Líneas de Transmisión continuación.

Líneas de Transmisión continuación

Ondas en una linea infinita
Las ecuaciones tienen las soluciones: las soluciones independientes en cada combinación lineal representan ondas que se propagan en dirección +z (V+) y -z (V-) respectivamente

Las amplitudes de Onda Ellas están relacionadas por las ecuaciones diferenciales Es posible comprobar

Los términos que contienen deben desaparecer en la línea infinita porque esos términos aumentarían enormemente Eso significa la imposibilidad física de su existencia No hay onda reflejada solo onda en dirección de z+

Las ondas válidas son entonces: La razón del voltaje a la corriente para todo “z” en una línea infinitamente larga es independiente de “z” Esa razón se denomina Impedancia Característica de la línea

Las cantidades son propiedades características de una línea de transmisión, dependen de R, L, G, C y w pero no de la longitud de la línea En una línea infinita no hay ondas reflejadas

Ondas en una línea infinita
Existen dos líneas de particular interés para Línea sin perdidas Línea sin distorsión

Línea sin perdidas

Línea sin Perdidas Línea sin perdidas
La constante de propagación es dada por: Como G=0, esa constante se convierte en: que permite dar el coeficiente de atenuación a = 0 y el de propagación (como función lineal de w)

Línea sin Perdidas Velocidad de Fase
La velocidad de fase se calcula a partir de: tomando en cuenta que LC=me la velocidad de fase cumple En estas líneas la velocidad de fase coincide con la que viajan las OE en el medio separando los elementos de la línea

Línea sin Perdidas Impedancia Característica
La impedancia se calcula a partir de la ecuación: La resistencia característica es dada por La reactancia característica es evidentemente nula Xo = 0

Línea sin distorsión

Línea sin distorsión En una línea sin distorsión se cumple la condición Esa condición impone una simplificación de g y Zo: La constante de Propagación cumple: Sacando como factor común a C/L:

Línea sin distorsión Se obtiene el número complejo g:
De donde el coeficiente de amortiguamiento y coeficiente de propagación son dados como: Observamos que el coeficiente de propagación depende linealmente de w

Línea sin distorsión La velocidad de Fase
La fase resulta ser constante La Impedancia Característica Es obtenida al efectuar el desarrollo:

Línea sin distorsión La resistencia y reactancia características
La resistencia es constante mientras que la reactancia es cero.

Análisis de Líneas sin perdidas y sin distorsión
Ambas líneas tienen las mismas características, excepto una constante de atenuación No Nula en el segundo caso Sobresalen las características: Una velocidad de Fase constante Una impedancia característica real constante

La dependencia lineal de b con la frecuencia angular w da lugar a una velocidad de fase vf constante Las ondas “monocromáticas” no son usualmente utilizadas, en su lugar se usan anchos de banda completos Para evitar DISTORSION, es necesario que las ondas componentes del “ancho de banda” viajen con la misma velocidad

La anterior condición la cumple una línea sin perdidas También se cumple en forma aproximada en una línea con pocas perdidas En una Línea con perdidas : Las amplitudes de onda se atenúan de manera distinta Aún cuando se propaguen con la misma velocidad En una Línea sin distorsión: Su condición fundamental implica que la atenuación sea constante con velocidad de fase constante Esto origina UNA LINEA SIN DISTORSION

Línea de transmisión con perdidas
La constante de fase g de estas líneas se calcula por medio de Por lo general es una función de la frecuencia angular w Por esa razón la velocidad de fase cumple: vf = vf ( w ) Este tipo de líneas provoca por ello. distorsión de la señal (dispersión)

Línea de transmisión con perdidas
El comportamiento de este tipo de líneas es análogo al de los medios “dieléctricos dispersivos” porque provoca distorsión en la señal cada componente del ancho de banda se atenúa y propaga, de manera distinta

Potencia Transmitida sobre la Línea de Transmisión
Es evidente la analogía que existe entre: Potencial Eléctrico e Intensidad de Campo Eléctrico Corriente Eléctrica e Intensidad de Campo Magnético La potencia transmitida guarda analogía con la magnitud del promedio temporal de Poynting

El análogo al promedio temporal del Vector de Poynting es dado por: Que es la potencia transmitida Ahora podemos calcular la potencia transmitida en una línea de transmisión usando las ondas solución validas:

