Índice E e Índice de Theil

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1 Índice E e Índice de Theil
MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN ECONÓMICA: Índice E e Índice de Theil Beatriz Larraz Iribas Prof. Estadística Universidad de Castilla-La Mancha Valencia, 28 de noviembre de 2006

2 Concepto de concentración económica
Curva de Lorenz Índices de Concentración Medidas de Concentración Índice geométrico Índice de Gini Índice E Descomposición del índice de Theil intergrupos e intragrupos Índice de Theil

3 Concepto de Concentración Económica
En la distribución de salarios de una empresa se puede estudiar si la masa salarial (o nómina de la empresa) se encuentra concentrada en unos pocos trabajadores o si, por el contrario, está bien repartida entre ellos. 9.000€ 10 empleados el director € 90 € 8.100 € Estos sueldos estarían muy desproporcionados, muy concentrados en una sola persona

4 Concepto de Concentración Económica
Más ejemplos… Reparto de horas extraordinarias entre la plantilla de una empresa Reparto del total invertido en fondos de inversión entre las distintas gestoras de patrimonio Grado de concentración de las ausencias laborales En el ámbito financiero: concentración del volumen de negociación diario entre los distintos valores que conforman el IBEX-35, El nivel de desigualdad en el reparto de la masa global de pensiones entre los pensionistas de un país, etc. Cómo se reparte el capital social de un banco entre los accionistas, etc. Masa Total de la Variable (MTV)

5 Medidas de Concentración
Miden el grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable. Indican el grado de equidistribución de la variable = grado de CONCENTRACIÓN.  Los casos extremos serían: Concentración mínima o equidistribución: Cuando todos los trabajadores reciben la misma cantidad: Concentración máxima: Cuando de los n trabajadores sólo uno percibe el total de las rentas (de los salarios) y los demás nada:

6 mediante los denominados
Medidas de Concentración El estudio de la concentración en la distribución de la MTV se puede abordar desde dos puntos de vista: Gráficamente Analíticamente mediante la curva de concentración, más conocida como Curva de Lorenz mediante los denominados Índices de concentración

7 Ordenación de los valores
Curva de Lorenz Salarios Anuales (xi) Nº trabajadores (ni) 7.512,65 2 8.414,17 3 15.025,30 1 24.040,48 39.065,79 Ordenación de los valores de la variable de menor a mayor MTV = (7.512,65 · 2) + (8.414,17 · 3) + (15.025,30 · 1) + + (24.040,48 · 2) + (39.065,79 · 2) = ,66 €/año.

8 Curva de Lorenz xi ni xini Ui pi qi 7.512,65 2 15.025,30 20 8,28
Porcentaje de trabajadores con un salario igual o inferior al i-ésimo Masa parcial acumulada xi ni xini Ui pi qi 7.512,65 2 15.025,30 20 8,28 8.414,17 3 25.242,51 40.267,81 50 22,18 1 55.293,11 60 30,46 24.040,48 48.080,96 ,08 80 56,95 39.065,79 78.131,58 ,65 100 10 Porcentaje de la masa salarial que se llevan los trabajadores con un salario igual o inferior al i-ésimo

9 Curva de Lorenz A continuación en unos ejes de coordenadas, se marca en el de abcisas los siguientes valores de pi en porcentajes: que indican los porcentajes de trabajadores con un nivel de salario igual o inferior al i-ésimo. Por ejemplo, si i = 3 tenemos que p3 es el 60%, lo que significa que el 60% de los trabajadores obtienen un salario anual igual o inferior al tercero en orden ascendente.

10 Curva de Lorenz Sobre el eje de ordenadas se anotan los valores de qi, también porcentajes: que indican la parte que del total de la masa salarial les corresponde alos trabajadores cuyo salario es igual o inferior al i-ésimo. Por ejemplo para i = 4 se tiene que q4 es el 56,95%, es decir, de los ,66 €, el 56,95% corresponde a los trabajadores con salario igual o inferior al cuarto en orden ascendente.

