La Revolución Educativa que trajo la Geometría Dinámica de Cabri – Géomètre Grupo DITE-MA Dr. Eugenio Díaz Barriga Arceo Ivonne.

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1 La Revolución Educativa que trajo la Geometría Dinámica de Cabri – Géomètre Grupo DITE-MA Dr. Eugenio Díaz Barriga Arceo ediazb@gauss.mate.uadec.mx Ivonne Sandoval Cáceres isandoval@mate.uadec.mx David Benítez Mojica dbenitez@mail.uadec.mx Universidad Autónoma de Coahuila Facultad de Matemáticas

2 Introducción En México, alrededor de los años 70s y aún 80s, en el sistema educativo se habían aceptado sin crítica las reformas que proponía el movimiento denominado Matemática Moderna. Remanentes de esta postura incluso pueden ser encontrados hoy en día. El resultado fue un sistema que omitió el campo didáctico por excelencia de la Matemática: La Geometría

3 Y sin embargo, se mueven... Y sin embargo, se mueven... Desde tiempos griegos, los métodos cinemáticos se encontraban implícitos en el estudio de una gran gama de figuras estáticas. Ya en temprana época, la investigación en Educación Matemática necesito de herramientas que permitieran primero transformar gráficas o dibujos de modo ágil en algún lenguaje simple. Así, los abuelos de la Geometría Dinámica fueron lenguajes como Logo o Basic y las calculadoras graficadoras. Y sin embargo, solo hasta hoy las figuras se mueven en tiempo real con el surgimiento de la Geometría Dinámica...

4 Una historia llena de bits: Cabri-Géomètre A principios de los años 80, Cabri-Graph se concibe por el equipo EIAH del Laboratorio Leibniz en Grenoble, Francia, para trabajar teoría de gráficas. Unos años más tarde, se pensó en un paquete que permitiera crear, modificar y manipular figuras geométricas en tiempo real; sus primeras líneas de código fueron escritas entre octubre de 1986 y enero de 1987. El padre de Cabri-géomètre es el investigador francés Jean-Marie Laborde quién contó con la fuerte colaboración de su tesista, el también francés Frank Bellemain. Para 1988 Cabri-géomètre obtiene un reconocimiento industrial al ganar el premio de software educativo que le otorgara Apple. Tiempo después, Texas Instruments compra los derechos para incluir este paquete en su calculadora TI-92, primera calculadora geométrica.

5 Otros paquetes Además de Cabri-Géomètre, existen otros paquetes que realizan Geometría Dinámica, como por ejemplo: »SketchPad »Hypothese »Cinderella »GeoFlash »Calques »Non Euclidean Todos ellos tienen sus ventajas y desventajas respecto a la arquitectura con la que fueron diseñados. Algunos dieron peso a trazar diseños bonitos; otros a involucrar al lenguaje de programación con la Geometría; otros buscaron tener la facilidad de enriquecer una biblioteca de lecciones, etc.

6 Cabri-Géomètre es un paquete de Geometría Dinámica, Geometría de las figuras que pueden deformarse, moverse. En él pueden modelarse distintas geometrías (euclideana, no euclideanas, proyectiva, analítica, tridimensional, etc.). Utiliza menus tipo Windows...

7 Manipulación Directa de Objetos Abstractos Jean-Marie Laborde (2001): En el proceso de percepción del que aprende es importante creer que se manipulan los objetos del medio. Moreno (1998): El trabajo en un entorno como Cabri-Géomètre nos reserva diferencias fundamentales con respecto al trabajo conceptual en Geometría, pues el entorno viene provisto de la posibilidad de arrastrar Cabri-Géomètre proporciona un marco constructivo en el cual se pueden : Arrastrar objetos (puntos, líneas, circunferencias, cónicas, etc) Explorar el comportamiento al infinito de distintas construcciones Definir conceptos abstractos a través de macros. Buscar regularidades e invariantes.

