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Capítulo 6 La Distribución Normal. Continuaremos el estudio de las distribuciones de probabilidad analizando una distribución de probabilidad contínua.

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Presentación del tema: "Capítulo 6 La Distribución Normal. Continuaremos el estudio de las distribuciones de probabilidad analizando una distribución de probabilidad contínua."— Transcripción de la presentación:

1 Capítulo 6 La Distribución Normal

2 Continuaremos el estudio de las distribuciones de probabilidad analizando una distribución de probabilidad contínua muy importante

3 Distribuciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Continuas Binomial Poisson Distribuciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Discretas Normal CAP. 5CAP. 6

4 La distribución normal

5 Una variable aleatoria contínua es aquella que puede asumir un número infinito de valores dentro de cierto rango específico. Repasemos…

6 Ejemplos: La presión ejercida por un brazo robot en manufactura El peso del equipaje en un avión El tiempo transcurrido en procesar una orden de compra

7 las características principales de la distribución de probabilidad normal la distribución normal estándar cómo se utiliza la distribución normal para estimar probabilidades binomiales En esta unidad estudiaremos:

8 Psicología Biología Economía y finanzas Astronomía Ciencias de la nutrición Ciencias sociales y administrativas La distribución normal se usa en:

9 La familia de las distribuciones de probabilidad normal Cada una de las distribuciones puede tener una media distinta (u) y desviación estándar distinta (ơ). No existe una sola distribución de probabilidad normal, sino más bien se trata de toda una familia de ellas. Por tanto, eI número de distribuciones normales es ilimitado.

10

11 Al variar los parámetros μ and σ, obtenemos diferentes distribuciones normales La familia de las distribuciones de probabilidad normal

12 X f(X) μ σ Cambiando μ movemos la distribución lhacia la izquierda o derecha. Cambiando σ aumentamos o disminuímos su altura..

13 La curva normal tiene forma de campana y un sólo pico en el centro de la distribución. La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la acompaña tienen las siguientes características:

14 El promedio aritmético, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se ubican en el pico. Características (cont.)

15 La mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.

16 Características (cont.) Es simétrica en torno a su promedio. Si se corta Ia curva normal de manera vertical por el valor central, las dos mitades serán como imágenes en un espejo.

17 Características (cont.) La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, Ia curva se acerca cada vez más al eje de X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las colas de Ia curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.

18 Características (cont.)

19 La distribución de probabilidad normal estándar Sería físicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de u y (como para Ia distribución binomial o para Ia de Poisson). Es posible utilizar un sólo miembro de Ia familia de distribuciones normales para todos los problemas en los que se aplica Ia distribución normal. σ

20 La distribución de probabilidad normal estándar Tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1 Los valores mayores al promedio tienen valores Z positivos y, valores menores al promedio tendrán valores Z negativos. Z f(Z) 1 0

21 La distribución de probabilidad normal estándar Utilizando un valor z, se convertirá, o estandarizará, Ia distribución real a una distribución normal estándar. Transformamos unidades X en unidades Z Todas las distribuciones normales pueden convertirse a distribución normal estándar restando Ia media de cada observación y dividiendo por Ia desviación estándar.

22 Un valor z es Ia distancia a partir de Ia media, medida en las unidades de desviación estándar. El valor z

23 Valor z = Ia distancia entre un valor seleccionado (x) y Ia media (u), dividida por la desviación estándar (ơ). El valor z

24 Límites sigma

25 Límites dos sigma

26 Límites tres sigma

27 Al determinar el valor z empleando Ia fórmula anterior, es posible encontrar eI área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a Ia distribución normal estándar en el apéndice D (página 523).

28 APENDICE D Areas debajo de la curva normal z

29 Ejemplo: Supongamos que se calculó el valor z y el resultado es ¿CuáI es eI área bajo la curva normal entre u y X?

30 Baja por Ia columna de la tabla encabezada con Ia Ietra z hasta llegar a 1.9. Luego muévete en dirección horizontal a la derecha y lee Ia probabilidad en Ia columna con el encabezado Es Utilizamos el apéndice D.

31 APENDICE D Areas debajo de la curva normal z

32 Esto signitica que por ciento del área bajo Ia curva se encuentra entre u y eI valor X,1.91 desviaciones estandar a la derecha de Ia media. Esta es Ia probabilidad de que una observación esté entre 0 y 1.91 desviaciones estándar de Ia media.

33 Valor z calculado Ejercicios: Area bajo Ia curva

34 Ahora calcularemos eI valor z dada: Ia media de Ia población, u, la desviación estándar de ésta, ơ, y una X seleccionada.

