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Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez. Dentro de este tema se considerara otro tipo de variables las cuales se habían mencionado anteriormente, conocidas.

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1 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

2 Dentro de este tema se considerara otro tipo de variables las cuales se habían mencionado anteriormente, conocidas como variables aleatorias continuas. Este tipo de variables son conocidas por que pueden tomar un número infinito de posibles valores y los valores pueden diferir uno de los otros por cantidades infinitesimales. Sus distribuciones son distribuciones continuas. La distribución normal es la mas importante y la mas frecuentemente utilizada de estas distribuciones continuas.

3 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez La distribución normal se puede representar a través de una gráfica que tiene forma de campana y recibe el nombre de distribución de Gauss, gaussiana o curva normal. Distribución normal La curva normal depende de 2 parámetros la media( μ) y la desviación estándar( ) μ La varianza y la desviación estándar indican si existe alguna dispersión entre los datos y de que magnitud es tal dispersión en caso de que se presente. La media señala la parte central de la distribución y es ahí donde se espera esté la mayor parte de los datos con el fin de que no haya una gran dispersión entre ellos.

4 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez La distribución normal es elaborada a partir de una distribución muestral, que consiste en tomar muchas muestras de una misma población, se calculan sus medias muéstrales y se representan gráficamente. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL La distribución muestral de un estadístico, es la distribución de los valores tomados por él en todas las muestras posibles de igual tamaño de la misma población. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL La distribución muestral de un estadístico, es la distribución de los valores tomados por él en todas las muestras posibles de igual tamaño de la misma población.

5 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez μ La curva tiene forma de campana y presenta un punto máximo que se encuentra en el centro de la distribución, en ese punto la media, mediana y moda son iguales. Es simétrica con respecto a la media de la distribución, es decir, el índice de asimetría de la distribución normal es cero.. La curva normal se extiende horizontalmente de(- a+) El área total bajo la curva normal se considera que es de 100% ya que la suma de las probabilidades a lo largo de la distribución es 1

6 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Cada distribución normal es completamente especificada por su media y su desviación estándar, existiendo una distribución normal diferente para cada combinación de media y desviación estándar, dependiendo del grado de dispersión que exista. La dispersión hace que la curva sea más elevada o más achatada Un valor pequeño de σ significa que la curva normal es una campana delgada y picuda Un valor grande de σ significa que la curva normal es una campana ancha y aplanada

7 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez La variación del parámetro μ ocasiona un desplazamiento de la gráfica a la izquierda para valores negativos y a la derecha para valores positivos. La Figura siguiente muestra el efecto descrito para las σ=1, y tres diferentes medias μ=-2,μ=0,μ=2. Figura. Efecto de desplazamiento para σ=1, μ=-2,μ=0,μ=2,

8 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Como se menciono anteriormente, la distribución Normal depende de dos parámetros el valor esperado o media y la desviación típica, por lo que para cada uno de los valores de estos parámetros se tiene una gráfica diferente como se observo anteriormente. La ecuación de una curva con forma de campana esta dada por

9 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Debido al hecho de que la curva normal presenta la distribución probabilística de una variable aleatoria continua, es imposible referirse a un punto en particular sobre la curva como probabilidad de x. Para determinar probabilidades es necesario hacer referencia a intervalos tales como el intervalo a y b. ab El área sombreada bajo la curva proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome cualquier valor entre a y b, y se obtiene hallando el área bajo la curva a partir de la siguiente integral

10 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez El problema anterior se resuelve convirtiendo curvas normales de formas y posiciones diferentes, en una sola curva normal estándar, con el cambio de variable aleatoria al cual se le llama estandarización de la variable X a unidades en Z. De acuerdo a la integral anterior se sabe que resultaría complicado el cálculo de las probabilidades, debido a que hay un número infinitamente grande de distribuciones normales para cada μ yσ, pero como es de suponerse se requiere de algún método con el que no se tengan que resolver integrales para diferentes valores de μ y σ. Una variable aleatoria se estandariza al expresar su valor como el número de desviaciones estándar (z), a la izquierda o a la derecha de su media( μ). De la formula se obtiene las siguientes conclusiones Cuando x es menor que la media μ,el valor de z es negativo. Cuando x es mayor que la media μ, el valor de z es positivo. Cuando x = μ, el valor de z =0

11 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Construcción de la curva normal estándar Por lo tanto si μ=4 y σ=1, un valor de x=2 se convierte en z=-2, indicando que este valor de variable aleatoria esta a 2 desviaciones estándar debajo de la media como se muestra a continuación. Las curvas normales se pueden convertir en una curva normal estándar mostrada en el panel inferior. Cada valor real x, de la variable aleatoria normal se convierte en un valor estandarizado z. Del mismo modo, cuando μ=12 y σ=2, un valor de x=14 se convierte en z =1, indicando una distancia de una desviación estándar arriba de la media.

12 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez La variable Z es conocida como variable tipificada Distribución normal estandarizada estandar.htm l μ=0 σ=1 El área bajo la curva normal estándar se puede consultar en tablas respectivas para los valores más comúnmente utilizados. Las tablas disponibles en general solo abarcan un rango para la variable tipificada de -3.4 Z 3.4, esto es debido a que la probabilidad de valores de Z mayores que 3.4 y menores que -3.4 tienen una probabilidad muy baja, y la probabilidad el área o bajo la curva normal estándar es prácticamente 1. Área bajo la curva=1

13 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Uso de tablas de Distribución Normal Acumulada Las puntuaciones z se enlistan en la columna del lado izquierdo donde se muestran las unidades y décimos. Las puntuaciones z se enlistan en el renglón superior, donde se muestran los dos centésimos.

