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UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO CURSO: FISICA I FUERZAS - ESTATICA TEMA: FUERZAS - ESTATICA Profesor: Mag. Optaciano Vásquez García HUARAZ.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO CURSO: FISICA I FUERZAS - ESTATICA TEMA: FUERZAS - ESTATICA Profesor: Mag. Optaciano Vásquez García HUARAZ -PERÚ 2010

2 I.FUERZA En física, la fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir, la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo sobre otro. Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una dirección y sentido, y (c) un punto de aplicación.

3 ELEMENTOS DE LA FUERZA

4 I.FUERZA_1 La fuerza produce dos efectos: A.Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza F = 500 N, es las reacciones que aparecen sobre las varillas y sobre el perno. B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el seno del material

5 I.FUERZA_2 la fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpo Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza como un vector deslizante es decir, goza del principio de transmisibilidad, esto es, la fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpo

6 II. CLASES DE FUERZAS 1.FUERZAS DE CONTACTO. Se generan mediante el contacto físico directo entre dos cuerpos 2. FUERZAS MASICAS se crean por acción a distancia. Ejm. la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética.

7 II. CLASES DE FUERZAS_2 1.FUERZAS CONCENTRADAS. Aquellas que se consideran aplicada en un punto 2. FUERZAS DISTRIBUIDAS Aquellas que se consideran aplicadas en una línea, un área o un volumen

8 III.UNIDADES DE FUERZA Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por deformación calibrada de un resorte. La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el Newton (1 N)

9 IV.FUERZA RESULTANTE Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como se ve en la figura. Geométricamente se determina mediante la ley del paralelogramo o triángulo. Su modulo y dirección son

10 EJEMPLO F R F B La resultante F R de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza F B en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

11 V.DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 1.EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

12 Ejemplo Calcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas mostradas en la figura

13 VI.DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 2.EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO

14 Ejemplo Calcule las componentes de la fuerza de 260 N representada en la figura, una de ellas actúa en la dirección de AB mientras que la línea de acción de la otra componente pasa por C

15 Ejemplo Calcule las componentes de la fuerza de 100 N representada en la figura, una de ellas actúa en la dirección de AB y la otra paralela a BC.

16 EJEMPLO O2 La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura ha de ser resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los ejes AB y AC de la estructura. Si la componente de la fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C, determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB y el ángulo θ de la fuerza de 500 N

17 Ejemplo Una barra y una riostra resisten una fuerza de 100 kN en la forma que se indica en la figura. Determine la componente de la fuerza según el eje AB de la barra y la componente de la fuerza según el eje AC de la riostra.

18 EJEMPLO O2 Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su módulo

19 EJEMPLO Expresar la fuerza P, de módulo 10 N, en función de los vectores i y j : Halle las componentes escalares P t y P n respectivamente paralela y normal a la recta OA.

20 EJEMPLO La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal como se indica. (a) Escribir F en función de los vectores unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y; © hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y.

21 EJEMPLO Determine: (a) el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. (b) La correspondiente magnitud de la resultante

22 EJEMPLO Combinar las dos fuerza P y T, que actúan sobre el punto B de la estructura fija, para obtener una única fuerza R.

23 EJEMPLO En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

24 VII.DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 3.EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO

25 VII.DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 3. DIRECCIONES DE LA FUERZA EN EL ESPACIO

26 VIII.FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN En algunos casos la fuerza está definida por su modulo y dos puntos de su línea de acción. En este caso

27 VIII.FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN

28 EJEMPLO F Expresar la fuerza F de 36 kN en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre el eje x

29 EJEMPLO Sabiendo que la tensión en el cable AB es 1425 N, determine las componentes de la fuerza sobre la placa ejercida en B

30 EJEMPLO Encontrar la magnitud y la dirección de las dos fuerzas mostradas en la figura, sabiendo que P = 400 N y Q = 300 N

31 EJEMPLO F Expresar la fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre la recta OA.

32 EJEMPLO Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 510 lb y en el cable AC es de 425 lb. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas en el punto A ejercida por lo dos cables

