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Estadística LDCFD 1. Estadística LDCFD 2 Una distribución de frecuencias es un resumen tabular de un conjunto de datos, donde se muestra la frecuencia.

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1 Estadística LDCFD 1

2 Estadística LDCFD 2 Una distribución de frecuencias es un resumen tabular de un conjunto de datos, donde se muestra la frecuencia o cantidad de artículos en cada una de las clases, estas clases no se traslapan. También se puede expresar la frecuencia de cada valor como una fracción o un porcentaje del número total de observaciones, a esto se le llama distribución de frecuencias relativas. Ningún dato puede caer en dos clases diferentes al mismo tiempo. Distribución de frecuencias

3 Estadística LDCFD 3 Construcción de una distribución de frecuencias. 1. Decida el número de clases para dividir los datos, una práctica común es utilizar a la raíz cuadrada del número de datos. Por ejemplo si son 50 datos, se pueden tener aproximadamente 7 clases. El número de clases es algo arbitrario, es práctica común utilizar entre 5 y 20 clases, y normalmente resulta conveniente construirlas de modo que todas las clases tengan el mismo ancho. Distribución de frecuencias

4 Estadística LDCFD 4 2. Determinar el ancho de cada clase. El ancho de cada intervalos debe ser igual para todas las clases. Si las clases fueran desiguales, entonces se tendría una distribución mucho más difícil de interpretar. Para hallar el ancho de los intervalos se puede utilizar: Distribución de frecuencias

5 Estadística LDCFD 5 3. Construya las clases y cuente las frecuencias. Para formar la primera clase, tome el valor mínimo de los datos y súmele el ancho de clase. Para la segunda clase, tome el valor unitario siguiente del valor final de la primera clase y súmele el ancho de clase y así sucesivamente. Asegúrese de incluir todas los datos. Por último forme una tabla con las clases y cuente el número datos que caen en cada clase, a esta se le llama la distribución de frecuencias. Distribución de frecuencias

6 Estadística LDCFD 6 Ejemplo 1. La siguiente tabla muestra los puntajes del cociente de inteligencia de 30 alumnos en una determinada escuela. Realice una distribución de frecuencias absoluta y relativas. Métodos gráficos: Histogramas

7 Estadística LDCFD 7 Solución. El primer paso es determinar el número de clases para dividir los datos. Como se tienen 30 datos, entonces para determinar el número de clases se obtiene la raíz cuadrada de 30,, por lo que se elige tener 5 clases. El siguiente paso es determinar el ancho de cada clase, para esto se obtiene el número mayor y el número menor de los 30 datos y aplicamos la siguiente fórmula: Así, el ancho de clase es 8. Métodos gráficos: Histogramas

8 Estadística LDCFD 8 Solución. Una vez que se tiene el ancho de clase se forma las clases, iniciando con el dato menor, en este caso 88, la primera clase sería entonces 88-95, la segunda y así sucesivamente. La distribución de frecuencias absoluta se obtienen poniendo cada clase y enseguida el número de observaciones que caen en esa clase, por lo que la tabla queda de la siguiente manera: Métodos gráficos: Histogramas Clases (CI)Frecuencia absoluta [88-96)5 [96-104)5 [ )11 [ )4 [ )5 El corchete indica que el número si se incluye la clase o intervalo, el paréntesis indica que el número no pertenece a la clase. Así, el 88 pertenece a la primera clase y el 96 no pertenece.

9 Estadística LDCFD 9 Solución. La distribución de frecuencias relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de cada clase por el total de datos, por lo que la tabla queda de la siguiente manera: Métodos gráficos: Histogramas Clases (CI)Frecuencia Relativa [88-96)0.17 [96-104)0.17 [ )0.36 [ )0.13 [ )0.17

10 Estadística LDCFD 10 Métodos gráficos. Hay varias formas de efectuar la representación gráfica de un conjunto de observaciones: cada una de ellas posee ventajas, por lo que dependiendo del conjunto de datos es la elección de la gráfica. Gráficas de línea. Por gráficas de línea entenderemos aquellas que vienen representadas en unos ejes de coordenadas cartesianas mediante una línea recta o quebrada, como se muestra a continuación:

11 Estadística LDCFD 11 Métodos gráficos. Ejercicio 1: Haga una gráfica de línea para los datos de la siguiente tabla. (Nota: este ejercicio es de práctica, no es de tarea)

12 Estadística LDCFD 12 Métodos gráficos. Ejercicio 2: Haga una gráfica de línea para los datos de la siguiente tabla. (Nota: este ejercicio es de práctica, no es de tarea) Gráficas de barras. En este caso se representa el conjunto de datos por medio de barras o rectángulos cuya base es constante y su altura es proporcional a la

