Cinemática vectorial ¿Qué estudia la cinemática vectorial?

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1 Cinemática vectorial ¿Qué estudia la cinemática vectorial?

2 Vector posición, itinerario y trayectoria y x x(t) y(t) Función itinerario: Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria: y = f (x) x = f (t) y = f (t) Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria A continuación veremos un ejemplo...

3 Vector posición, itinerario y trayectoria x = 3 t y = 2 t 2 Ejemplo 1. El itinerario de una partícula que se mueve en el plano x – y es el siguiente: 0 < t < 5 s, x : m Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria - Determinar la posición de la partícula en los instantes t = 1, 2, 3, 4 s t (s)x (m)y (m) 132 268 3918 41232 -Dibujar la trayectoria de la partícula.

4 Vector posición, itinerario y trayectoria -¿Posición en t = 2 s? -¿Posición en t = 3 s? -¿Cuál es la ecuación de la trayectoria? Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria Vector posición en t = 2 s Vector posición en t = 3 s

5 Vectores desplazamiento y Velocidad media y x Posición inicial Velocidad media: -¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre t = 2 s y t = 4 s? 6i+24j m -¿Cuál es el vector velocidad media de la partícula en ese intervalo? 3i+12j m/s Posición después de un intervalo  t Desplazamiento: En el ejemplo 1:

6 Velocidad instantánea El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria. Nótese que el movimiento en el plano puede considerarse como la combinación de dos movimientos ortogonales.

7 Volvamos al ejemplo 1: - ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo? Puesto que: Entonces: - ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 2 s? - ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 3 s? Representemos estos vectores velocidad en el gráfico de la trayectoria...

8 Vectores velocidad Componentes: Módulo: Componentes: Módulo: Velocidad en t = 2 s Velocidad en t = 3 s

9 Aceleración media En el intervalo  t hay un cambio de velocidad: Se define la aceleración media como: Como:Por lo tanto el vector aceleración tiene la misma direccón que el vector  v.

10 Aceleración instantánea En el ejemplo 1 teníamos que la posición en función del tiempo era: Y la velocidad en función del tiempo: Entonces: - ¿Cuál es la aceleración en función del tiempo? La aceleración de la partícula es constante, apunta en la dirección del eje y y su módulo es 4 m/s 2.

11 Lanzamiento de un proyectil v ox vxvx vyvy v oy y x En todo lanzamiento en que Es decir: Si consideramos que: se obtiene para el itinerario las siguientes ecuaciones: 

12 Ejemplo 2: Desde el origen se lanza un proyectil con una velocidad de 76,2 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 66,8° con la horizontal. a) Determine la máxima altura y m que alcanza el proyectil. en que y o = 0, v o = 76,2 m/s,  = 66,8° Pero para y máxima v y = 0 y, por lo tanto, y, sustituyendo t en la ecuación para y, se obtiene: Reemplazando los datos: y m = 245,3 metros. Las ecuaciones para este movimiento son:

13 Continuación del ejemplo 2... b) ¿A qué distancia del origen cae el proyectil? (Alcance) La simetría indica que si demora t ym en alcanzar la máxima altura, demora el doble en llegar de vuelta al suelo. Por lo tanto: y reemplazando en la ecuación para x, o, lo que es igual: Reemplazando los datos, x m = 420,5 metros. Verifique que el alcance máximo se obtiene para un ángulo  = 45°

14 Movimiento circular uniforme y x P  r v Se trata de um MCU de un objeto P que se mueve en dirección contraria a los punteros del reloj. Nótese que Velocidad angular Unidades de  : rad/s o s -1 Velocidad: En que:

15 y x P  r v Tenemos, entonces que: Hagamos el producto punto entre estos dos vectores. Se obtiene: Es decir, v es perpendicular a r en todo instante. El módulo de v se obtiene haciendo el producto punto: Por lo tanto:y si consideramos que: en que T es el período del movimiento, obtenemos:

16 y x P  r v En resumen: Puesto que  = cte. en que T es el período del movimiento En un MCU, el itinerario es: y la velocidad en función del tiempo es: Además, se cumple que:

17 Ejemplo 3. En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo. a) Anote los vectores posición y velocidad del astronauta en función del tiempo. pero, y derivando obtenemos... en que b) Anote los valores de la rapidez del astronauta, su velocidad angular y el período de giro.

18 y x P  a v en que T es el período del movimiento Por lo tanto, el vector aceleración tiene dirección opuesta a r, es decir, apunta siempre hacia el centro de giro. Se le llama aceleración centrípeta. Aceleración en el movimiento circular uniforme PeroPor lo tanto: a = -  2 r Además se cumplen las siguientes relaciones:

19 Volvamos al ejemplo 3. En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo. c) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en función del tiempo. d) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración centrípeta del astronauta?

20 y x r v Por lo tanto, en el instante t = 0.5 s... Sigamos con el ejemplo 3... f) Dibuje estos tres vectores. e) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en el instante t = 0.5 s. r = 4 j (m) a v = -12.6 i (m/s) a = -39.5 j (m/s 2 )

21 y x r  Movimiento circular no uniforme Las componentes de la velocidad son: y el módulo de la velocidad es: Derivando se obtienen las componentes de la aceleración:

22 Componentes tangencial y normal Definamos los siguientes vectores unitarios: Vector unitario tangente a la trayectoria. Vector unitario normal a la trayectoria. Componente tangencial de la aceleración Pero, Por lo tanto,

23 Componente normal de la aceleración (Aceleración centrípeta) Es decir, a Por lo tanto, el vector aceleración en componentes tangencial y normal es el siguiente:

24 Ejemplos de aplicación de: 1. Movimiento circular uniforme Puesto que: a y su módulo es 2. Objeto aumentando su rapidez en una trayectoria curva. En que r es el radio de curvatura de la trayectoria. a a a

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