33 EJEMPLO Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.

34 IX.MOMENTO DE UNA FUERZA En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

35 IX.MOMENTO DE UNA FUERZA_2 OP El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP por el vector fuerza F ; esto es El momento es un vector perpendicular al plano de r y F. La magnitud del momento esta dado por El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha. Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

36 IX. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON…. El momento de una fuerza con respecto a un punto o a un eje nos da una medida de la tendencia de la fuerza a causar que el cuerpo rote con respecto a in punto o eje

37 IX. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON…. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas

38 9.2. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO El momento de la fuerza respecto a O es

39 9.3.COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA

40 9.4.COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO

41 Ejemplo Determine el momento de la fuerza de 100 N con respecto al punto A

42 Ejemplo Una fuerza P de 13,2 N se aplica a la palanca que controla la barrena de un soplador de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando es igual a 30 °.

43 Ejemplo Determine el momento de las tres fuerzas respecto a: (a) punto A y (b) punto B de la viga

44 Ejemplo Encuentre el momento de la fuerza F con respecto al punto O

45 Ejemplo Una tabla de madera AB, que se utiliza como un apoyo temporal para apoyar a un pequeño tejado, ejerce en el punto A del techo una fuerza de 228 N dirigida a lo largo de BA. Determinar el momento con respecto a C de esa fuerza.

46 Ejemplo Una manga del soporte puede proporcionar un momento de máxima resistencia de 125 N· m sobre el eje "x". ¿Cómo determinar la magnitud máxima de F antes de que ocurra el giro alrededor del eje x?

47 Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O, (c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O, (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 240 lb para que produzca el mismo momento respecto a O

48 Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha SOLUCIÓN

49 Parte (b) La fuerza que aplicada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente SOLUCIÓN

50 Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces SOLUCIÓN

51 Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo SOLUCIÓN

52 Ejemplo Una fuerza de 450 N se aplica en A. Determine: (a) el momento dela fuerza de 450N con respecto al punto D, (b) la fuerza más pequeña que aplicada en B, crea el mismo

53 Ejemplo Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas con respecto al punto O

54 Ejemplo Una fuerza Q de 450 N se aplica en C. Determine el momento de Q: (a) con respecto al origen de coordenadas del sistema y (b) con respecto al punto D

55 Ejemplo La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial SOLUCIÓN

56

57 Ejemplo La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero.

58 Ejemplo

59 9.5.MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O.

60 9.5.MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL. El momento M OL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL

61 12.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA El momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera es El resultado es independiente del punto B

62 Ejemplo Sobre un cubo de arista a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P: (a) con respecto a A, (b) con respecto a la arista AB. (c) Con respecto a la diagonal AG

63 SOLUCIÓN Moment of P about A, Moment of P about AB, La magnitud del momento respecto a AB es

64 SOLUCIÓN (c) La magnitud del momento respecto a AG es

65 Ejemplo Se aplica una tensión T de intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento M z de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.

66 Ejemplo La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección F CD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza

67 Ejemplo La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB

68 Ejemplo Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.

69 Ejemplo La cadena CB mantiene a la puerta abierta a 30°. Si la tensión en la cadena es F C = 250 N. Determine: (a) La expresión vectorial de la fuerza, (b) el momento de fa fuerza con respecto a la bisagra en A, (c) el momento de la fuerza con respecto al eje a-a que pasa por las bisagras de la puerta.

70 Ejemplo Una fuerza es aplicada al extremo de una llave para abrir una válvula de gas. Determine la magnitud del omento de dicha fuerza con respecto al eje z

71 Ejemplo Determine el momento producido por la la fuerza F el cual tiende a hacer rotar al tubo alrededor del eje AB

72 9.7.PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:

73 9.8.CUPLA O PAR DE FUERZAS La cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas separadas por una distancia perpendicular pero de sentidos opuestos.