14 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Lincoln L. Chao. Introducción a la Estadística. California State University. México,2002 Ed. Continental. Décima séptima reimpresión.pp.218 También se puede determinar el área bajo la curva normal, en base a la regla empírica que plantea 3 aseveraciones: 68.27% 95.45% 99.73% Aproximadamente el 68% del área bajo la curva esta comprendida en un intervalo de μ- σ hasta μ+σ. 1 1 Aproximadamente el 95% de los valores se encuentran en un rango que comprende μ ± 2σ, es decir 95% de los datos se encuentran a una distancia de 2 desviaciones estándar. 2 2 Aproximadamente el 99% de los valores se encuentran en un rango que comprende μ ± 3σ, es decir 99% de los datos se encuentran a una distancia de 3 desviaciones estándar 3 3 σ 3σ3σ σ σ 2σ2σ2σ2σ 3σ3σ μ

15 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Todo lo explicado anteriormente hace referencia a una población que presenta una distribución normal, pero ¿Qué hacer en el caso de que la distribución poblacional no sea normal? Teorema de límite Central Si es la media de una muestra aleatoria simple tomada de una población grande de valores x, y si los valores de la población N no están totalmente distribuidos, la distribución de, sin embargo, se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño muestral n, siempre y cuando el tamaño de la muestra sea grande n >30. n n n n n n n n A esto se le conoce como Teorema de límite Central A esto se le conoce como Teorema de límite Central

16 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Por lo anterior la variable tipificada para determinar la probabilidad de la variable aleatoria es El teorema de límite central nos permite utilizar los cálculos de probabilidad de una población normal, para responder a preguntas sobre las medias muéstrales de muchas observaciones, incluso cuando la distribución de la población no es normal. Medidas de distribución muestral de Distribución muestral de la media muestral = μ = =

17 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez En esta sección se muestra la forma en que las probabilidades relativas a una distribución binomial pueden estimarse razonablemente utilizando la distribución normal. Con ayuda de la siguiente figura se explicará mas claramente. Los rectángulos representan probabilidades para los diferentes valores de la variable aleatoria binomial x, en cada histograma. Conforme aumenta el valor de n, los rectángulos se vuelven mas angostos, y cuando tiende a infinito se tienen rectas verticales sin espacio entre ellas y la distribución se convierte en una curva normal en forma de campana.

18 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Una regla práctica para la aproximación a la normal es que tanto np como n(1-p) sean mayores de 5. La variable aleatoria binomial x es el número de éxitos en n ensayos. La tendencia de la binomial a acercarse a la distribución normal se vuelve mas rápida y pronunciada cuando la probabilidad de éxito o p, es cercana a 0.5. A pesar de esto la tendencia seguirá existiendo cuando p tome otros valores. En realidad siempre que n sea suficientemente grande, es posible aplicar la distribución normal como aproximación a la binomial sin importar el valor de p. Ya que la distribución normal tiene dos parámetros, la media(μ) y la varianza( ), es necesario identificar ambos parámetros en la variable aleatoria binomial x, siempre que se intente una aproximación a la normal.

19 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez La aproximación se puede llevar a cabo para un numero menor siempre y cuando el producto de np y n(1-p) sea mayores a 5, por ejemplo para el caso n=15 y p=0.4 se tiene que np= 6 y n(1-p) =9.6, entonces es posible aproximar la distribución binomial mediante la distribución normal para este caso. La figura siguiente muestra la distribución binomial y la normal para n = 15 y p = 0.4. Ejemplo: Figura. Aproximación de la binomial mediante la distribución normal, n =15 y p =0.4

20 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Si ahora n=15 y p=0.3 se tiene que np= 4.5 y n(1-p)= 10.5, entonces, para este caso no es adecuado aproximar la distribución binomial mediante la distribución normal. La figura siguiente muestra la distribución binomial y la normal para n = 15 y p = 0.3. Para obtener una buena aproximación normal se requerirá un n mucho mayor, por ejemplo, para n=30 y p=0.3 se tiene que np= 9 y n(1-p)= 21, y entonces si es posible aproximar la distribución binomial mediante la normal. Ejemplo:

21 Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez Gálvez Coyt Gonzalo. Apuntes de Probabilidad y Estadística.2009.pp ,94,95,97,98 Orozco Lira Godfrey, Carballo Pérez Alfonso. Estadística I. Universidad Tecnológica de México. Ed. INITE. 3 ra edición. pp.358,359 Lincoln L. Chao. Introducción a la Estadística. California State University. México,2002 Ed. Continental. Décima séptima reimpresión.pp.211,213,242,243 Weimer Richard C. Estadística. Compañía Editorial Continental. México, ªreimpresión. pp.298. Mendenhall William,Beaver Robert J.,Beaver Barbara M. Introducción a la Probabilidad y Estadística. México, Ed.Cengage Learning. Décimo segunda edición.pp.225. Heinz Kohler. Estadística para negocios y economía. México,1996. Ed. Continental. Primera edición en español. pp.252,253 Moore David S. Estadística Básica Aplicada.Barcerlona,2000. Ed. Mozart Art. Segunda edición.pp.303,305,310,311 Bibliografía

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