Omitiendo los superíndice “+”, esas soluciones se escriben como Usando también la relación clásica entre voltaje y corriente: Quedando las soluciones como

La potencia es dada por medio de:

Podemos definir la perdida de potencia media temporal por unidad de longitud como la función PL(z) La potencia debe cumplir la Ley de conservación de la Energía Por esa razón PL(z) debe igualarse a la rapidez de disminución de la potencia con la distancia a lo largo de la línea es decir:

A partir de esta última expresión es posible obtener el coeficiente de atenuación en función de Relaciones de Potencia: La perdida de potencia media temporal por unidad de longitud, es la suma de la potencia perdida en el resistor mas la potencia perdida en la conductancia, de una línea con perdidas: Nota:El factor ½ es debido al promedio temporal de la función de potencia

Coeficiente de atenuación en una línea con perdidas
La sustitución de las funciones válidas permite escribir: Usando el resultado anterior y las expresiones

Coeficiente de atenuación en una línea con perdidas
El coeficiente de atenuación en la línea con perdidas es en consecuencia dado por Si las perdidas son pequeñas, podemos considerarla aproximadamente igual a la línea sin perdidas, en la cual

Coeficiente de atenuación en una línea con perdidas pequeñas
El coeficiente de atenuación para una línea con perdidas pequeñas, es dado por: Nos interesa que la anterior línea, además sea una línea sin distorsión en la cual recordamos que

Coeficiente de atenuación en una línea con perdidas pequeñas y sin distorsión
Aplicando la condición de no distorsión, el coeficiente de atenuación se convierte en: Esta expresión asegura que una línea con pequeñas perdidas y sin distorsión se aproxima grandemente a la línea pura sin distorsión

Características de la Onda
(En Líneas de Transmisión Finitas)

Líneas de Transmisión Finitas
Para líneas de Transmisión la solución de las Ecuaciones de Helmholtz Unidimensionales con dependencia armónica en el tiempo recordamos son: Donde se cumplen las relaciones entre amplitudes siguiente:

Ondas generadas en z=0, para una línea infinita cumplen: Solo son posibles ondas directas propagándose en dirección de +z El segundo término en las soluciones desaparece automáticamente Es decir desaparecen las ondas reflejadas transmitiéndose en dirección -z

Analizaremos el caso de Línea de Transmisión Finita: Consideraremos una impedancia característica de la Línea = Zo Supondremos que la línea termina en una impedancia de carga arbitraria ZL

La longitud de la línea es “l” En z = 0 , la línea se conecta a una fuente de voltaje sinusoidal Con una impedancia interna Zg En z = l se cumple la relación Nota: Imposible de cumplir si no se toma en cuenta la segunda parte de las soluciones

La única posibilidad que se cumpla es que ZL = Zo, para existencia de la solución única de propagación hacia +z expresada en Una vez conocidas las constantes de fase g y de impedancia Zo Características de la línea quedan como incógnitas

Esas cuatro incógnitas no son todas independientes, ya que deben satisfacer las soluciones tanto en z=0 como en z=l Para z=l las soluciones dan como resultado Podemos resolver ese sistema de ecuaciones para :

Sustituyendo los valores de estas amplitudes en las soluciones de las ecuaciones de Helmholtz tenemos: Es conveniente cambiar la variable a z’= l – z y la anterior ecuación se convierte en: z’=l – z es la distancia medida hacia atrás desde la carga

Utilizando las definiciones del seno y coseno hiperbólicos: Las soluciones se convierten en: Relaciones útiles para calcular corriente y voltaje en cualquier punto de la línea de transmisión en función de

La razón V(z’)/I(z’) es la Impedancia “mirando hacia la carga” desde una distancia z’ a la carga En el “extremo fuente” de la línea z’ = l , el generador “ve” en la línea una IMPEDANCIA DE ENTRADA Zi:

Línea Adaptada Un caso particular importante es cuando la “Línea es Adaptada” Este caso se tiene cuando ZL = Zo , en cuyo caso el cálculo de Zi da como resultado: Zi = Zo Sin importar la longitud de la línea “l “, bajo esta condición se dice que la LINEA ESTA ADAPTADA

Condiciones en el Generador
Si miramos la línea desde el “generador”, la línea de trasnmisión finita se puede sustituir por la impedancia Zi El voltaje de entrada Vi y la corriente de entrada Ii son fácilmente determinados por la sustitución de la línea con la impedancia Zi mostrados en el circuito simple:

