MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS CURSO 2015/16

Presentación del tema: "MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS CURSO 2015/16"— Transcripción de la presentación:

1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS CURSO 2015/16
Departamento Física Aplicada ETSIAM Antonio J Barbero García José González Piqueras Alfonso Calera Belmonte

2 PROBLEMA 1 Se dispone de un muelle de longitud natural L0 = 20 cm -figura (a)-. Cuando una masa M = 400 g se cuelga del muelle, su longitud se incrementa en L = 50 cm –figura (b)-. Finalmente, la masa colgante se hace oscilar después de haber estirado el muelle una longitud A = 20 cm –figura (c)-. Conteste las siguientes preguntas: (a) (b) (c) a) ¿Cuál es la constante del muelle? b) Calcular el periodo de la oscilación. c) Calcular la posición de la masa 6.98 s después de comenzar las oscilaciones. d) Calcular el periodo de oscilación si se hubiese colgado la misma masa M de dos muelles idénticos a éste colocados paralelamente entre si.

3 PROBLEMA 1 (CONTINUACIÓN)
Ley de Hooke: 2a ley de Newton: b) c) Elegimos t = 0 cuando y = A lo cual implica  = 0 d) 2a ley de Newton: Ley de Hooke: (Los muelles son idénticos)

4 PROBLEMA 1 (CONTINUACIÓN)
Ecuación de la oscilación con dos muelles: donde Escribamos la ecuación como La solución de esta ecuación es El periodo es La pareja de muelles idénticos en paralelo se comporta como un único muelle de constante 2 k.

5 PROBLEMA 2 En el laboratorio de física se dispone de los siguientes equipos: 1º) Un péndulo simple consistente en una lenteja, que puede tratarse como masa puntual, sujeta del techo por un hilo inextensible de longitud L. 2º) Un bloque de masa M que puede desplazarse oscilando horizontalmente sobre un carril sin rozamiento, que está unido a un resorte ideal de constante k. El péndulo se separa un ángulo θ0 de la vertical, y el bloque sujeto por el muelle se separa una distancia x0 de su posición de equilibrio. Ambos se liberan en el mismo instante iniciando las respectivas oscilaciones. ¿Cuál debe ser la masa de la lenteja del péndulo para que la energía total de los dos osciladores sea la misma?. Suponiendo que la masa del péndulo es la que verifica la solución correcta del apartado anterior, calcular (en m/s) la velocidad de la lenteja y del bloque cuando ambos pasan por su posición de equilibrio. ¿Cuál es la tensión del hilo del péndulo cuando pasa por la posición de equilibrio? Valores numéricos

6 PROBLEMA 2 (CONTINUACIÓN)
Ecuación del movimiento del bloque Ecuación del movimiento del péndulo Velocidad Vel. angular Velocidad La velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio, cual sucede por primera vez cuando Velocidad máxima Velocidad máxima Energía total: tomando el nivel cero de energía potencial en el punto de equilibrio, la energía total coincide con la energía cinética correspondiente a la velocidad máxima.

7 PROBLEMA 2 (CONTINUACIÓN)
(b) Cálculo de las velocidades al pasar por la posición de equilibrio (hecho en el análisis anterior) Bloque Péndulo Velocidad Velocidad Velocidad máxima Velocidad máxima (b) Bloque (a) Péndulo (c) (kg) (m/s) (N) (c) Tensión del hilo del péndulo cuando pasa por la posición de equilibrio DSL

8 PROBLEMA 3 Con dos péndulos simples de igual longitud (L = 99.3 cm) se realiza el siguiente experimento en el laboratorio de alumnos: los dos péndulos, que están colgados del techo del laboratorio, se inclinan un mismo ángulo A = 9º con respecto a la vertical; entonces se libera el primero de ellos (P1) de modo que empieza a oscilar libremente, y 1.20 s después se libera el segundo péndulo (P2). La figura muestra la situación en el preciso momento de liberar el segundo péndulo. (a) Escribir la ecuación de cada péndulo respecto a un origen de tiempo común. (b) Explicar razonadamente si el primer péndulo está acercándose o alejándose de la vertical en el momento de liberar el segundo. (c) Calcular la velocidad del péndulo P1 en el instante mostrado en la figura. (d) Si la masa del segundo péndulo es 50 gramos, calcular la tensión de la cuerda cuando P2 pasa por la vertical. (a) La ecuación del MAS de cada péndulo se expresa de la forma general Puesto que los dos péndulos tienen la misma longitud, sus periodos serán iguales y la frecuencia angular también será la misma para los dos La diferencia entre la ecuación de un péndulo y otro estriba en que la fase inicial de cada uno es diferente, puesto que el movimiento empieza en instantes diferentes. Tomamos origen de tiempos t = 0 en el instante de liberar P1 El péndulo P2 se libera 1.20 s después, esto significa que P2 va atrasado Dt = s respecto a P1; como el periodo es T = 2 s, ese retraso significa una fracción de periodo igual a -1.20/2, y en radianes esto es equivalente a la siguiente diferencia de fase: La amplitud es Observación: se admite expresar la amplitud en grados, pero cuando haya que hacer un cálculo que implique multiplicar por la amplitud, ésta debe ponerse siempre en radianes.