35 Ejercicios: Los ingresos semanales de los gerentes de nivel intermedio tienen una distribución aproximadamente normal con una media de $1, y una desviación estándar de $ ¿Cuál es el valor z para un ingreso X de $1,100.00? Y, ¿para uno de $900.00?

36 Para X = $1,100: 1100 – = 1.00 Utilizando la fórmula: Para X = $900: =

37 La z de 1.00 indica que un ingreso semanal de $1, para un gerente de nivel intermedio está una desviación estándar a la derecha de Ia media. La z de indica que un ingreso de $ está una desviación estándar a la izquierda de Ia media. Ambos ingresos ($1,100 y $900) están a Ia misma distancia ($100) de Ia media.

38 9001,1001,000

39 (página 200) Auto evaluación 6-1 Ejercicios 3 a) b) 4

40 La primera aplicación de Ia distribución normal estándar es encontrar el área bajo Ia curva normal entre una media y un valor seleccionado, designado como X. Utilizando Ia misma distribución que en eI ejemplo anterior del ingreso semanal (u = $1 000, ơ = $100) ¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre $1,000 y $1,100?

41 La probabilidad asociada con el valor z de 1.00 se encuentra en el apéndice D. Para ubicar el área, desciende por la columna de Ia izquierda hasta 1.0. Luego muévete a Ia derecha y lee el área bajo Ia curva en Ia columna marcada Ya se calculó el valor z para $1,100 utilizando la fórmula: z = 1.00 Es

42 La media divide Ia curva normal en dos mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia derecha de Ia media es tambien

43 Utilizando nuevamente el ingreso medio de $1,000 al mes y Ia desviación estándar de $100 al mes: 1.¿Cuál es Ia probabilidad de que un ingreso semanal específico elegido aI azar esté entre 790 y 1,000 dólares? Ejercicios:

44 Calculamos eI valor z para $790 utilizando Ia fórmula: 790 – 1000 = = Pregunta 1

45 El signo negativo en 2.10 indica que el área está a Ia izquierda de Ia media.

46 9001,1001,

47 El área bajo Ia curva normal entre u y X que corresponde a un valor z de es: (apéndice D)..4821

48 9001,1001, ||||||

49 2.¿CuáI es Ia probabilidad de que eI ingreso sea menos de 790 dólares?

50 La media divide Ia curva normal en dos mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia derecha de Ia media es tambien

51 Por tanto, =

52 9001,1001,000 |.0179 | |.4821 |||||| -2.10

53 (página 202) Auto evaluación 6-2 Ejercicios 5 a) b) c) 7 a) b) c)

54 Continuemos… Una segunda aplicación de Ia distribución normal estándar es: combinar dos áreas: - una a Ia derecha - y Ia otra a Ia izquierda de Ia media.

55 Regresemos a Ia distribución de ingresos semanales (u = $1,000 ơ = $100) ¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre $ 840 y $1,200?

56 Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes. Para el área entre $840 y Ia media de $1,000: = -160 = Para el área entre $1,200 y Ia media de $1,000: 1, = 200 =

57 El área bajo la curva para un valor z de es: El área bajo Ia curva para un valor z de 2.00 es (apéndice D). Sumando las dos áreas: =

58 Así, Ia probabilidad de seleccionar un ingreso entre $840 y $1,200 es En otras palabras, por ciento de los gerentes tienen ingresos semanales entre $840 y $1,200.

59 8401,2001,000 |||||||| ||||||

60 Continuemos… Otra aplicación de Ia distribución normal estándar esi: encontrar el área mayor o menor de un valor específico.

61 Continuemos con Ia distribución de ingresos semanales (u = $1 000, ơ = $100) ¿qué porcentaje de los ejecutivos recibe ingresos semanales de $1,245 o más?

62 Para el área entre $1,245 y Ia media de $1,000: 1, = 245 =

63 El área bajo Ia curva para un valor z de 2.45 es (apéndice D). Restando: =

64 Sólo el.71 por ciento de los gerentes tienen ingresos semanales de $1,245 o más.

65 8401,2451,000 ||||||

66 Otra aplicación de Ia distribución normal estándar es: determinar el área entre dos valores en el mismo lado de la media. Continuemos…

67 Sigamos con Ia distribución de ingresos semanales (u = $1 000, ơ = $100) ¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre $ 1,150 y $1,250?

