que Luis es profesor de matemática p

17 TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN p p V F F V

18 TABLA RESUMEN ConectorValor de verdad Condición V Si ambos tienen igual valor de verdad. V Si tienen valores diferentes de verdad. F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso F Si ambos son falsos V Si ambos son verdaderos ~ V Si la proposición es falsa.

19 I.- Marcar con un aspa según corresponda a cada expresión o enunciado, e indique su valor de verdad. Nº EXPRESION o ENUNCIADO PROP OSICI ON Nº EXPRESION o ENUNCIADO PROP OSICI ON SINO SINO 1 11 es un número impar = 13 7 x 2 = 9 es ecuación de 2º grado 3 El Agua de mar es salada 8 /-3/ = -3 4 ¡Como estas! 9 19 es divisible por 2 5 Haz caminata temprano 10 Vino Javier V V V V F F

20 II.- Escribir cada una de las siguientes proposiciones en forma simbólica Si p : José es médico ; q : José es dentista; r: Fidel es ingeniero a) José es médico y Fidel es ingeniero p r b) Si José es médico o Fidel es ingeniero; entonces José es dentista (p r ) q c) José no es médico; pero Fidel no es ingeniero. p r d) Si Fidel es ingeniero y José no es dentista, entonces José es médico (r q ) p

21 III.- Escribir en forma de oración el significado de las siguientes proposiciones: a) p q b) ( p q ) r c) p q d) r ( p q ) José es médico y no es dentista Si José no es médico o dentista, entonces Fidel es ingeniero José es médico si, y solo si no es dentista Si Fidel es ingeniero, entonces José es médico o dentista

22 III.- Si p y q son verdaderos r y s son falsos entonces el valor de verdad de: [ (p q ) p ] ( r s ) es : solución [ (p q ) p ] ( r s ) V VVFF V V V F V

23 IV.- Encontrar el valor de: ( p q ) p ( r p ); siendo q y r falsos; p es verdadero. ( p q ) p ( r p ) VF F F V V F V F V

24 EJERCICIOS PROPUESTOS V.- Si ( p q ) r es falso determinar el valor de la verdad de las siguientes proposiciones: a) ( r p ) ( r q ) b) r ( r r ) c) r ( p q ) d) r ( p q ) f) ( p r ) ( r q ) e) ( p q ) r F F v F F F

25 SOLUCIÓN V.- Si ( p q ) r es falso : Entonces concluimos que, p y q son verdaderos; r es falso ( p q ) r F F v v v

26 La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos: 1.- Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA. 2.- Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN. 3.- Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.

27 p q r ( p q ) ( p r) Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: ( p q) (p r) Solución V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V F F F F F F V V V V F F F F F F F F V V V V F F V V V V V V V V F F F F F F F F F F F V V V


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