8 Maximum circumferences in the sphere Let us consider two points diametrically opposed in the sphere and that they are not neither in the poles neither in the equator of the figure. We can suppose that they will be respectively the highest and lower points with relationship to the stereographic plane of the maximum circumference that we want to build. Let us take z0 to the lowest and z1 is the highest point and the corresponding points in the plane in fact the z0 * previous and another point z1*, respectively. 1. A meridian contains to the North pole, the points z0, z1 and to the South pole. 2. The angle formed between the points z0, the North pole and z1 is a right angle. 3. The points z0* and z1* they are in the same plane to this meridian. 4. The triangle of vertexes z0*, South pole and North pole is similar to the triangle determined by the North pole, the South pole and the point z1 *.

9 Definición de una Macro Una macro en Cabri queda completamente definida por el proceso constructivo, sus objetos iniciales, los objetos finales y un nombre.

10 Sobre las pruebas visuales y la demostración

11 Ejercicios de asociación de campos de pendientes, curvas solución, ecs. difs. y formas analíticas. Un ejemplo. Relacione cada familia de curvas con sus correspondientes opciones y = 1 / (1 + C e x ) y = ln ( C + e x ) (x-1) 2 + (y+1) 2 = C+2 y = C e x - x -1 x 2 - y 2 = C x y = C sen x y 2 - (x-1) 2 = C y = x 2 + C x + 1 y = y ctg x y = e x - y y = (y - x 2 - 1 ) / x y - y = x y = (x 2 + y 2 ) / (2 x y) y = y ( y -1) y = (x - 1) / y y = (1 - x) / ( 1 + y)

12 Ejemplos del uso del principio de Cavalieri en la Historia 1.Area de una elipse 2. Area bajo un arco de la cicloide 3. Sobre la densidad entre los indivisibles

13 Con Geometría Dinámica se pueden presentar de modo diferente diversos tópicos del Cálculo: 1.Máximos y mínimos 2.Sumas de Riemann 3.Derivada de una función en un punto Geometría Dinámica y Cálculo

14 Enunciado general del problema de Apolonio: Max Problema: Dadas 3 circunferencias en el plano, se busca trazar una circunferencia que sea tangente a todas ellas. Aclaración: La palabra Circunferencia puede significar punto, línea o la circunferencia en el sentido habitual (¿porqué?) Manejo de los objetos geométricos al infinito: El método del funicular

15 Para explorar: Recordar la mediatriz de un segmentoRecordar la mediatriz de un segmento Envie objetos al infinitoEnvie objetos al infinito Aproveche la dinámica y descubra casos especialesAproveche la dinámica y descubra casos especiales Caso Punto, Punto, Punto (PPP) Dados tres puntos en el plano, encontrar la circunferencia que pase por ellos. Es equivalente a encontrar el cincuncírculo de un triángulo.

16 Rectas notables en el triángulo 1)Trazar las rectas notables de un triángulo. 2)Desplazar los vértices. Escribir todas las propiedades posibles.

17 Cabri al auxilio de la Optimización Proposición. Sea f una función de R n en R y sea f(x 0 ) el gradiente de f en el punto x 0. Entonces la función f(x) crece (respectivamente decrece) en la dirección del f(x 0 ) (en la dirección de - f(x 0 )).

18 Conclusiones Hacia la abstracción: en la medida en que los estudiantes van teniendo un mejor conocimiento del medio informático – lo cual implica un aumento en su capacidad de expresión- son capaces de escribir los enunciados matemáticos. Los enunciados matemáticos Arrastre del ratón de la computadora Los enunciados situados y enunciados generales Manipulación directa. Libertad de exploración

19 Fin Grupo DITE-MA Dr. Eugenio Díaz Barriga Arceo ediazb@gauss.mate.uadec.mx Ivonne Sandoval Cáceres isandoval@mate.uadec.mx David Benítez Mojica dbenitez@mail.uadec.mx Universidad Autónoma de Coahuila Facultad de Matemáticas