13 Estadística LDCFD 13 Métodos gráficos. frecuencia absoluta correspondiente. Los diagramas de barras pueden ser de diferentes tipos: de barras simples, de barras múltiples o de barras compuestas. Una variante más en la gráficas de barras es que se pueden graficar en forma horizontal, aparte de la vertical. Las gráficas de barras múltiples se utilizan para comparar dos conjuntos de datos y elaboran utilizando barras distintas para cada conjunto de datos y poniéndolos en el mismo gráfico, unas al

14 Estadística LDCFD 14 Métodos gráficos. lado de otras. Las gráficas de barras compuestas también se utilizan para comparar dos conjuntos de datos y consiste en dibujar las barras de un conjunto de datos y continuar las barras dibujadas con otro fondo, que representarán al segundo conjunto de datos. La forma general de estas gráficas se muestran a continuación.

15 Estadística LDCFD 15 Métodos gráficos. A BC Barras simples A BC Barras múltiples A BC Barras compuestas

16 Estadística LDCFD 16 Métodos gráficos. Ejercicio 3: En una universidad existen 5 programas de maestría y la matrícula en cada programa es la siguiente. Elabore una gráfica de barras. (Nota: este ejercicio es de práctica, no es de tarea)

17 Estadística LDCFD 17 Métodos gráficos. Ejercicio 4: Suponga que se quieren comparar dos universidades con los mismos programas. Elabore una gráfica de barras compuestas, en su dos presentaciones. (Nota: este ejercicio es de práctica, no es de tarea)

18 Estadística LDCFD 18 Métodos gráficos. Gráficas de pastel o de sectores. Este sistema de representación es de la misma naturaleza que el gráfico de barras; la frecuencia absoluta en este caso es proporcional al ángulo central del círculo y, por tanto, a la superficie del círculo. A la frecuencia absoluta total le corresponde el círculo completo, es decir los 360° de la circunferencia que sería el sector circular mayor. Para encontrar el sector que le correspondería a una modalidad, se utiliza la

19 Estadística LDCFD 19 Métodos gráficos. siguiente fórmula: Número de grados = donde f i es la frecuencia absoluta de la modalidad i y es la frecuencia absoluta total, es decir la suma de todas las frecuencias absolutas.

20 Estadística LDCFD 20 Métodos gráficos. Una gráfica de pastel tiene la siguiente forma: 27% 19% 13% 25% 16%

21 Estadística LDCFD 21 Métodos gráficos. Ejemplo 2: Representar mediante un gráfico de pastel la frecuencia absoluta con que aparece cada una de las 5 vocales en una frase determinada. En la siguiente tabla se muestran los datos.

22 Estadística LDCFD 22 Métodos gráficos. Solución: La suma total (frecuencia absoluta total) es: = =30. Entonces, para lo vocal a,, así, Número de grados = Para la vocal e,, así, Número de grados =

23 Estadística LDCFD 23 Métodos gráficos. Solución: Para la vocal i,, así, Número de grados = Y así para los otras dos vocales. Para la o, el número de grados es 24 y, para la u, el número de grados es 12. Se puede comprobar que la suma de los cinco sectores de la circunferencia da 360°. Esto es: 120°+156°+48°+24°+12°= 360° Su representación gráfica aparece en la siguiente figura:

24 Estadística LDCFD 24 Métodos gráficos. Solución: 120° 156° 10 veces 13 veces 4 veces 2 veces 1 vez 4 1 a e i o u

25 Estadística LDCFD 25 Métodos gráficos: Histogramas Histogramas. Las distribuciones de frecuencias se pueden representar en forma gráfica. Las gráficas muestran los datos en un diagrama de 2 dimensiones. Sobre el eje horizontal se muestran los valores de la variable (la característica que se está midiendo) y sobre cada clase, se dibuja un rectángulo de altura igual a la frecuencia de la clase. Sobre el eje vertical se señala las frecuencias de las clases mostradas en el eje

26 Estadística LDCFD 26 vertical. Un histograma consiste en una serie de rectángulos, cuyo ancho es proporcional al alcance de los datos que se encuentran dentro de una clase. La altura de la barra correspondiente a cada clase representa el número de observaciones de la clase. Como consecuencia de lo anterior, el área contenida en cada rectángulo ocupa un porcentaje del área total de todos los rectángulos igual al porcentaje de la frecuencia Métodos gráficos: Histogramas

27 Estadística LDCFD 27 correspondiente con respecto a todas la observaciones hechas. Un histograma que utiliza las frecuencias relativas de cada una de las clases, en lugar de usar la frecuencia absoluta, se conoce como histograma de frecuencias relativas. Este tipo de histograma tiene la misma forma que un histograma de frecuencias absolutas, construido a partir del mismo conjuntos de datos. Métodos gráficos: Histogramas

