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INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA TABASCO INTEGRANTE: HIPOLITO SOSA MARTINEZ MAESTRA: M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO MATERIA : INESTIGACION DE OPERACIONES.

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1 INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA TABASCO INTEGRANTE: HIPOLITO SOSA MARTINEZ MAESTRA: M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO MATERIA : INESTIGACION DE OPERACIONES

2 MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERAS En la vida diaria es frecuente enfrentar situaciones en las que el cliente debe esperar para recibir un servicio o una mercancía Introducción Ejemplos Como pagar la cuenta en un supermercado la espera en la gasolinera para recibir el combustible etc. Estos casos suceden debido a que un negocio no puede tener una capacidad ilimitada para atender al total de sus clientes Cualquier empresa que desee que desee tener éxito deberá vigilar atentamente este aspecto. Las empresas lideres en el ámbito de los servicios que son el sector que ha proliferado de manera notable en este comienzo del tercer milenio,han prestado gran atención alas filas de esperas La teoría de líneas de espera, ala que también se le conoce teoría de colas Inicio al principio del siglo xx Con el ingeniero danés A.K.Erlang quien trabajaba en una compañía telefónica en que comenzó a estudiar la espera de los clientes que solicitaban una llamada para ser atendidos.

3 MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERAS Por esta misma razón los bancos y otras instituciones han colocado tv u otros medios para que el cliente pueda distraerse. A si mismo los hoteles han puesto juntos a sus elevadores espejos en los que el cliente puede observar mientras espera que el elevador este disponible para transportarlo. En fin, todo aquellos que contribuya a que el cliente se sienta mejor Es parte misma de un buen servicio, y en el caso de la espera la ansiedad que pueda experimentar el cliente es sinónimo de un mal servicio.

4 TERMINOLOGIA Términos para la mejor compresión del texto (Davis y Mckeown, 1986 Patrón de llegada Frecuencia de llegada de los clientas el negocio, de finido por el tiempo que transcurre entre la llegada de un cliente y el sig.. Este patrón de llegada puede ser determinístico o probabilístico, siendo mas frecuente en la vida real. Patrón de servicio Es el tiempo de servicio, es decir, el tiempo que ocupa un servidor para atender un cliente este patrón puede ser determinista o probabilísticos,siendo este el mas actual. Disciplina de la línea de espera Orden en que se atiende a los clientes la mayoría de veces el orden manejado es el 1r0 en llegar, 1ro en ser atendido, ya que es el mas justo y sinónimo de un buen servicio ala vez. Capacidades del sistema Es el numero de máximo de clientas que pueden estar en el negocio, ya se en la línea de espera o siendo atendidos. Numero de clientes que hay en el negocio en un momento dado cualquier, ya se en espera o siendo atendido Estado del sistemas Longitud de la línea de espera Numero de clientes que hay en línea de espera Abandono Es cuando en cliente que esta en ala línea de espera sale de ella y deja el establecimiento Rechazo Situación que se presenta cuando un cliente que llega al negocio no entra Característica de las líneas de espera Las líneas de espera suelen caracterizarse bajo el sistema de notación de Kendall. V/W/X/Y/Z (13.1) Donde: V= Patrón de llegada de los clientes. W= Patron de servicio. X=Numero de servicio. Y=Capacidad del sistema. Z=Disciplina de la línea de espera. Las líneas de espera suelen caracterizarse bajo el sistema de notación de Kendall. V/W/X/Y/Z (13.1) Donde: V= Patrón de llegada de los clientes. W= Patron de servicio. X=Numero de servicio. Y=Capacidad del sistema. Z=Disciplina de la línea de espera.