74 9.8.CUPLA O PAR DE FUERZAS El momento de la cupla es, El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas

75 9.8.DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha

76 9.8.CUPLA O PAR DE FUERZAS Dos cuplas tendrán igual momento si: a) b)Las dos cuplas se encuentran ubicadas en planos paralelos c)La dos cuplas tienen el mismo sentido o la misma tendencia a causar rotación y la misma dirección

77 Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla mostrada en la figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

78 Ejemplo de cupla Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F 1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F 2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

79 Ejemplo de cupla En la figura se muestra a dos cuplas actuando sobre el soporte. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y. (b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas

80 Ejemplo de cupla En la figura se muestra una cupla o par de fuerzas actuando sobre un sistema de tuberías. Si la magnitud de las fuerzas es de 35 N. Determine el momento del par de fuerzas actuando sobre la tubería en coordenadas cartesianas

81 Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. El segmento AB está dirigido 30° hacia abajo del plano xy.

82 Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. La magnitud de cada una de las fuerzas es de 25N

83 Ejemplo de cupla En la figura se muestra un sistema compuesto por dos cuplas actuando sobre una viga. Si el momento resultante es nulo. Determine las magnitudes de las fuerzas P y F así como la distancia d

84 Ejemplo de cupla En la figura se muestra un par de fuerzas de 15 N de magnitud actuando sobre un sistema de tuberías. Determine el momento de la cupla

85 X.EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes: a)Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante; b)Descomponiendo una fuerza en dos componentes y c)Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma partícula d)Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas e)Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte

86

87 XI.SISTEMAS FUERZA- PAR Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B No hay cambio en el efecto externo Cupl a

88 XI.SISTEMAS FUERZA- PAR

89 Ejemplo Remplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

90 solución Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura. La expresión vectorial de F es El momento C será

91 Ejemplo Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una fuera y una par en el punto A. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

92 Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A, (b) en B

93 Ejemplo Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza – par equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D

94 Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par hallado en la parte (a)

95 XII.COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES Consideremos un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo como se muestra en la figura. Para encontrar la resultante de las fuerzas se descompone cada una de ellas en componentes i, j, k. es decir

96 XII.COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES La resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas esto es

97 XII.COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES La magnitud y dirección de la resultante son

98 Ejemplo A un punto de u cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F 1 y F 2.

99 Ejemplo Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante R del sistema de fuerza concurrentes mostrado en la figura

100 COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que actúan en un cuerpo rígido, es necesario distinguir dos efectos: (a) Traslación: la misma que se encuentra definida por la suma vectorial de la fuerzas (la resultante R). (b) Rotación: El cual queda determinado por la suma vectorial de los momentos.

101 XIII.COMPOICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Parece lógico suponer que el punto de aplicación de la resultante R debe ser tal que el momento o torque debido a R sea igual a M. Esta situación se cumple para fuerzas concurrentes. En estas condiciones la resultante sustituye en todos su efectos al sistema. Sin embargo, esto no es posible, ya que el torque de R es un vector perpendicular a R y en muchos casos esto no se cumple. Un ejemplo de estos lo constituye la cupla o par de fuerzas

102 XIV.COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Consideremos el sistema de fuerzas en el plano mostrado Debido a que las fuerzas están en el plano, la resultante también lo estará. Si los momentos se evalúan respecto a cualquier punto del plano, los vectores de posición de los puntos de aplicación de las fuerzas también lo estarán en el plano

103 XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Esto nos indica que los momentos de cada una de las fuerzas así como el de la resultante son perpendiculares al plano. Es decir son vectores paralelos. Esta es la condición necesaria para que los vectores sean iguales. Es decir

104 XIV.COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Debido a que los vectores fuerza, el vector fuerza resultante; los vectores de posición de cada fuerza y el de la resultante están en el plano por ejemplo el plano xy, entonces el momento o torque tendrá una sola componente entonces, tenemos Conociendo las fuerzas y sus puntos d aplicación, se puede determinar las componentes de la resultante y por tanto su punto de aplicación

105 Ejemplo Las fuerzas representadas en la figura tienen las magnitudes siguientes: F 1 = 130 kN, F 2 = 200 kN y F 3 = 100 kN. Calcule y localice la fuerza resultante del sistema de fuerzas considerado

106 Ejemplo Hallar la fuerza resultante R de las tres fuerzas y los dos pares representados. Determine la abscisa en el origen x de la recta soporte de R.