11 Curva de Lorenz

12 Curva de Lorenz Características generales:
Es siempre creciente (porque p y q son acumulados) Se sitúa siempre por debajo de la diagonal, ya que, al estar ordenados los salarios de menor a mayor, ningún qi. podrá ser mayor que su correspondiente pi En caso de equidistribución pi = qi ., la curva de concentración sería la diagonal, recta que se denomina recta de equidistribución. En caso de máxima concentración , la curva de concentración, denominada curva de máxima concentración, vendría dada por ABD donde   p1 = (N-1/N) %; q1 = 0% p2 = 100%; q2 = 100%

13 Curva de Lorenz Área Conc Área Máx Conc

14 Índices de Concentración
Cuanto mayor sea el área de concentración respecto del área máxima concentración, mayor será la desigualdad en el reparto de la masa total de la variable. Por consiguiente, de manera natural, las medidas de concentración se obtendrán por cociente entre estas dos áreas. Índice Geométrico Índice de Gini Índice E Índice de Theil relativo

15 Índice de Gini Es la medida de concentración más utilizada, propuesta por el que fue Decano de la Facultad de Ciencias Estadísticas, Demográficas y Actuariales de la Universidad de Roma, Corrado Gini. Gini, Corrado (1912). "Variabilità e mutabilità" Reimpreso en Memorie di metodologica statistica (Ed. Pizetti E, Salvemini, T). Rome: Libreria Eredi Virgilio Veschi (1955). Gini, Corrado (1921). "Measurement of Inequality and Incomes". The Economic Journal 31: Su fundamento es el siguiente: Gini parte de una distribución de frecuencias unitarias de n elementos en cuya curva de concentración pueden establecerse n-1 diferencias entre pi y qi (recuérdese que pn = qn ).

16 Índice de Gini Índice de Gini
GRÁFICO 2 p 2 -q 1 3 i-1 i n-1 n-2 …. 100 q ...

17 ¿ ? Índice de Gini Equidistribución Máxima Concentración xi ni xini Ui
pi qi 99 99% 0% 1.000 1 100% xi ni xini Ui pi qi 1 1% 0% 1.000 99 99.000 100% ?

18 Índice de Gini de la Concentración de la renta
Fuente: Human Development Report, 2006 (ONU)

19 Para evitar el problema de que el índice de Gini sólo sirve para frecuencias unitarias,
Índice E Montero Lorenzo, J.Mª, 2003 “Sobre Concentración Económica: Índice E para colectivos discretos” Revista Estadística Española, vol 45, nº152, pp.22 a 54 Índice Gini

20 Índice E Índice Gini

21 TABLA DE CONSTRUCCIÓN DEL ÍNDICE E
xi n qi Mi x1 1 (x1/mtv)100 M1= ( )100 [ n1] (2x1/mtv)100 . (n1x1/mtv)100 x2 (n1x1+x2/mtv)100 M2= n2 ( )100+ ( )100 [ n2] (n1x1+2x2/mtv)100 (n1x1+n2x2/mtv)100 x3 (n1x1+n2x2+x3 /mtv)100 M3= n3( )100+( )100[ n3] (n1x1+n2x2+2x3 /mtv)100 (n1x1+n2x2+n3x3 /mtv)100 (n1x1+..+ni-1xi-1 +xi /mtv)100 Mi= ni ( )100 +( )100 [ ni] (n1x1+..+ni-1xi-1+2xi /mtv)100 (n1x1+..+ni-1xi-1 + nixi /mtv)100 xn (n1x1+..+nn-1xn-1+xn/mtv)100 Mn= nn ( )100 + ( )100 [ nn] (n1x1+..+nn-1xn-1+2xn/mtv)100 (n1x1+..+nn-1xn-1+(nk-1)xn/mtv)100 (n1x1+..+nnxn/mtv)100 = 100

22 Índice E

23 Índice E donde: - qi-1 el porcentaje de la masa salarial acumulado por los trabajadores que perciben salarios inferiores al i-ésimo. - propi el porcentaje de la masa salarial que percibe un individuo con salario i. -          es la suma de los ni primeros números naturales.