5 TERMINOLOGIA Características de una línea de espera respecto de los patrones de llegada y servicio L iteral significado D Determinista M Distribución probabilística markoviana Ek Distribución de Erlang G general L iteral significado D Determinista M Distribución probabilística markoviana Ek Distribución de Erlang G general Donde la determinista se aplica para aquellos casos en que se conoce con toda precisión el tiempo de llegada de los clientes o el tiempo de servicio La distribución markoviana llamada así por en honor al matemático ruso andrei Markov En cuanto al numero de servidores, que es el tercer parámetro en la notación de Kendall, solo se especifica por un numero que corresponde al de servicio del sistema El sig. parámetro es la capacidad del sistema, que en la mayoría de las ocasiones es infinita El ultimo parámetro se refiere ala disciplina dela línea de espera

6 La forma de estas distribuciones es la sig.(Kaufmann,1970): DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON Donde: P(n: A)= probabilidad de que haya sucesos de una muestra cuyo promedio es A n= numero de sucesos A= Numero promedio de sucesos de la muestra P(n: A)= probabilidad de que haya sucesos de una muestra cuyo promedio es A n= numero de sucesos A= Numero promedio de sucesos de la muestra

7 Esta distribución de probabilidad es discreta y una representación grafica de la misma se muestra en la figura 13.2 Supone 4 situaciones: a)Las llegada de los clientes son independiente entre so b)Las llegadas son independientes del estado del sistema c)Las llegadas son sucesos sin memoria, es decir, no depende de eventos anteriores d)Las llegada solo dependen del lapso de tiempo una y otra Supone 4 situaciones: a)Las llegada de los clientes son independiente entre so b)Las llegadas son independientes del estado del sistema c)Las llegadas son sucesos sin memoria, es decir, no depende de eventos anteriores d)Las llegada solo dependen del lapso de tiempo una y otra Para casos A=2 estas distribución es muy utilizada para representar llegadas aleatorias de clientes a un sistema de línea de espera. DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

8 DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL NEGATIVA Se utilizan cuando los tiempos de servicios son aleatorios para una línea de espera cuyas llegadas se representan por una distribución de poisson La distribución exponencial negativo es al igual que la anterior para eventos sin memoria. A diferencia de la distribución de poisson, la exponencial negativa es continua, siendo su ecuación la sig. f(t)=µ Exp ( -µt) (13.3) f(t)= Valor de la función exponencial negativa t Tiempo de servicio µ Tasa de servicio (inversión del tiempo promedio de servicio). Esta relación entre llegada se representa por una distribución de probabilidad hace llamarles distribuciones duales ( hillier y Lieberman, 1991)

9 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL NEGATIVA si esta ecuación se integra entre los limites de tiempo de cero a T, se observa la probabilidad de que el servicio sea dado en lapso de tiempo menor o igual a T, que viene dada por la sig. Expresión. Por tanto, la probabilidad de que el servicio se brinde en un tiempo mayor que T será el complemento de esta ultima probabilidad. Es decir:

10 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL NEGATIVA EJEMPLO Por ejemplo, para el caso de una tasa de servicio de ocho clientes por hora, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea mayor de 6 min, es decir, 0.10h, será conforme a la ecuación 13.5

11 COSTO DE UN SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA El costo de cualquier sistema de líneas de espera se compone de dos partes Costo del servicio Costo de la espera Que puede ser fácilmente obtenido por el departamento contable del negocio Que en la gran mayoría de las ocasiones es muy difícil de ser cuantificado El costo de cualquier sistema de líneas de espera se compone de dos partes Costo del servicio Costo de la espera Que puede ser fácilmente obtenido por el departamento contable del negocio Que en la gran mayoría de las ocasiones es muy difícil de ser cuantificado La representación grafica de estos costos se muestra en la figura donde puede apreciarse que el costo de espera disminuye al aumentar la tasa de servicio, mientras que el costo del servicio aumenta de modo lineal (Gallagher y Watson, 1992).

12 MODELOS DE LINEAS DE ESPERA En esta sección se representan algunos de los modelos mas usuales de líneas de espera Que son el D/D/1, D/D/S, M/M/S,M/G/1, Y EL M/D/1. Modelo D/D/1 En este modelo tanto el patrón de llegadas como el de servicio se conocen exactamente y hay solo un servidor. Este tipo de situación se representa en raras ocasiones, como en el de revisiones medicas, departamentos de inspecciones de la calidad en las empresas y otros (Ackoff y Sasienni, 1979) Es muy parecido al anterior con la variante de que ahora hay varios servidores,cada uno de los cuales da el servicio a los clientes. Modelo D/D/S Modelo M/M/S Este modelo es igual al anterior excepto en el tercer parámetro, ya que ahora se tendrá S.