107 Ejemplo La fuerza de 200 kN representada en la figura es la resultante del par de 300 kN-m y tres fuerzas, dos de las cuales están definidas en el diagrama. Determine la otra fuerza y localícela con respecto al punto A.

108 Ejemplo Encuentre: (a) La fuerza resultante equivalente y el momento de un par actuando en A. (b) La localización de una sola fuerza equivalente actuando con respecto a A

109 Ejemplo Remplace las tres fuerzas que actúan sobre el tubo por una sola fuerza equivalente R. Especifique la distancia x desde el punto O por donde pasa la línea de acción de R.

110 Ejemplo Para ensayar la resistencia de una maleta de 25 por 20 pulg se le somete a la acción de las fuerzas representadas. Si P = 18 lb. (a) hallar la resultante de las fuerzas aplicadas y (b) Ubicar los dos puntos en donde la recta soporte de la resultante corta al canto de la maleta.

111 Ejemplo Para el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre la viga. Determine La fuerza resultante equivalente y el par actuando en A

112 Ejemplo Determine la resultante de las cuatro fuerzas y una cupla que actúan sobre la placa

113 XV.RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Consideremos un sistema de fuerzas paralelas mostrado en la figura

114 XV.RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Cada una de las fuerzas puede expresarse donde Fi puede ser positivo o negativo y es un vector unitario paralelo a las fuerzas.. La resultante del sistema será La magnitud de la resultante es

115 XV.RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Aplicando el teorema de omentos tenemos De donde se tiene

116 Ejemplo Determine y localice la resultante R de las dos fuerzas y la cupla que actúan sobre la viga mostrada

117 Ejemplo La fuerza de 150 kN de la figura es la resultante de un par y cuatro fuerzas, tres de las cuales están definidas en dicho gráfico. Determine la cuarta fuerza y localícelo con respecto al punto A.

118 Ejemplo La viga mostrada en la figura se encuentra sometida a las fuerzas que se indican. Reducir el sistema de fuerzas dado a: (a) un sistema fuerza–par en A, (b) a un sistema fuerza-par en B, (c) una sola fuerza o resultante

119 Ejemplo Si la lámina mostrada en la figura es sometida a las tres fuerzas que se muestran. Determine: (a) La fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O y (b) La localización (x,y) de una sola fuerza resultante equivalente.

120 Ejemplo Determinar la resultante de sistema de fuerzas mostrado en la figura si F 1 = 75 kN y F 2 =125 kN. Localícela con respecto al punto al origen de coordenadas.

121 Ejemplo La placa de concreto puede soportar las cargas mostradas en la figura. Determine la magnitud, dirección, y el punto de aplicación de una sola fuerza que podría ser equivalente al sistema de fuerzas dado.

122 Ejemplo Halle la resultante del sistema de fuerzas paralelas que actúan sobre la placa SOLUCIÓN

123 XVI.SISTEMAS FUERZA GENERAL Paso 1 Paso 2Paso 3 Seleccionar un punto para encontrar el momento Remplazar las fuerzas por una fuerza y un par en el punto O Sumar las fuerza y cuplas vectorialmente para encontrar la resultarte y el momento resultante

124 Ejemplo Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A

125 Ejemplo Las fuerza F1 y F2 mostradas actúan sobre el sistema de tuberías. Determine la fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O

126 Ejemplo Se desea establecer el efecto combinado de las tres fuerzas sobre la base O, haciendo que por ese punto pase la resultante R. Determine esta resultante y el momento M del par correspondiente.

127 Ejemplo Tres cables están sujetos a un soporte como se indica. Reduzca el sistema de fuerzas dado a un sistema fuerza par en A.

