MAI. Marco Vinicio Monzón Un problema de maximización se presenta en los casos en los que el interés sea optimizar el ingreso o ganancia en una empresa.

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1 MAI. Marco Vinicio Monzón Un problema de maximización se presenta en los casos en los que el interés sea optimizar el ingreso o ganancia en una empresa.

2 MAI. Marco Vinicio Monzón Sujeto a (s.a.) X 1 + X 2 ≤ 7 X 1 + 2X 2 ≤ 10 Restricciones 2X 1 + X 2 ≤ 11 X i ≥ 0 Función Objetivo: Máx Xo: 3X 1 + 4X 2

3 MAI. Marco Vinicio Monzón quedando de la siguiente manera:

4 MAI. Marco Vinicio Monzón La función objetivo debe igualarse a cero. Máx Xo – 3X1 – 4X2 = 0 S.a. X 1 + X 2 + S 1 = 7 X 1 + 2X 2 + S 2 = 10 2X 1 + X 2 + S 3 = 11 Las restricciones se convierten en ecuaciones haciendo uso de las variables de Holgura

5 MAI. Marco Vinicio Monzón BásicasXoX1X2S1S2S3Solución Xo1-3-40000 S10111007 S201201010 S302100111 El tablero inicial quedaría de la siguiente forma:

6 MAI. Marco Vinicio Monzón El siguiente paso es elegir el coeficiente más negativo en Xo, ya que se trata de un problema de maximización. En el caso de no existir valores negativos se dice que el problema no tiene solución óptima finita.

7 MAI. Marco Vinicio Monzón Básica s XoX1X2S1S2S3Sol.Operaciones Xo1-3-40000--- S10111007--- S201201010--- S302100111--- Eligiendo el coeficiente más negativo

8 MAI. Marco Vinicio Monzón La variable que sale corresponde al menor cociente positivo de dividir los coeficientes de la columna Solución entre los coeficientes de la columna pivote. BásicasXoX1X2S1S2S3Sol.Operaciones Xo1-3-40000---- S101110077/1 = 7 S20120101010/2 = 5 S30210011111/1 = 11 Elemento Pivote

9 MAI. Marco Vinicio Monzón El elemento pivote debe convertirse al valor de la unidad por medio de una división entre su valor actual y así utilizarlo para obtener ceros en el resto de coeficientes de la columna pivote, a través de operaciones entre filas. Iteración # 1 BásicasXoX1X2S1S2S3Sol.Operaciones Xo1002020X 2 (4) + Xo S100501-0.502X 2 (-1) + S 1 X2X2 00.510 05S 2 /2 S301.500-0.516X 2 (-1) + S 3

10 MAI. Marco Vinicio Monzón En nuestra función objetivo Xo existe aún un valor negativo por lo que nuestro tablero no está óptimo y es necesaria otra iteración Xo1002020X 2 (4) + Xo

11 MAI. Marco Vinicio Monzón La variable que entra es X 1 ya que su coeficiente negativo es el mayor -1. (columna pivote) BásicasXoX1X2S1S2S3Sol.Operaciones Xo1002020--- S100501-0.502--- X2X2 00.510 05--- S301.500-0.516---

12 MAI. Marco Vinicio Monzón La variable que sale corresponde al menor cociente positivo de dividir los coeficientes de la columna Solución entre los coeficientes de la columna pivote. Básica s XoX1X2S1S2S3Sol.Operaciones Xo1002020--- S100501-0.5022/0.5 = 4 X2X2 00.510 055/0.5 = 10 S301.500-0.5166/1.5 = 4 Empate

13 MAI. Marco Vinicio Monzón El menor cociente positivo se obtiene en S1 y en S3 por lo que se puede romper el empate arbitrariamente y S3 será la variable que sale y la intersección con la columna pivote nos da el nuevo Elemento Pivote. BásicasXoX1X2S1S2S3Sol.Operaciones Xo1002020--- S100501-0.5022/0.5 = 4 X2X2 00.510 055/0.5 = 10 S301.500-0.5166/1.5 = 4 Elemento Pivote

14 MAI. Marco Vinicio Monzón El elemento pivote debe convertirse al valor de la unidad por medio de una división entre su valor actual y así utilizarlo para obtener ceros en el resto de coeficientes de la columna pivote. Iteración # 2 Básica s XoX1X2S1S2S3Sol.Operaciones Xo10001.660.6624X 1 (1) + Xo S10001-0.33 0X 1 (-0.5) + S 1 X2X2 00100.66-0.333X 1 (-0.5) + X 2 X1X1 0100-0.330.664S 3 / 1.5

15 MAI. Marco Vinicio Monzón Puede observarse que en Xo se ha logrado obtener valores “no negativos”, por lo que se concluye que el tablero es óptimo y debe interpretarse de la siguiente manera: Xo10001.660.6624X 1 (1) + Xo Todas son positivas o no negativas Xo = 24 Valor óptimo X1 = 4 X2 = 3 S1 = S2 = S3 = 0

16 MAI. Marco Vinicio Monzón Para comprobar la respuesta se hace sustitución de los valores de las variables en la función objetivo: Máx Xo: 3X1 + 4X2 Xo = 3(4) + 4(3) Xo = 24 Con lo que queda comprobado que las iteraciones nos llevaron al resultado requerido