Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2007 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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2 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2007 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva -Johan van Benthem -(L.T.F. GAMUT)

4 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva - Capacidad Expresiva de los lenguajes de primer orden: En general, hay infinitos modos de interpretar sus fórmulas elementales, modos que no dependen de la asignación finita de valores a las expresiones componentes. Por ejemplo: Dada C a b ----- es posible obtener Cxy Si el D del modelo es infinito, hay infinitas maneras de interpretar Cxy (tantos como pares ordenados que la interpreten) Para poder definir las condiciones veritativas de las fórmulas del lenguaje debemos identificar los mecanismos finitos generadores de infinitas fórmulas elementales. Predicación Cuantificación Ambos mecanismos dependen de la posibilidad de reconocer expresiones suboracionales de categorías distintas (términos singulares y predicados).

5 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva En los lenguajes de primer orden, hay predicados relacionales n-ádicos. Mecanismo técnico (tarskiano): Los objetos que sean utilizados para satisfacer las fórmulas pueden tener un orden secuencial (infinito, en el caso en que los objetos que se utilicen para interpretar sean infinitos). Sólo si ese orden secuencial es infinito, los cuantificadores de ese lenguaje podrán hablar de infinitos objetos. Las funciones de asignación de objetos (g) son un mecanismo alternativo

6 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Modelo de primer orden: - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V Mg > Todos los componentes no lógicos de las fórmulas de L deben recibir una interpretación: Se le debe asignar un objeto apropiado de D. Ejemplo 1: D: conjunto de los números naturales, I es la función que asigna a la constante 1 el valor 1, a 2 el valor 2, etc, y al predicado P el conjunto de los números pares, etc. Ejemplo 2: D: conjunto de los filósofos, I es la función que asigna a la constante 1 el valor Sócrates, a 2 el valor Platón, etc, y al predicado P el conjunto de los filósofos empiristas, etc.

7 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Sean D: conjunto de entidades no vacío I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) (si n es 2, su interpretación es un par ordenado) g: asigna valores temporales de D a las variables de L Por ejemplo, Cxy Una asignación g es g(x): Tarski, g(y): Etchemendy V Mg : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L

8 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D y su función de asignación g es una asignación temporaria en D, entonces [[…]] Mg se define como sigue (i) [[P n (t 1,..., t n )]] Mg = 1 sss I (P n ) (ii) [[ ¬ ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 0 (iii) [[ & ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 1 y [[ ]] Mg = 1 (iv) (v) y (vi) (vii) [[ x ]] Mg = 1 sss [[ [x/o] ]] M g = 1, para todo objeto o de L (viii) [[ x ]] M = 1 sss [[ [x/o] ]] M g = 1, para algún objeto o de L.

9 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva En la cláusula (i) pueden aparecer variables y constantes de individuos P n (x 1,..., x n ) y P n (c 1,..., c n ) [[t]] Mg, si t es una constante, entonces I (t) si t es una variable, entonces g (t) puede tener variables distintas (x, y, z) Los únicos valores de g de los que depende [[ ]] M g son los que g asigna a las variables que aparecen libres en. (En el caso de la asignación con secuencias, las secuencias S sólo pueden conducir a resultados distintos respecto de fórmulas con variables libres). Cxy, dada una asignación g, hay que considerar una g (idéntica a g), salvo en lo que se le asigna a la variable en consideración. [[Cxy]] Mg´ = 1 sss pertenece a I (C) [[ x Cxy]] Mg = 1 sss hay alguna g´ que [[Cxy ]] M g´ = 1

10 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva g´ queda definida por g y el valor que g´le asigne a la variable sobre la cual se hace la variante. g[x/o] para g´, si la asignación asigna o a y. Para las fórmulas cerradas [[ ]] Mg = [[ ]] M Con respecto a las fórmulas cerradas, la cuestión respecto de las asignaciones es todo o nada: si en una asignación g la fórmula es verdadera, lo es en toda asignación. Las fórmulas o son verdaderas para todas las asignaciones o no lo son por ninguna. (O bien una fórmula cerrada es satisfecha por toda secuencia o no lo es por ninguna). Ejemplo: Supongamos que x Cx resulta verdadera en el modelo M bajo la asignación g. Si hubiera una asignación g´ en la cual x Cxresultara falsa, entoces por la regla del cuantificador existencial, tendría que haber resultado falsa también para la asignación g.