128 Solución

129 Solución- Conti….

130 XVII.CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO DE GRAVEDAD (CG): Objeti vos 1.Entender los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroides. 2.Ser capaces de determinar la localización de estos puntos para un cuerpo

131 17.1CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO DE GRAVEDAD (CG): Aplicacione s Para diseñar estructuras para soportar tanques de agua, es necesario conocer los pesos del tanque y el agua así como la ubicación de la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas. Para diseñar vehículos

132 17.1 CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO DE GRAVEDAD (CG):aplicaciones En el diseño de la estructura en forma de poste para hacer deporte es muy importante determinar el peso total de la estructura y la ubicación de su centro de gravedad

133 17.2.CONECPTO DE CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad (CG) es el punto donde se encuentra localizado el peso resultante de un sistema de partículas o de un cuerpo. De la definición de fuerza resultante, la suma de los momentos debido a los peso individuales de cada partícula respecto a un punto es igual al momento de la resultante respecto al mismo punto. Similarmente, el centro de masa (CM) es el punto en el cual se localiza la masa resultante de un sistema de partículas o cuerpo. En general es el mismo que el CG.

134 17.3.Centro de gravedad para un sistema de partículas Considere el sistema mostrado en la figura. El peso resultante es Los momentos alrededor de los ejes x, y son.

135 17.3 Centro de gravedad de un sistema de partículas La componente z se determina rotando los ejes

136 Ejemplo 01 Localice el centro de gravedad de cuatro cuerpos pequeños (considerados partículas) que están dispuestos tal como se muestra en la figura

137 17.4. Centro de masa de un sistema de partículas El centro de masa es necesario cuando se estudia el movimiento de un sistema de partículas. Es decir el movimiento de la materia bajo la acción de una fuerza. La segunda ley de Newton establece que si la masa es constante, el peso es W = mg. Al sustituir esta ecuación en las ecuaciones del CG se obtiene El CM y el CG coinciden. Además el centro de masa es independiente de la gravedad

138 Ejemplo 02 Localice el centro de masa de los cinco puntos materiales mostrados en la figura si m A = 2 kg, m B = 3 kg; m C = 4 kg m D = 3 kg y m E = 2 kg

139 17.5 CG y CM de un cuerpo Consideremos un cuerpo de cualquier tamaño y forma, cuya masa es m. Si se suspende el cuerpo como se muestra en la figura de cualquier punto tal como A, B o C, el cuerpo se encontrara en equilibrio bajo la tensión en el cable y el peso resultante. En cada uno de las posiciones marcamos la línea de acción de la resultante. En todos los casos prácticos estas líneas son concurrentes en G (centro de gravedad del cuerpo)

140 17.5CG y CM de un cuerpo Para determinar el CG del cuerpo se aplica el principio de momentos al sistema de fuerzas gravitacionales paralelas. El momento del peso resultante W con respecto a cualquier eje es igual a la suma de momentos de cada una de los pesos dW de las partículas La resultante de las fuerzas gravitacionales actuando sobre toso los elementos es el peso del cuerpo y esta dado por

141 17.5 Centro de gravedad de un cuerpo El centro de gravedad será entonces

142 17.6Centro de masa de un cuerpo El centro de masa se obtiene remplazando W= mg y dW = gd m

143 17.6Centro de masa de un cuerpo Utilizando la definición de densidad Las coordenadas del centro de masa se escriben. Estas ecuaciones son independientes del efecto gravitacional Como el campo gravitacional es considerado uniforme, el centro de gravedad es igual al centre de masa

144 17.7CENTROIDE El centroide C es un punto el cual define el centro geométrico de un objeto El centroide coincide con el centro de masa o el centro de gravedad solamente si el material es homogéneo. Si el objeto tiene un eje de simetría, entonces el centroide se encuentra fijo en dicho eje. En algunos casos el centroide no se encuentra ubicado sobre el objeto.