24 Índice E

25 Índice E Ventas (miles €) Nº empleados 50-100 30 100-200 25 200-500 40
Ejemplo: Ventas (miles €) Nº empleados 50-100 30 25 40 50 Calcule el índice E y compruebe que si las frecuencias no son unitarias no coincide con el índice de Gini (mal aplicado)

26 Índice E xi ni xini Ni Ui pi qi 75 30 2250 15 1’125 150 25 3750 55
6000 27’5 3 350 40 14000 95 20000 47’5 10 750 50 37500 145 57500 72’5 28’75 1500 170 95000 85 3500 105000 200 200000 100

27 Índice E xi ni xini Ni Ui pi qi Mi suma prop i 75 30 2250 15 1,125 465
0,0375 17,4375 150 25 3750 55 6000 27,5 3 325 0,075 52,5000 350 40 14000 95 20000 47,5 10 820 0,175 263,5000 750 50 37500 145 57500 72,5 28,75 1275 0,375 978,1250 1500 170 95000 85 0,75 962,5000 3500 105000 200 200000 100 1,75 2238,7500 total 4512,8125

28 Índice de Theil Coeficiente de Theil
El mensaje contiene mayor cantidad de información cuanto menor sea la probabilidad de ocurrencia del suceso Coeficiente de Theil  Consideremos N trabajadores cuyos salarios son: x1, x2, .. ,xN La proporción de masa total de la variable(MTV) que corresponde al individuo i-ésimo será: Es un indicador del grado de desigualdad (desorden) en el reparto de la masa total de la variable Experimento con posibles resultados: -todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden -si 2 de ellos acaparan una probabilidad del 90% orden, mando Entropía

29 El valor de equidistribución es superior al de máxima concentración.
Índice de Theil Entropía Si todos ganan lo mismo: Máx concentración: no negativa En caso de equidistribución vale Ln(N). Inconveniente: El valor de equidistribución es superior al de máxima concentración. En caso de máxima concentración vale 0.

30 El valor máximo depende del nº total de observaciones
Índice de Theil Coeficiente de Theil o redundancia: En caso de equidistribución vale 0. En caso de máxima concentración vale Ln(N). Inconveniente: El valor máximo depende del nº total de observaciones Índice de Theil relativo o redundancia relativa:

31 Inconveniente: El valor máximo depende del nº total de observaciones
Índice de Theil Coeficiente de Theil o redundancia: máxT = Ln(N) Inconveniente: El valor máximo depende del nº total de observaciones xi ni xini propi Ln(1/propi) 1 2 xi ni xini propi Ln(1/propi) 1 Índice Theil= Ln(2) Índice Theil= Ln( ) xi ni 1 T = Ln(2)

32 No requiere la ordenación
Índice de Theil No requiere la ordenación de los valores de la variable de menor a mayor Ejemplo: Dada la siguiente distribución de salarios semanales (€), determine el coeficiente de Theil xi ni 80 10 150 20 200 15 240 5 xini propi 800 0,01 3000 0,019 0,025 1200 0,03 8000 log(1/propi) nipropilog(1/propi) 4,605 0,4605 3,963 1,5059 3,688 1,3830 3,506 0,5259 3,8753

33

34 1º Descomposición de la Entropía intergrupos e intragrupos
Descomposición del índice de Theil intergrupos (entre grupos) e intragrupos (dentro de cada grupo) 1º Descomposición de la Entropía intergrupos e intragrupos

35 Entropía de los elementos del grupo g respecto del total de elementos de dicho grupo

36 Suma de las entropías intragrupos ponderadas por sus proporciones
Entropía intergrupos Suma de las entropías intragrupos ponderadas por sus proporciones

37 2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos

38 2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos
Expresión relacionada con la Entropía intergrupos Suma de los índices de Theil intragrupos ponderados por sus proporciones

39 2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos
Expresión relacionada con la Entropía intergrupos No es exactamente el índice de Theil intergrupos Sólo coincidirían en el caso de que todos los grupos tuvieran el mismo número de elementos

40 Índice de Theil entre las G comunidades autónomas
Supóngase que se dispone del número total de contratos temporales en G comunidades autónomas El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las G comunidades autónomas sería Supóngase ahora que se conoce la misma información sobre contratos temporales pero desagregada a escala provincial (N provincias) El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las N provincias sería Índice de Theil entre las G comunidades autónomas Concentración intragrupos global Residuo