11 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Validez Universal Si [[ ]] M g = 1 para todo modelo M y asignación temporal g del lenguaje del cual se toma. Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, si [[K]] M g = 1, entonces [[S]] M g = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, [[K]] M g = [[S]] M g

12 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Presentaciones actuales de la semántica de Modelos (Modelos variables) Las fórmulas cerradas son parte de un lenguaje formal no interpretado La interpretación se realiza por medio de estructuras conjuntistas Modo de interpretación: estructura o modelo Cada modelo posee un dominio de interpretación (un conjunto no vacío) Cada modelo posee una asignación (que puede variar de modelo en modelo) y un dominio (que puede variar de modelo en modelo) Ejemplos de dominios: el conjunto de los números naturales, el de los perros de caballito, el de los alumnos del seminario, etc.

13 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Alfred Tarski

14 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Tres enfoques acerca de la noción de interpretación (i) como substituciónreinterpretar reemplazando una constante por otra en el contexto de una oración T(Alfred)TxT(John) Formula cerradaFunción oracionalNueva Fórmula cerrada (ii) como asignación Asignar objetos apropiados (extensiones) a las constantes no lógicas de L Reinterpretar la función oracional asociada con la fórmula cerrada de manera tal que se asigne un valor apropiado (objeto a las constantes de individuos y conjuntos a los predicados) a cada constante no lógica de L (A) con dominio fijola asignación se hace a partir de un único dominio de objetos (B) con dominio variable la asignación se hace a partir de diferentes dominios de objetos

15 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva La secuencia finita f de objetos satisface el predicado x 2 x 3 sss el objeto ubicado en el segundo lugar de la secuencia f tiene con el objeto ubicado en el tercer lugar de la secuencia. Si x 2 x 3 tiene como interpretación pretendida x 2 es discípulo de x 3 la secuencia f no satisface la función formular x 2 x 3 En cambio, lo hace la secuencia g Para permitir que los cuantificadores hablen acerca de conjuntos infinitos, se introduce el concepto La secuencia infinita f de objetos satisface el predicado

16 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva El Concepto de Satisfacción - Construir un concepto más general que el de verdad (que sea aplicable tanto a oraciones como a oraciones abiertas) a partir del cual definir verdad 1.- T(Alfred)Tx [x/Alfred] Oracion cerradaFuncion oracional 2. La interpretacion I sat T(Alfred) con respecto f sss el objeto que esta I asigna a Alfred sat Tx Hay distintas I para T(Alfred) I1= TarskiI2= EtchemendyI3= el 1 3. Generalizacion Tx La I sat T(Alfred) con respecto de f sss el objeto que I asigna al nombre Alfred y el conjunto que asigna a T sat Tx Nuevamente, hay distintas I para T(Alfred) 4.- C(John, Alfred) La I sat C (John, Alfred) con respecto de f sss el objeto que I asigna al nombre John y el que asigna al nombre Alfred, ordenados… Sat Cxy x 1 T x 1 La I sat x 1 T x 1 con respecto de f sss Hay una secuencia g identica a f, salvo en el primer lugar que satisface T x 1

17 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Definición: La interpretación I Sat la función oracional X sss la I Sat la función formular con respecto a toda secuencia f que asigna valores a las variables de L. Observaciones: Las interpretaciones se utilizan para asignar valores a las constantes no lógicas de L Las secuencias se utilizan para asignar valores temporales a las variables que aparecen en las funciones formulares. Un L que no contenga cuantificadores no necesita de secuencias Para las fórmulas cerradas vale que si una secuencia la satisface, la satisfacen todos las secuencias. Las fórmulas abiertas pueden ser satisfechas por algunas secuencias y no serlo por otras.

18 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Nociones Interpretación de L Secuencia arbitraria que asigna objetos apropiados a las constantes no lógicas de L - un objeto singular a cada una de las constantes, - un conjunto de objetos singulares a N y a T - una relación binaria (o mejor, un conjunto de pares ordenados) entre objetos singulares a C. Una función oracional O' de una oración O es el resultado de sustituir las constantes no lógicas que aparecen en O de una manera uniforme por variables correspondientes de los tipos apropiados (y diferentes de las variables ya existentes en el lenguaje). Por ejemplo, la función oracional determinada por la oración x(Nx ¬Cx(Alfred)) sería la expresión x(Px ¬Yxy) (en la cual P, Y y y son variables nuevas). función formular, es forma análoga a la función oracional, salvo que ahora O puede ser una fórmula abierta. Las funciones oracionales de oraciones de L no serán en general oraciones, y por tanto no verificarán siempre la propiedad de ser verdaderas o falsas. Pero en cambio sí serán siempre verdaderas o falsas con respecto a interpretaciones de L; o, como Tarski dice, serán satisfechas o no por interpretaciones de L.

