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RAÚL ARTEAGA TREJO OSCAR URIEL ACEVEDO LEAL PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD 6: MODELOS PROBABILISTICOS BÁSICOS DISTRIBUCIÓN NORMAL I.S.C Rosa E. Valdez.

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1 RAÚL ARTEAGA TREJO OSCAR URIEL ACEVEDO LEAL PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD 6: MODELOS PROBABILISTICOS BÁSICOS DISTRIBUCIÓN NORMAL I.S.C Rosa E. Valdez V.

2 Introducción En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

3 Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: caracteres morfológicos de individuos como la estatura; caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco; caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracteres psicológicos como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc.

4 UNIDAD 6: MODELOS PROBABILÍSTICOS BÁSICOS DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre ( ). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss ( ) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por y. Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

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6 La ecuación que determina la curva en forma de campana. Así, se dice que una característica sigue una distribución normal de media y varianza, y se denota como si su función de densidad viene dada por la Ecuación 1.

7 Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y como se muestra en la figura, en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la probabilidad de que la variable de interés, X, tome un valor cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de éste.

8 Propiedades de la distribución normal Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. or ello, cualquier valor entre - y + es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1. Es simétrica con respecto a su media. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ( ). Cuanto mayor sea, más aplanada será la curva de la densidad.

9 ¿Cómo se calcula? No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. Así, la expresión que define su densidad se puede obtener de la Ecuación:

10 Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución N(, ), se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación: a partir de la que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal.

11 tablas Tabla 1. Áreas bajo la curva normal estándar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla.

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14 P(Z > a) = 1 - P(Z a) P(Z a) = 1 P(Z a) P(Z > a) = P(Z a) P(Z a)

15 P(Z > a) = P(Z a) P(a < Z b ) = P(Z b) P(Z a) P(b < Z a ) = P(a < Z b )

16 Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K. P(a < Z b ) = P(Z b) [ 1 P(Z a)] p = K

17 ejemplos En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

18 solución P(a a) = 1 - P(Z a) Por los 30 dias del mes

19 La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: 1. Entre 60 kg y 75 kg. P(a < Z b ) = P(Z b) P(Z a) 2.Menos de 64 kg kg o menos. 500 alumnos

20 Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg? Denotando por X a la variable que representa el peso de los individuos en esa población, ésta sigue una distribución Así, la probabilidad que se desea calcular será: Como sabemos que P(Z > a) = 1 - P(Z a) esta última probabilidad puede ser fácilmente obtenida a partir de la Tabla 1, resultando ser. Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg, es de 1– =0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%.

21 Ejercicios… Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

22 Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

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