Aproximación de la línea Finita con una línea sin perdidas
En la mayor parte de los casos de líneas de transmisión, podemos suponer que la línea se aproxima a una línea sin perdidas En ese caso: g = j b Zo = Ro Mientras que la función tangente hiperbólica cumple tanh(g l ) = tanh(jbl ) = j tan(bl )

Aproximación de la línea Finita con una línea sin perdidas
En este caso, el cálculo de la Impedancia de entrada Zi , da:

Líneas en Circuito Abierto y en Cortocircuito
Continuación estudio de Líneas de Transmisión

Las Líneas de Transmisión son usadas como: Estructuras para guiar potencia e información de un lugar a otro Elementos de circuito para Frecuencias Ultra Altas (UHF), rango entre 300 Mhz a 3 Ghz En ese ancho de banda, los elementos de circuito concentrados (inductancias o capacitancias) son difíciles de fabricar

No es fácil construir elementos concentrados en ese rango, debido a los campos de dispersión que se vuelven factores importantes Las líneas de transmisión en circuito abierto o en cortocircuito, pueden funcionar como inductancias o capacitancias Para frecuencias mayores que las UHF, los circuitos de líneas de transmisión son demasiado pequeños y deben usarse en su lugar, Guías de Onda

Líneas en Circuito Abierto
La impedancia ZL tiende a infinito Usando la expresión y dividiendo numerador y denominador por ZL Tenemos

Por lo anterior, la impedancia de entrada de una línea sin perdidas, en circuito abierto es puramente reactiva La línea puede ser capacitiva o inductiva: En función de que cot (b l ) sea negativa o positiva, ya que esta cotangente depende del valor b l = 2p l / l Si la longitud de onda es muy superior a la longitud de la línea de transmisión, , podemos obtener una fórmula muy simple para su reactancia capacitiva porque

La expresión anterior es la impedancia de una Capacitancia de valor Farads En la práctica, no se puede obtener una carga de impedancia infinita en el extremo de la línea de Transmisión Esto es cierto sobre todo a frecuencias muy altas, porque existe acoplamiento con objetos cercanos y por existencia de radiación en el extremo

Líneas en cortocircuito
En este caso, ZL = 0 La ecuación conduce a impedancia de entrada en una línea sin perdidas en cortocircuito

En virtud de que tan( b l ) varía en el rango : La impedancia de entrada de una línea sin perdidas en cortocircuito puede ser puramente inductiva o capacitiva dependiendo del valor que tome b l Cuando b l = p/2 la longitud de la línea es l = l/4 y en ese caso la impedancia de entrada Zi se hace infinita Este resultado significa : Una línea de Transmisión de un cuarto de longitud de onda (l/4 ) en corto circuito, es de hecho un circuito abierto

Si la longitud de la línea de transmisión es muy pequeña en comparación con la longitud de onda b l << 1 En ese caso, el valor de la impedancia de entrada es aproximadamente Que es la impedancia de una inductancia de valor

Constante de propagación a partir de mediciones en la entrada
Se puede determinar la impedancia característica y la constante de propagación de una línea de transmisión al medir la impedancia de entrada de una sección de línea en condiciones de circuito abierto y cortocircuito

A partir de la ecuación La línea en circuito abierto da: Mientras que la línea en cortocircuito da: En base a estas dos ultimas ecuaciones y la propiedad

Podemos escribir la relación: utilizando las condiciones ZL infinito implica Zio y la condición ZL = 0 implica Zis tenemos de donde se pueden determinar la impedancia característica y la constante de propagación de una sección de línea en cortocircuito y circuito abierto

Coeficiente de Reflexión y Razón de Onda Estacionaria
En una línea de transmisión finita las ondas de corriente y voltaje viajando hacia la carga, provocan la existencia de ondas reflejadas Esas ondas existirán a condición que ZL diferente a Zo

Ya encontramos la expresión para calcular el voltaje a una distancia cualquiera z’ de la carga: Ecuación que puede reescribirse como: Si usamos la relación tenemos:

La cantidad dada en la relación es denominada Coeficiente de Reflexión en voltaje de la impedancia de carga ZL Esa cantidad es la razón de las amplitudes complejas de las ondas de voltaje reflejada e incidente en la carga (posición z’ = 0 ) y es análoga al coeficiente de reflexión en amplitud a incidencia Normal en una dioptra plana recordando la relación