9 PROBLEMA 3 (CONTINUACIÓN)
Con dos péndulos simples de igual longitud (L = 99.3 cm) se realiza el siguiente experimento en el laboratorio de alumnos: los dos péndulos, que están colgados del techo del laboratorio, se inclinan un mismo ángulo A = 8.6º con respecto a la vertical; entonces se libera el primero de ellos (P1) de modo que empieza a oscilar libremente, y 1.20 s después se libera el segundo péndulo (P2). La figura muestra la situación en el preciso momento de liberar el segundo péndulo. (a) Escribir la ecuación de cada péndulo respecto a un origen de tiempo común. (b) Explicar razonadamente si el primer péndulo está acercándose o alejándose de la vertical en el momento de liberar el segundo. (c) Calcular la velocidad del péndulo P1 en el instante mostrado en la figura. (d) Si la masa del segundo péndulo es 50 gramos, calcular la tensión de la cuerda cuando P2 pasa por la vertical. (b) Razonamiento cualitativo: cuando han transcurrido 1.20 s se ha sobrepasado la mitad del periodo, por lo cual el péndulo P1 ha descrito ya más de la mitad de una oscilación completa, esto quiere decir que está volviendo desde el extremo opuesto y se va por tanto acercando a la vertical. Esto corresponde en el esquema a la flecha Razonamiento cuantitativo a partir de la ecuación del movimiento: Cuando t = 1.20 s (c) Derivando la ecuación del movimiento se obtiene la variación del ángulo con el tiempo, es decir, la velocidad angular en cada instante, que – conviene insistir en ello – no es constante, sino que depende de la fase. Una vez calculada la velocidad angular, la velocidad del péndulo se obtendrá multiplicando por la longitud del péndulo. Velocidad

10 PROBLEMA 3 (CONTINUACIÓN)
Con dos péndulos simples de igual longitud (L = 99.3 cm) se realiza el siguiente experimento en el laboratorio de alumnos: los dos péndulos, que están colgados del techo del laboratorio, se inclinan un mismo ángulo A = 9º con respecto a la vertical; entonces se libera el primero de ellos (P1) de modo que empieza a oscilar libremente, y 1.20 s después se libera el segundo péndulo (P2). La figura muestra la situación en el preciso momento de liberar el segundo péndulo. (a) Escribir la ecuación de cada péndulo respecto a un origen de tiempo común. (b) Explicar razonadamente si el primer péndulo está acercándose o alejándose de la vertical en el momento de liberar el segundo. (c) Calcular la velocidad del péndulo P1 en el instante mostrado en la figura. (d) Si la masa del segundo péndulo es 50 gramos, calcular la tensión de la cuerda cuando P2 pasa por la vertical. (d) Cuando P2 pasa por la vertical (yendo hacia la derecha o yendo hacia la izquierda) la tensión de la cuerda T es de sentido opuesto al peso W, pero ambos vectores no son de la misma magnitud, porque el hecho de que el péndulo describa un arco de trayectoria circular alrededor del punto donde está colgado implica que existe fuerza centrípeta FC que es función de la velocidad angular cuando el péndulo ocupa dicha posición. Véase D.S.L. 2ª ley de Newton: Esta es la velocidad angular de P2 cada vez que pasa por la vertical, debemos calcularla para resolver el problema Véase que si tomamos el origen de tiempos en uno de los extremos, se verifica que cada vez que un péndulo pasa por la vertical la fase siempre es un múltiplo entero de p/2, por lo que el término seno de la contenido en la velocidad vale siempre ±1. Por tanto el valor de la velocidad siempre es máximo en valor absoluto, y es igual a Nota: puede comprobarse que el peso es N y la fuerza centrípeta es igual a N.