41 Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran los datos relativos al número de contratos registrados en las oficinas del INEM en el mes de marzo de 2006 en las tres comunidades autónomas con mayor volumend e contratación en dicho mes. Determine el coeficiente de Theil y realice su descomposición intragrupos e intergrupos Nºcontratos Andalucía Cataluña Almería 26.283 Barcelona Granada 37.729 Tarragona 24.559 Málaga 63.673 Lleida 12.001 Cádiz 46.611 Girona 21.174 Huelva 39.194 Com. Valenciana Sevilla 87.897 Valencia 86.063 Córdoba 41.987 Castellón 18.123 Jaén 26.779 Alicante 50776

42 Solución Por provincias xi ni xi ni propi ln propi ni propi ln propi
Almería 26.283 1 0, -3, -0, Granada 37.729 0, -3, -0, Málaga 63.673 0, -0, Cádiz 46.611 0, -2, -0, Huelva 39.194 0, -2, -0, Sevilla 87.897 0, -2, -0, Córdoba 41.987 0, -2, -0, Jaén 26.779 0, -3, -0, Barcelona 0, -1, -0, Tarragona 24.559 0, -3, -0, Lleida 12.001 0, -4, -0, Girona 21.174 0, -3, -0, Valencia 86.063 0, -2, -0, Castellón 18.123 0, -3, -0, Alicante 50.776 0, -2, -0, 15 -2, Por provincias

43 Por Comunidades Autónomas
xi ni xi ni propi ln propi ni propi ln propi Andalucía 1 0, -0, -0, Cataluña 0, -1, -0, Comun. Valenciana 0, -1, -0, 3 -1,

44 Coeficientes Intragrupos
Andalucía ni xi ni propi ln propi ni propi ln propi Almería 26.283 1 0, -2, -0, Granada 37.729 0, -2, -0, Málaga 63.673 0, -1, -0, Cádiz 46.611 0, -2, -0, Huelva 39.194 0, -2, -0, Sevilla 87.897 0, -1, -0, Córdoba 41.987 0, -2, -0,24689 Jaén 26.779 0, -2, -0, -2,

45 Coeficientes Intragrupos
Cataluña xi ni xini propi ln propi ni*propi*ln propi Barcelona 1 0, -0, -0, Tarragona 24.559 0, -2, -0, Lleida 12.001 0, -3, -0, Girona 21.174 0, -2, -0, -0,

46 Coeficientes Intragrupos
Comun. Valenciana xi ni xini propi ln propi ni*propi*ln propi Valencia 86.063 1 0, -0, -0, Castellón 18.123 0, -2, -0, Alicante 50.776 0, -1, -0, -0,

47 propg Tg propg*Tg 0.0791 0.5949 0.1554

48 Descomposición del índice de Theil
0,267168 Porcentaje respecto del total Intergrupos 0,007785 2,91% Intragrupos 0,259383 97,08% 0,079120 0,594939 0,155418

49 INCOME DISTRIBUTIONS OF WHITE FAMILIES AND NONWHITE FAMILIES
Ejemplo: INCOME DISTRIBUTIONS OF WHITE FAMILIES AND NONWHITE FAMILIES IN THE UNITED STATES, 1963 income interval ($) white(%) nonwhite(%) midpoint of the interval <1000 3.2 9.2 500 2.6 8.3 1250 8 1750 3.6 9.6 2250 3.3 2750 4.3 7.4 3250 3.9 6.1 3750 8.8 10.9 4500 11.3 8.7 5500 10.5 7.3 6500 4.7 7500 8.2 4.4 8500 6 1.7 9500 8.9 2.5 11000 6.7 1.6 13500 4.8 1.4 20000 >25000 1.1 0.2 37500 total number of families

50 Descomposición del índice de Theil
0,233110 Porcentaje respecto del total Intergrupos 0,009907 4,25% Intragrupos 0,223203 95,75% 0,219345 0,282506 Lo que permite concluir que prácticamente la totalidad de la desigualdad existente en la distribución de las rentas de las familias de Estados Unidos en el año 1963 procede de la desigualdad entre las familias, sea cual sea su raza

51 Índice E e Índice de Theil
MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN ECONÓMICA: Índice E e Índice de Theil Beatriz Larraz Iribas Prof. Estadística Universidad de Castilla-La Mancha Valencia, 28 de noviembre de 2006