19 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Propuesta tarskiana : (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente) Decimos que la interpretación satisface la función formular X con respecto a una secuencia f si y sólo si: Fórmulas atómicas: ( ) (i) X es Txn (para algún n) y f(xn) A; o X es Hxn (para algún n) y f(xn) A o X es T(Alfred), Alfred se interpreta como Tarski y la interpretación de Alfred A; (ii) X es Cxnxm (para algunos m y n) y R; o X es C(Alfred), (Alfred) y R; o (iii) X es xn=xm (para algunos m y n) y f(xn)=f(xm) o X es Alfred=Alfred; o Fórmulas Moleculares ( ) hay una función formular Y tal que X es ¬Y y no satisface Y con respecto a la secuencia f; o ( ) hay funciones formulares Y y Z tales que X es (Y Z) y o bien no satisface Y con respecto a la secuencia f o satisface Z con respecto a la secuencia f; o, por último, ( ) hay una función formular Y y un objeto o ubicado en el lugar n de la secuencia f, tales que X es xnY y toda secuencia g que asigna valores a las variables (originales) de L y que difiere de f a lo sumo en lo que asigna a xn es tal que satisface Y con respecto a g.

20 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva La interpretación satisface la función oracional X si y sólo si satisface la función formular X con respecto a toda secuencia f que asigna valores a las variables de L. Un modelo de una oración O es una interpretación del lenguaje de O que satisface la función oracional O' determinada por O; De forma más general: Un modelo de un conjunto de oraciones K es una interpretación del lenguaje de las oraciones de K que satisface todas las funciones oracionales determinadas por oraciones de K. La oración X es una (consecuencia lógica)t de las oraciones del conjunto K si y sólo si todo modelo del conjunto K es también un modelo de la oración X (Tarski (1936), p. 417). Una oración O es una (verdad lógica)t si y sólo si toda interpretación del lenguaje de O es un modelo de O.

21 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Analizar la noción de interpretación a través de la de modelo Decir que M es un modelo para la oración O es decir - Que hay una función oracional O´ (resultado de reemplazar en O los términos no lógicos por variables) Y - Que esa función oracional O´ es satisfecha por una secuencia arbitraria de objetos. - En la caracterización original de Tarski: - Hay un único dominio de objetos (el conjunto (quizás infinito) de objetos que conforman la secuencias. - Cuando pasamos de modelo en modelo (como cuando tenemos que decir que para todo modelo de O) reinterpretamos una oración que ya está interpretada (no vamos cambiando su interpretación de modelo en modelo).

22 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Propuesta tarskiana 2: (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente, Cap. 6) Decimos que la estructura satisface la función formular X con respecto a una secuencia f (que asigne valores en D a las variables de L) si y sólo si: Interpretación Fórmulas atómicas: ( ) (i) X es Txn (para algún n) y f(xn) A; o X es Hxn (para algún n) y f(xn) A o X es T(Alfred), Alfred se interpreta como Tarski y la interpretación de Alfred A; (ii) X es Cxnxm (para algunos m y n) y R; o X es C(Alfred), (Alfred) y R; o (iii) X es xn=xm (para algunos m y n) y f(xn)=f(xm) o X es Alfred=Alfred; o Fórmulas Moleculares ( ) hay una función formular Y tal que X es ¬Y y no satisface Y con respecto a la secuencia f; o ( ) hay funciones formulares Y y Z tales que X es (Y Z) y o bien no satisface Y con respecto a la secuencia f o satisface Z con respecto a la secuencia f; o, por último, ( ) hay una función formular Y y un objeto o ubicado en el lugar n de la secuencia f, tales que X es xnY y toda secuencia g que asigna valores a las variables (originales) de L y que difiere de f a lo sumo en lo que asigna a xn es tal que satisface Y con respecto a g.

23 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Propuesta tarskiana 2: (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente, Cap. 6) La definición es completamente análoga a la definición de satisfacción dada en el capítulo 4. Únicamente se modifica el restringir el recorrido de las secuencias (de valores de las variables de L) al Universo D de la estructura dada. Definiciones: La estructura satisface la función oracional X si y sólo si satisface la función formular X con respecto a toda secuencia f que asigna valores en U a las variables de LAr. Una estructura modelo de un conjunto de oraciones K es una estructura para el lenguaje de las oraciones de K que satisface todas las funciones oracionales determinadas por oraciones de K. (CLT) Una oración O es una (consecuencia lógica)T de un conjunto de oraciones K si y sólo si toda estructura modelo del conjunto K es también una estructura modelo de la oración O.

24 Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva Dos conceptos de Modelo: Verdad en toda interpretación de las constantes no lógicas Verdad en toda interpretación de las constantes no lógicas sacada de cualquier dominio no vacío de objetos. Dos estructuras