68 Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes. Para el área entre $1,250 y Ia media de $1,000: 1, = 250 = Para el área entre $1,150 y Ia media de $1,000: 1, = 150 =

69 El área bajo la curva para un valor z de 2.50 es: El área bajo Ia curva para un valor z de 1.50 es (apéndice D). Restando las dos áreas: =

70 Así, Ia probabilidad de seleccionar un ingreso entre $1,150 y $1,250 es En otras palabras, 6.06 por ciento de los gerentes tienen ingresos semanales entre $1,150 y $1,250.

71 1,150 1,2501,000 |||||||| ||||

72 Para resumir, existen cuatro situaciones en las que pudiera ser posible encontrar el área bajo Ia distribución normal estándar.

73 1.Para encontrar el área entre u y z, entonces es posible buscar directamente el valor en Ia tabla.

74 2.Para encontrar el área más alIá (mayor o menor) de z, entonces localice Ia probabilidad de z en Ia tabla y reste ese valor de

75 3.Para encontrar eI área entre dos puntos a diferentes lados de Ia media, determine los valores z y sume las áreas correspondientes.

76 4.Para encontrar el área entre dos puntos en el mismo lado de Ia media, determine los valores z y reste el área menor de Ia mayor.

77 (página 205) Auto evaluación 6-3

78 (página 208) Ejercicio 9 a) b) c)

79 Una última aplicación de Ia distribución normal supone encontrar el valor de Ia observación X cuando se conoce eI porcentaje por encima o por debajo de Ia observación.

80 Un fabricante de goma de auto desea establecer una garantía de millaje mínimo para su nueva goma MX100. Las pruebas revelan que el millaje promedio es de 47,900 millas, con una desviación estandar de 2,050 millas y una distribución normal. Ejemplo: El fabricante quiere establecer el millaje mínimo garantizado de modo que no se deba reemplazar más del 4 por ciento de las gomas. ¿Qué millaje minimo garantizado deberá anunciar el fabricante?

81 Utilizando Ia fórmula, X representa el millaje mínimo garantizado Z = X –

82 Existen dos incógnitas, z y X. Para encontrar z, observemos que el área bajo Ia curva normal a Ia izquierda de u es El area entre u y X es , que se encuentra restando

83 X47,900 |||||||| 4%

84 El área más cercana a es: Muévete a los márgenes de este valor y lee el valor z. El valor es: (apéndice D) Debido a que el valor se encuentra a Ia izquierda de Ia media, en realidad es

85 Sabiendo que Ia distancia entre u y X es ơ, ahora es posible determinar X (el millaje minimo garantizado): = X – (2050) = X – X = – 1.75 (2050) = 44312

86 El fabricante puede anunciar que reemplazará en forma gratuita cualquier goma que se desgaste antes de recorrer 44,312 millas y Ia empresa sabe que, bajo este plan, debe reemplazar sólo el 4 por ciento de las gomas. Conclusión:

87 (página 206) Auto evaluación 6-4

88 (página 208) Ejercicio 9 d) 10 al 13

89 Otra aplicación de Ia distribución normal consiste en comparar dos o más observaciones que están en distintas escalas o unidades. Es decir, ambas observaciones se encuentran en distribuciones distintas.

90 Un estudio de los internos en una institución correccional evalúa Ia responsabilidad social de los internos de Ia prisión y de sus perspectivas de rehabilitación cuando se les Iibere. Ejemplo:

91 Las puntuaciones tienen una distribución normal, con una media de 100 y una desviación estándar de 20. Para medir su responsabilidad social, se administró a cada interno una prueba

92 Los psicólogos de Ia prisión calificaron a cada interno respecto de las perspectivas de rehabilitación. Las calificaciones tienen tambien una distribución normal, con una media de 500 y una desviación estándar de 100.

93 La calificación de Tora Carney en Ia prueba de responsabilidad social fue 146, y en rehabilitación obtuvo una puntuación de 335. ¿Cómo se compara Tora con otros miembros del grupo en cuanto a responsabilidad social y a Ia perspectiva de rehabilitación?

94 Convertimos Ia puntuación de Ia prueba de responsabilidad social, 146, a un valor z utilizando Ia fórmula: Pasos a seguir: Z = 146 – Z = 2.30

95 Convertimos Ia puntuación de Ia prueba de rehabilitaciónl, 335, a un valor z utilizando Ia fórmula: Pasos a seguir: Z = 335 – Z =

96 Por lo tanto, en lo referente a responsabilidad social, Tora Carney se encuentra en el 1 por ciento más alto del grupo. Conclusión: Sin embargo, al compararla con otras internas, Tora se encuentra entre eI 5 por ciento más bajo en cuanto a las perspectivas de rehabilitación.

97 |||||||| ||||||

98 (página 207) Auto evaluación 6- 5

99 En el capítulo 5 estudiamos Ia distribución de probabilidad binomial, que es una distribución discreta. La aproximación de la distribución normal a la binomial El cuadro de probabilidades binomiales en eI apéndice A pasa sucesivamente de un n de 1 a uno de 20, y luego a n = 25.

100 Si tuvieramos una muestra de 60, calcular una distribución binomial para un número tan grande tomaría mucho tiempo. La aproximación de la distribución normal a la binomial Un enfoque más eficiente consiste en aplicar Ia aproximación de Ia distribución normal a Ia binomial.

101 El uso de Ia distribución normal (que es contínua) como sustituto de una distribución binomial (que es discreta) para valores de n parece razonable porque, a medida que n aumenta, Ia distribución binomial se acerca cada vez más a Ia distribución normal. La aproximación de la distribución normal a la binomial

102 Ejemplo: La administración del restaurante Santoni Pizza descubrió que el 70 por ciento de sus clientes nuevos regresan para comer allí de nuevo. Para una semana en Ia que 80 clientes nuevos (por primera vez) cenaron en Santoni, ¿cuál es Ia probabilidad de que 60 o más regresen aIIí a comer otra vez?

103 Antes de aplicar Ia aproximación normal, es preciso cerciorarse de que Ia distribución que vamos a trabajar es realmente una distribución binomial.

104 Es preciso verificar los siguientes cuatro criterios: 1.Un experimento sólo puede tener dos resultados mutuamente excluyentes: un éxito y un fracaso. 2.La distribución es consecuencia de contar eI número de éxitos en un número fijo de ensayos. 3.Cada ensayo es independiente. 4.La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al siguiente.

105 Observe que se cumplen las condiciones binomiales: 1)Sólo hay dos resultadosposibles: un cliente regresa o no regresa. 2)Es posible contar eI número de éxitos, lo que significa, por ejemplo, que 57 de los 80 clientes regresarán. 3)Los ensayos son independientes, es decir, si Ia persona número 34 regresa para cenar en otra ocasión, no influye en que Ia persona número 58 regrese. 4)La probabilidad de que un cliente regrese permanece en un 0.70 para los 80 clientes.

106 Debido a que se usará Ia curva normal para determinar Ia probabilidad binomial de 60 o más éxitos, es preciso restar, en este caso, 0.5 de 60. El valor 0.5 se conoce como factor de corrección de continuidad. Este pequeño ajuste es necesario porque se utiliza una distribución contínua (Ia distribución normal) para aproximar a una discreta (Ia binomial). Al restar = 59.5.

107 3.Para Ia probabilidad de que ocurra X o menos, utilice (X + 0.5). Cómo aplicar el factor de corrección X 2.Para Ia probabilidad de que ocurra más que X, utilice (X + 0.5). 4.Para Ia probabilidad de que ocurra menos de X, utilice (X- 0.5). Sólo pueden surgir cuatro casos. Estos son: 1.Para Ia probabilidad de que aI menos X ocurra, utilice (X - 0.5).

108 Para utilizar Ia distribución normal para aproximar Ia probabilidad de que 60 ó mas de los 80 clientes que fueron por primera vez a Santoni regresen, realizaremos lo siguientes pasos.

109 Paso 1. Encuentre Ia media y Ia varianza de una distribución binomial y el valor z correspondiente a una X de 59.5 usando Ias siguientes fórmuIas: u = np = 80(.70) = 56 Ơ 2 = np(1-p) = 80(.70)(1-.70) = 16.8 Ơ = raíz cuadrada de 16.8 = 4.10 Z = 59.5 – 56 =

110 Paso 2. Determine el área bajo Ia curva normal entre un u de 56 y un X de Con base en el paso 1, se sabe que eI valor z correspondiente a 59.5 es Así, se consulta el apéndice D y se baja por el margen izquierdo hasta 0.8, y luego se lee horizontalmente el área bajo Ia columna encabezada por Esa área es

111 Paso 3. Calcular eI área máyor de 59.5 restando de ( = ). Así, es Ia probabilidad aproximada de que 60 o más de los clientes que fueron a Santoni por primera vez regresen.

112 (página 212) Auto evaluación 6- 6

113 (página 212) Ejercicios 15 y 16

114 (página 214) Ejercicio 21 (página 215) Ejercicio 33

115


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