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ACTIVIDAD I.I NÚMEROS ENTEROS ACCIÓN 1.1.2 L OS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Objetivo: Al concluir la acción, el alumno debe dominar los significados.

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1 ACTIVIDAD I.I NÚMEROS ENTEROS ACCIÓN L OS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Objetivo: Al concluir la acción, el alumno debe dominar los significados del concepto múltiplo de un número natural, múltiplo común de dos números o más de dos, mínimo común múltiplo de dos números o más de dos. A L ESTUDIANTE : Todos los días tienes que hacer cuentas para saber cuántos billetes o monedas de una denominación dada debes llevar en la bolsa para hacer diferentes pagos; por ejemplo, si vas a comprar unos zapatos que te van a costar $487, pero sólo cuentas con billetes de $50, necesitas saber de antemano cuántos billetes debes llevar para hacer tu pago... aquí estás aplicando el concepto de múltiplo de un número, cuyo desarrollo conceptual te va a llevar a la idea de mínimo común múltiplo, con la cual podrás resolver muchos problemas en tu vida diaria y profesional.

2 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 1. Tres focos intermitentes de distintos colores se encendieron simultáneamente al conectar el interruptor. El foco amarillo se enciende y se apaga cada 20 segundos, el verde lo hace cada 30 segundos, y el rojo cada 40 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán en volver a estar simultáneamente encendidos por primera vez tras el encendido inicial?, y, ¿después de cuántos minutos estarán encendidos simultáneamente por quinta ocasión?

3 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 1. Tres focos intermitentes de distintos colores se encendieron simultáneamente al conectar el interruptor. El foco amarillo se enciende y se apaga cada 20 segundos, el verde lo hace cada 30 segundos, y el rojo cada 40 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán en volver a estar simultáneamente encendidos por primera vez tras el encendido inicial?, y, ¿después de cuántos minutos estarán encendidos simultáneamente por quinta ocasión?

4 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros.

5 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

6 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

7 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

8 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

9 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

10 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Si la profundidad del pozo es de 19 metros, ¿cuántos días tarda en salir?

11 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Si la profundidad del pozo es de 26 metros, ¿cuántos días tarda en salir?

12 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Si la profundidad del pozo es de 26 metros, ¿cuántos días tarda en salir? Si la profundidad del pozo es de 27 metros, ¿cuántos días tarda en salir? ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Si la profundidad del pozo es de 26 metros, ¿cuántos días tarda en salir? Si la profundidad del pozo es de 27 metros, ¿cuántos días tarda en salir?

13 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 3 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Si la profundidad del pozo es de 1479 metros, ¿cuántos días tarda en salir? Si la profundidad del pozo es de 3702 metros, ¿cuántos días tarda en salir?

14 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MODELO MATEMÁTICO.

15 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MODELO MATEMÁTICO

16 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 3. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

17 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

18 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

19 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

20 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

21 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Problema 2. El problema dice así: un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 18 metros de profundidad, si en el día sube 5 metros y por la noche, al dormirse, resbala 2 metros, ¿cuántos días tardará en salir del pozo? Si el pozo tiene 19 metros de profundidad, ¿cuántos días tarda en salir? Si el pozo tiene 20 metros de profundidad, ¿cuántos días tarda en salir? 21 metros. 22 metros. 23 metros.

22 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MODELO MATEMÁTICO

23 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

24 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

25 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. Días Metros 0 1

26 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. Días Metros

27 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. Días Metros

28 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. Para m = 21 metros el caracol sale en ______ días. Días Metros

29 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. Para m = 21 metros de profundidad el caracol sale en ______ días. Para m = 22 metros el caracol tarda en salir _____ días. Para m = 23 metros de el caracol sale en ______ días. Para m = 24 metros de profundidad el caracol sale en ______ días. Días Metros

30 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. Si la profundidad del pozo es m = 104 metros, el caracol sale en ______ días. Para m = 105 metros de profundidad, el caracol tarda en salir _____ días. Si m = 106 metros el caracol sale en ______ días. Con una profundidad del pozo m = 107 metros el caracol sale en ______ días. Y para m = 108 metros el caracol sale en ______ días.

