Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela Ingeniería en Electrónica Curso: Métodos Numéricos Método de Bairstow Profesor: Ing. Marvin Hernández.

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1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela Ingeniería en Electrónica Curso: Métodos Numéricos Método de Bairstow Profesor: Ing. Marvin Hernández C II Semestre 2008

2 Agenda INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DEL MÉTODO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS

3 INTRODUCCIÓN El método de Bairstow es utilizado para encontrar las n-raíces de un polinomio. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado con los métodos de Müller y Newton-Raphson. Es importante que recuerde la forma factorizada de un polinomio:

4 Método de Bairstow El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado con los métodos de Müller y Newton-Raphson

5 Se basa en… Por lo general, en esta aproximación el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor (que no sea raíz). Por ejemplo, el polinomio general

6 Se divide por un factor x-t
Y se tiene un polinomio de menor grado fn-1(x) = b1+b2x+b3x2+…….+bnxn-1 Con residuo R=b0 Los coeficientes se calculan por una relación de recurrencia bn=an; bi=ai+bi+1t para i=n-1 a 0 Si t es una raíz, b0 será cero Para raíces complejas se divide el polinomio entre un factor cuadrático x2-rx-s Para el polinomio original la división dará fn-2(x)=b2+b3x+…+bn-1xn-3+bnxn-2 ; R=b1(x-r)+b0

7 Como en la división sintética normal la relación de recurrencia mostrada abajo se utiliza para la división entre el factor cuadrático

8 Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:

9 Si x2-rx-s es un divisor exacto:
Las raíces complejas se determinan con la fórmula cuadrática. Así, lo que se hace es determinar r y s para que el factor sea un divisor exacto del polinomio (residuo cero). Se busca que b0 y b1 tiendan a cero. Éstos son funciones de r y s y se usa expansión en serie de Taylor. b1(r+Δr, s+Δs)=b1+(∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs b0(r+Δr, s+Δs)=b0+(∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs que se evalúan en r y s La ecuación anterior se iguala a cero con lo que: (∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs = -b1 y (∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs = -b0

10 Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:

11 Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:

12 Para mejorar los valores iniciales de r y s
Para mejorar los valores iniciales de r y s. en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en:

13 Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como:

14 Ejemplos: Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale Tenemos que
f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2 Obtenemos como solución tres valores de raíces x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278

15 Tabla de Valores ITERACIÓN r s Nuevo r Nuevo s Δr Δs 1 -1 1.085
0.887 2 2.49 -0.67 0.402 -0.556 3 -0.876 2.426 -0.064 -0.206 4 2.43 -0.87 0.0076 0.0045

16 Obteniendo finalmente un acercamiento a los valores de raíces:
x1= 1.999 x2= x3 = 3,278

17 Ejercicio 7.3(Chapra, Canale) Tenemos que
f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25 Averiguando r y s después de 4 iteraciones se obtiene que: εa,r =55.23% εa,r =824.1 % x1=0.5 y x2=-1

18 Quedando como cociente el polinomio:
f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5 Utilizando el mismo método después de cinco iteraciones: x3= i x4= i

19 Ahora el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz: x5= 2

20 Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale)
b) Utilizando: para determinar los valores de b. Con

21 Reacomodando la ecuación:

22 Resolviendo el sistema:
Obteniendo el y el : Resolviendo el sistema:

23 Asi podemos obtener el % de error

24 Aplicado a una segunda iteración:
Aplicado a una tercera iteración:

25 Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs
Iteración r Δr s Δs 1 1.0953 2 2.05 -0.179 -1.08 -0.042 3 2.103 -0.053 -1.096

26 Asi las raíces son: