DERIVADAS.

Presentación del tema: "DERIVADAS."— Transcripción de la presentación:

1 DERIVADAS

2 CONCEPTOS RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

3 RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS
¿Cómo se halla la tangente a una curva? Descartes (Siglo XVII) “El problema de hallar la tangente a una curva es no sólo el problema más útil y más general que conozco, sino que pudiera desear conocer....”

4 ISAAC NEWTON,

5 Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716

6 Newton no había publicado sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo había enviado a John Collins. Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente que conocía la obra de Newton. Publicó su obra matemática en 1684.

7 RECTA SECANTE A UNA CURVA
x y f(x) b a f(b) f(a) m = f(b)-f(a) b-a

8 RECTA TANGENTE A UNA CURVA
x y f(x) a f(a) Recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a m =???????

9 RECTA TANGENTE A UNA CURVA

10 RECTA TANGENTE A UNA CURVA
x y f(x) a f(a) f(a+h) a+h Donde h tiende a cero...

11 PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a

12 PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

13 PROBLEMA 1 A) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) dada en el punto x=8, y determina la ecuación de esta tangente

14 PROBLEMA 1

15 PROBLEMA 2 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x = -3

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18 f ’(5)= f ’(x)= DEFINICIÓN DE DERIVADA PUNTO CONCRETO Ej: 5 PUNTO
CUALQUIERA

19 Halla la derivada en cualquier punto de la función dada por:

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21 NOTA Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c

22 NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN EL PUNTO X=0

23 PROPOSICIÓN y=|x-c|+a
Ninguna función es derivable en los puntos “picudos” Puede tener dos tangentes (derivadas) + tangente a la derecha + tangente a la izquierda

24 NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD

25 PROPOSICIÓN Si f(x) es derivable en un punto x=a, entonces es continua en ese punto NOTA: el recíproco NO es cierto!

26 PROBLEMA ¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?: a. ¿Derivable? b. ¿Continua pero no derivable? c. ¿Ni continua ni derivable? - 3 F(x) 1 x

27 REGLAS DE DERIVACIÓN

28 REGLAS DE DERIVACIÓN SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0…. Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

29 REGLAS DE DERIVACIÓN

30 REGLAS DE DERIVACIÓN

31 Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
REGLAS DE DERIVACIÓN Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex Si f(x) = Lx, entonces f ´ (x) = 1/x (4x)’ = 4x L4 (log6x)’ = (1/x)/L6

32 REGLAS DE DERIVACIÓN

33 Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)

34 Regla de la suma algebraica de funciones:

35 Regla del producto de funciones:

36 Regla del cociente de funciones:

37 Regla de la composición (Regla de la Cadena):

38 Ejemplos Sean las funciones:

39 Ejemplo

40 Ejercicios propuestos

41 Derivada de un producto de varios factores

42 Ejemplo

43 Ejemplo

44 Ejercicio propuesto

45 Ejercicio propuesto

46 Ejemplo

47 Ejemplo

48 Ejemplo