31 Problema 4. La profundidad del pozo es de 20 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. a.Si la profundidad del pozo es m = 8425 metros, el caracol sale en ______ días. b.Para m = metros de profundidad, el caracol tarda en salir _____ días. c.Si m = 5638 metros el caracol sale en ______ días. d.Con una profundidad del pozo m = 164 metros el caracol sale en ______ días. e.Y para m = metros el caracol sale en ______ días. ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

32 Ahora construye el modelo matemático Para una profundidad del pozo de m metros, si en el día avanza 5 metros y en la noche resbala 1 metro, se tiene que: Si m es un número múltiplo de 4, el caracol tarda en salir ______días. Si m es múltiplo de 4 más 1, el caracol sale en ______ días. Si m es múltiplo de 4 más 2, el caracol tarda ______ días en salir. Para m múltiplo de 4 más 3, el caracol tarda ______ días en salir. ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

33 Un método más eficaz para construir el modelo matemático del número de días que tarda el caracol en salir del pozo consiste en analizar a partir del momento en que el caracol está a punto de salir (en vez de analizar desde el primer día en que empieza a subir). Estudiemos este método en las mismas condiciones: en el día sube 5 metros y en la noche resbala 1 metro, lo explicamos por pasos. Como el avance del caracol en cada día es en múltiplos de 4 entonces comenzamos el estudio con una profundidad m que sea múltiplo de 4 y no interesa qué tan profundo sea el pozo, por ejemplo m = 9576 metros. En un dibujo se representa la profundidad del pozo m = 9576, allí localizamos el número que corresponde a la profundidad del pozo menos el avance que durante el transcurso del día hace el caracol, es decir = 9571 como se ilustra a continuación: ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

34 el cociente es y el residuo es 3, lo cual En este paso razonamos así: antes de 9571 el caracol no ha salido todavía (por eso se restó 5 a la profundidad del pozo) y en la división el cociente es 2392 y el residuo es 3, lo cual significa que en 2392 días lleva recorridos = 9568 metros, que es un múltiplo de 4; esto se muestra a continuación:

35 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Continuamos razonando: en el transcurso del día 2393 sube 5 metros llegando a = 9573 (3 metros antes de salir) y resbala 1 metro por la noche terminando en la posición de 9572 metros, esta situación se ilustra abajo. En el día 2394 avanza 4 metros y sale del pozo. Observa que la división = 2394 indica los días que tarda en salir; además le sobró tiempo para seguir avanzando 1 metro más.

36 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 632 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

37 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 928 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

38 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 928 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

39 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 928 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

40 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 928 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

41 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 928 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

42 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Problema 4. La profundidad del pozo es de 928 metros, el caracol sube 5 metros en el día y únicamente baja un metro en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso. Si la profundidad del pozo es de 929 metros, ¿cuántos días tarda el caracol en salir del pozo? ____________________ Si la profundidad del pozo es de 930 metros, ¿cuántos días tarda el caracol en salir del pozo? ____________________ Si la profundidad del pozo es de 931 metros, ¿cuántos días tarda el caracol en salir del pozo? _____________________ Si la profundidad del pozo es de 932 metros, ¿cuántos días tarda el caracol en salir del pozo? _____________________

43 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO+ Problema 4. La profundidad del pozo es de 931 metros, el caracol sube 11 metros en el día y baja 4 metros en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

44 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO+ Problema 4. La profundidad del pozo es de 931 metros, el caracol sube 11 metros en el día y baja 4 metros en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

45 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO+ Problema 4. La profundidad del pozo es de 931 metros, el caracol sube 11 metros en el día y baja 4 metros en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

46 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO+ Problema 4. La profundidad del pozo es de 931 metros, el caracol sube 11 metros en el día y baja 4 metros en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.

47 ACCIÓN LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO+ Problema 4. La profundidad del pozo es de 931 metros, el caracol sube 11 metros en el día y baja 4 metros en la noche. Ahora, para que calcules el número de días que se lleva el caracol en salir del pozo debes hacer un razonamiento más cuidadoso.


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