28 Estadística LDCFD 28 Un histograma tiene la siguiente forma: Métodos gráficos: Histogramas Calificaciones Frecuencia

29 Estadística LDCFD 29 Polígono de frecuencias. Los datos de una distribución de frecuencia se pueden describir por medio de otra representación gráfica que recibe el nombre de polígono de frecuencias. Se puede construir un polígono de frecuencias dibujando primero un histograma y luego conectando por medio de líneas rectas los puntos medios de la parte superior de cada una de los rectángulos. En la siguiente figura se tiene la forma de un polígono de frecuencias. Métodos gráficos: Polígono de frecuencias

30 Estadística LDCFD 30 Métodos gráficos: Polígono de frecuencias Calificaciones Frecuencia Ejemplo 3. Trace el histograma y el polígono de frecuencias para los datos de los puntajes del cociente de inteligencia de los 30 alumnos.

31 Estadística LDCFD 31 Métodos gráficos Solución: Para trazar el histograma de las frecuencias absolutas, debemos encontrar la marca de clase, que es el punto medio de cada clase, y que se obtiene sumando los extremos de la clase y dividendo por 2. La marca de clase de la primera clase seria entonces Procediendo de igual forma se obtienen las demás marcas de clase: 100, 108, 116 y 124. El histograma se forma, colocando sobre el eje horizontal las marcas de clase y sobre el eje vertical la frecuencia absoluta.

32 Estadística LDCFD 32 Métodos gráficos: Histogramas Solución: El histograma queda entonces de la siguiente manera: Frecuencia (número de alumnos) CI

33 Estadística LDCFD 33 Métodos gráficos: Histogramas Solución: El polígono de frecuencias se forma uniendo los puntos medios de la parte superior de cada rectángulo del histograma, quedando de la siguiente manera: Polígono de frecuencias 133 Frecuencia (número de alumnos) CI

34 Estadística LDCFD 34 Métodos gráficos: Histogramas Ejercicio 5. La estatura de 40 alumnos de una determinada escuela están dadas en la siguiente tabla. Realice la distribución, histograma y polígono de frecuencias. (Nota: este ejercicio es de práctica, no es de tarea)

35 Estadística LDCFD 35 Métodos gráficos: Ojivas Gráfica de frecuencias acumuladas: Ojivas. Cuando se tiene una variable cuantitativa continua, conviene en ocasiones conocer cuántos elementos de la población están comprendidos en los intervalos hasta cada una de las marcas de clase sucesivas; para representarlo utilizaremos las gráficas de frecuencia acumulada en ojivas. Estás gráficas son de línea y su representación es creciente, ya que se va acumulando las frecuencias absolutas de cada intervalo. La frecuencia que

36 Estadística LDCFD 36 Métodos gráficos: Ojivas tendremos acumulada en un intervalo cualquiera será la suma de todas las frecuencias de los intervalos que preceden a éste. La frecuencia acumulada en el último intervalo coincidirá con el número de la población. Las ojivas, tienen la siguiente forma:

37 Estadística LDCFD 37 Métodos gráficos: Ojiva Calificaciones Frecuencia Porcentaje

38 Estadística LDCFD 38 Métodos gráficos: Ojivas Ejemplo 4. Realice la distribución de frecuencias acumulada y dibuje la ojiva de los datos del ejemplo 2 (CI de 30 alumnos). Solución: 1. Distribución de frecuencias absoluta acumulada. En la primera clase la frecuencia acumulada será 5, en la segunda clase 5+5=10, en la tercera clase =21, y así sucesivamente, quedando: Clases (CI)Frecuencia absoluta acumulada [88-96)5 [96-104)10 [ )21 [ )25 [ )30

39 Estadística LDCFD 39 Métodos gráficos: Ojivas Solución: 2. Ojiva Ojiva Frecuencia acumulada (número de alumnos) CI

40 Estadística LDCFD 40 Métodos gráficos: Ojivas Ejercicio 6. Realice la distribución de frecuencias acumulada y dibuje la ojiva de los datos del ejercicio 5. (Nota: este ejercicio es de práctica, no es de tarea)

41 Estadística LDCFD 41 Referencias Garzo, F. & García, F. (1988). Estadística. McGraw Hill. Downie, N.M. & Heath R. W. (1986). Métodos Estadísticos Aplicados. Editorial Harla. Quinta Edición. Levin, J. (1979). Fundamentos de Estadística en la investigación Social. Editorial Harla. Segunda Edición.


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