13 Modelo D/D/1 FORMULA Modelo M/M/S La probabilidad de que el sistema este ocupado, Ps0, ocurrirá cuando el numero de clientes en el sistema n, sea mayor o igual que s, y se puede obtener con la sig. formula Por su parte el numero promedio de clientes en el sistema L vendrá dado por: la probabilidad de que un cliente pase un tiempo que t en el sistema será:

14 ELEMPLO M/M/S Un banco cuenta con 3 cajas en servicio, atendidas cada una de ellas por un servidor. Cada caja tiene su propia línea de espera, pero un ingeniero que es amigo del gerente del banco le ha sugerido que seria mejor si hubiese una sola línea de espera, en la que se formasen todas los clientes que van al banco, para de allí ser atendidos luego por alguno de los 3 cajeros, quienes atenderán a la línea de espera. Si la tasa promedio de llegada de los clientes en días normales es de 36 por hora y la tasa media de servicio de cada servicio es de 15 clientes por hora, lo que hace un tiempo promedio del servicio de 4 min por clientes, ¿será razonable lo que el ingeniero propone al gerente? Y la probabilidad de que el cliente pase un tiempo igual o mayor que t en el sistema será

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16 LINEÁS DE ESPERA DE COSTO MINIMO Cuando en un sistema de líneas de espera se conoce el costo de la espera, es posible minimizar el costo total, que estará integrando por el costo de la espera mas el del servicio a los clientes. Buscando con esto optimizar las operaciones de la empresa, o sea, encontrar la tas optima de servicio para la cual se minimiza el costo del sistema(Davis y Mckeown. 1986). Estos casos suceden en realidad en los sistemas de carga de mercancía, como puede ser el caso de barcos, aviones, contenedores, etc. ya que el costo que representa el que este tipo de transformación se incluyen clausulas de cobro tarifarios por la demora de la carga La compañía de naranjas de rio verde produce naranjas de alta calidad mediante un proceso de maduración, Lavado y pintada de la fruta, para luego enviarla a diferentes partes del país. El servicio de transporte de la fruta lo tiene contratado con flotes potosinos. Los servicios que hacen son aleatorias, por lo que se considera se programan envíos de naranja bajo una función poissoniana de probabilidad con una media de tres camiones por día. La empresa solo tiene estación de carga, que la lleva a cabo estibadores que son empleados de la propia compañía, quienes ganan $ 150 por turno de 8h y cada uno tarda en cargar un camión 6h. El tiempo de carga de los camiones se considera que sigue una distribución normal con madia de 6h y desviación estándar de 1h. El contrato con la compañía transportista señala que la empresa debe pagar a esta por la demora en la carga $800 diario por cada camión. ¿Cuántos estibadores deben utilizar la empresa si trabaja un solo turno diariamente, a fin de minimizar su costo total de pago a los estibadores mas el pago por demora

17 Solución : el sistema de la línea de espera es la estación de carga, los camiones son las clientes, los estibadores son los servidores y se supone que cada estibador carga un camión por las características del sistema, puede aplicarse el modelo M/G/1, ya que el tiempo de servicio se comporta conforme a la curva normal de probabilidad. El costo total se compondrá por el costo de carga, que es el pago de los estibadores mas el de demostrar, que se le paga a la compañía transportista, es decir: Costo total=costo de estibadores +costo por demoras A su vez el costo de estibado será: Costo de estibado =150N$/días Siendo n el numero de estibadores asignado alas maniobras de carga Costo por demoras = 800L$/Día Donde l es el numero de camiones en el sistema dado por la ecuacion13.25 Con fines ilustrativos se efectuara este procedimiento de calculo para el caso particular de n=3 Si N es 3, u es 1.33N, en este caso 4, ya que cada estibador carga en promedio 1.33 camiones por turno

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