Sustituyendo la relación entre impedancia de un medio y el índice de refracción del mismo tenemos: expresión que guarda analogía con nuestra ecuación Recordemos que en general, el índice de refracción es un número complejo, en consecuencia la expresión del coeficiente de reflexión en las ondas electromagnéticas es complejo también

Recordemos además que el coeficiente de reflexión debe dar una cantidad al elevarse alcuadrado que tiene un valor máximo de 1. Por esta razón el coeficiente de reflexión en voltaje de la impedancia de carga debe cumplir la desigualdad: La OE reflejada en una dioptra tiene la forma: (es la suma de onda incidente y reflejada) Esta función es una onda estacionaria

Esta función es Onda Estacionaria porque es una solución de la ecuación de onda que se puede separar en la forma de un producto de una función cosenoidal de la posición multiplicada por otra cosenoidal del tiempo

Cuando se tratan ondas estacionarias, cobra importancia: La relación entre el valor máximo y el valor mínimo del vector de Intensidad de Campo Eléctrico Esa relación se llama: Razón de Onda Estacionaria (SWR), dado por la cantidad “S”:

La magnitud del coeficiente de reflexión puede determinarse a partir de la razón de onda estacionaria La expresión es dada por: El valor de G varía entre -1 y +1, el de S entre 1 e infinito Usualmente S se expresa en Escala Logaritmica En decibeles S se expresa como 20 log10 (S)

Por ejemplo: Si S = 2, esta razón de onda estacionaria corresponde a un valor 20 log10 (2) =6.02 dB mientras que el coeficiente de reflexión corresponde a: Una razón de onda de 2 dB es equivalente a S = 1.26, entonces G =0.115

Regresemos al caso de nuestra línea finita: La corriente es obtenida a partir de: de donde se obtiene la corriente deseada: El coeficiente de reflexión en corriente correspondiente ahora, es el negativo del coeficiente análogo en voltaje basta analizar la expresión

Si una línea de transmisión Es Adaptada: (ZL = Zo) y el coeficiente de reflexión es tal que G=0 y no hay reflexión en la carga. Cuando existen ondas estacionarias de voltaje y corriente en la línea, las cuales presentan máximos y mínimos

De manera análoga, podemos definir la razón de onda estacionaria en una línea finita como: La razón de onda estacionaria puede variar desde 1 ( carga adaptada) a circuito abierto o cortocircuito) Conclusiones dependientes del valor de ZL

No son deseables valores altos de la razón de onda estacionaria porque generan una gran perdida de potencia Evidentemente, se define análogamente la relación que da G en función de S

La razón de onda estacionaria en una línea de transmisión puede medirse experimentalmente: Se toma la razón de las intensidades máxima y mínima de campo Ellos se detectan con una pequeña sonda que se introduce en la línea por una estrecha ranura a lo largo de una sección de la línea A partir de la ecuación Se puede calcular S, evaluando los valores maximales del potencial Vmax y Vmin en la línea

El coeficiente de reflexión en voltaje de la impedancia de carga ZLes calculable una vez que se conoce “S”: A partir de la ecuación se deduce G en valor absoluto A partir de las posiciones de Vmax y Vmin , se puede determinar el ángulo qG . (La distancia entre dos máximos o mínimos en una onda estacionaria es igual a l/2 ) Una vez calculados G en valor absoluto y qG , se puede calcular ZL por medio de

Para una línea de Transmisión Sin Perdidas , g = j b y las ecuaciones: Se convierten inmediatamente en:

Las ecuaciones siguientes expresan el voltaje V(z’) y la corriente I(z’) en una línea de transmisión finita terminada en ZL en términos de la corriente de carga IL y el coeficiente de reflexión en voltaje G de la carga.