145 17.7 Coordenadas del centroide Sabemos que las coordenadas del centro de masa están dadas por las ecuaciones. Cuando el cuerpo es homogéneo, la densidad permanece constante. Entonces la densidad se puede cancelar en el numerador y en el denominador, obteniendo

146 17.7.1Centroide de un alambre Consideremos un alambre de longitud L, sección transversal uniforme A y densidad ρ. Para determinar el centroide se divide al alambre en elementos de masa dm = ρdV = ρAdV y se aplica el principio de momentos esto es

147 17.7.2Centroide de un Área Consideremos una lámina de espeso t uniforme, de área A y densidad ρ como se muestra en la figura Para determinar el centroide del área se divide al área en elementos de masa dm = ρdV = ρtdA y se aplica el principio de momentos esto es

148 Centroide de un Volumen Consideremos una lámina de espeso t uniforme, de área A y densidad ρ como se muestra en la figura Para determinar el centroide del área se divide al área en elementos de masa dm = ρdV y se aplica el principio de momentos esto es

149 Calculo de centroides por integración En las figuras se muestra las diferentes formas de cálculo de centroides

150 Centroides por integración

151 Centroides de regiones conocidas

152 Centroides de alambres conocidos

153 Ejemplo 04 En la figura se ha representado un alambre homogéneo delgado cuya forma es un arco de circunferencia. (a) Localice las coordenadas x, y de su centro de masa, (b) Utilice el resultado anterior para determinar las coordenadas de centro de masa en el caso de sea un semicírculo.

154 Ejemplo 04 Localice el centroide de la varilla curvada delgada mostrada en la figura

155 Ejemplo Un alambre delgado y homogéneo de acero se conforma como se representa en la figura. Localice las coordenadas del centro de gravedad del alambre compuesto

156 Solución

157

158 Ejemplo 04 Localice el centroide de la región mostrada en la figura

159 solución

160 Ejemplo 05 Localice el centroide del hemisferio mostrado en la figura

161 solución

162 Ejemplo localice el centroide de la región sombreada

163 17.8. Centroide de placas y alambres compuestos Cuando una placa tiene una geometría más compleja se divide e rectángulos, triángulos o alguna de las formas conocidas. Las coordenadas centroidales se determina aplicando el teorema de momentos

164 17.8Centroide de placas y alambres compuestos O abreviadamente Estas ecuaciones facilitan las coordenadas x, y de la placa Esto es

165 17.8 Centroide de placas y alambres compuestos Los momentos de primer orden de las superficies al igual que los momentos de las fuerzas pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo una superficie cuyo centroide se encuentra a la izquierda del eje y tendrá un momento de primer orden negativo respecto a ese eje. Además a la superficie a la superficie de un orificio debe asignarse un signo negativo

166 Ejemplo Localice el centroide del trapezoide mostrado en la figura

167 Ejemplo Calcular la coordenada y del centroide de la región mostrada en la figura

168 Ejemplo Calcular las coordenadas del centroidales de la región mostrada en la figura

169 Ejemplo Calcular las coordenadas del centroidales de la región mostrada en la figura. Las dimensiones se dan en mm

170 Ejemplo Localice el centro de masa de la combinación soporte arbol. La cara vertical es de plancha metálica, cuya masa es de 25 kg/m2. El material de la base horizontal tiene una masa de 40 kg/m2 y el árbol de acero tiene una densidad de 7,83 Mg/m3.

171 Solución

172 Ejemplo Halle las coordenadas del centro de masa del soporte construido de chapa metálica de espesor uniforme

173 Ejemplo Para la superficie plana mostrada en al figura. Determine: (a) el momento de primer orden con respecto a los ejes x e y; (b) la ubicación del centroide SOLUCIÓN Divida a la región en un triángulo, un rectangulo y un semicírculo y extraiga el círculo. Determine los momentos de primer orden con respecto a cada eje. Encuentre el área total considerando negativa el área del círculo extraído

174 Solución……cont Los momentos de primer orden serán

175 Solución……cont Parte (b). Las coordenadas dl centroide están dadas por

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