Hasta este momento, no se han mencionado las condiciones en la entrada (generador) Es evidente que IL depende de las condiciones en el extremo de entrada Si se conecta un generador de voltaje Vg con impedancia interna Zg a la entrada de la línea, tenemos la condición siguiente:

Vi e Ii son obtenidas al asignar z’ = l en las ecuaciones En lo referente a las ondas de voltaje viajeras, el voltaje de entrada es: y se propaga hacia la carga con velocidad en cuanto se conecta el generador a las terminales de la línea

Si la onda incidente se refleja con coeficiente de reflexión G La velocidad de la onda de regreso es la misma: Si , se produce otra reflexión con coeficiente Este proceso se repite indefinidamente en ambos extremos de la línea, la Onda resultante V(z’) es la suma de todas esas Ondas Reflejadas en ambos extremos

Si ZL = Zo (línea de carga adaptada) la G será nula y habrá sólo una Onda viajera que parte del generador y termina en la carga En el caso en que pero si Zg = Zo hay una onda inicial que se propaga hacia la carga y una onda reflejada regresando desde la carga y terminando en el generador

Diagrama de Smith Pasar a la otra ppt

Diagrama de Smith Los cálculos de Líneas de Transmisión implican operaciones muy tediosas con números complejos Se implementó un método gráfico de cálculo denominado Diagrama de Smith Fue Publicado bajo los artículos Transmission-Line Calculator . P.H. Smith, Electronics, vol.12, pag. 29, enero 1939 An improved transmission-line calculator . P.H. Smith, Electronics, vol.17, pag. 130, enero 1944

Diagrama de Smith A “grosso modo”, un diagrama de Smith se puede definir como una representación gráfica en el plano del coeficiente de reflexión, de las funciones de resistencia y reactancia normalizadas En la página siguiente se presenta un diagrama de Smith

Diagrama de Smith

Diagrama de Smith Elaboremos un diagrama de Smith para una Línea de Transmisión sin perdidas El coeficiente de reflexión en voltaje de la impedancia de carga es definido por “Normalizando” la Impedancia de Carga ZL con respecto a la impedancia característica de la línea

Diagrama de Smith Obtenemos:
donde r y x son la resistencia normalizada y la reactancia normalizadas En estas condiciones podemos escribir

Diagrama de Smith La relación inversa que da la impedancia normalizada es: Expresando tanto zL como G en términos de sus componentes reales e imaginarias obtenemos

Diagrama de Smith Multiplicando por el complejo conjugado del denominador tanto numerador como denominador del 2º miembro de la última ecuación tenemos: Si resolvemos la ecuación siguiente para r :

Diagrama de Smith Obtenemos por medio del paquete Derive:

Diagrama de Smith Comparando los resultados, vemos que el lugar geométrico para un valor determinado de “r ” es una circunferencia descentrada respecto a los ejes, de radio y centrada en el punto Para distintos valores de “r”, tenemos circunferencias de radio diferente con centro en distintas posiciones del eje Gr La familia de circunferencias centradas sobre el eje Gr corresponde a los lugares con “r” variando de valor

Diagrama de Smith

Diagrama de Smith En una línea sin perdidas, por esa razón sólo tiene significado la parte de la gráfica que está en el circulo unitario centrado en el origen del plano Gr - Gi podemos por ello descartar todo lo que quede fuera de este círculo Todos los círculos de esta familia, presentan la tangencia común en el punto (1 , 0) El circulo asociado a r=0 es el de radio mayor (radio=1)

Diagrama de Smith

Diagrama de Smith A partir de la ecuación
Podemos obtener el lugar geométrico de la reactancia normalizada constante Que define la familia de circunferencias de radio y con centro en los puntos

Diagrama de Smith Los diferentes valores de “x” generan circunferencias con diferentes radios con centros en distintas posiciones sobre la “recta vertical” Gr = 1 Las líneas punteadas del diagrama de Smith representan esas curvas Debe notarse que esas circunferencias sólo adquieren relevancia dentro del círculo de radio igual a 1 de la familia de circunferencias asociado a la resistencia normalizada

Diagrama de Smith

Diagrama de Smith Todos los círculos “x” pasan también por el punto de tangencia (1,0) Sus centros están por arriba del eje Gr si x>0 (reactancias inductivas) Sus centros están por abajo del eje Gr si x<0 (reactancias capacitivas) El radio del círculo “x” es mayor conforme disminuye El lugar geométrico de x = 0 degenera en el eje Gr

Diagrama de Smith

Diagrama de Smith Es posible demostrar que las dos familias de curvas forman un conjunto de trayectorias ortogonales En todo punto de intersección, los gradientes de ambas trayectorias son normales Lo cual asegura la ortogonalidad de las trayectorias La intersección de una circunferencia “r” y otra “x” define una “impedancia de carga normalizada” zL =r+jx. La impedancia de carga real es ZL=Ro(r+jx )

Diagrama de Smith

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