Tema II “Cálculo Integral. Algunas Aplicaciones” Sumario: - Definición de función primitiva o antiderivada. - Definición de integral indefinida. - Propiedades.

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1 Tema II “Cálculo Integral. Algunas Aplicaciones” Sumario: - Definición de función primitiva o antiderivada. - Definición de integral indefinida. - Propiedades de la integral indefinida. - Métodos de Integración: Integración por sustitución e integración por partes. - Definición de integral definida en el sentido de Riemann. - Algunas aplicaciones de la Integral Definida. - Métodos numéricos para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. - Extensiones sucesivas del concepto integral definida en el sentido de Riemann.

2 El problema principal del cálculo diferencial consistió en encontrar un número, la pendiente m, de la recta tangente a la curva f en un punto. Dicho de otro modo, dada la ecuación analítica de una función f, encontrar otras funciones denotadas por:

3 Problema: Dada un función f, podremos encontrar otra función denotada por F tal que se cumpla la correlación: Problema Mecánico. Si se conoce la velocidad del movimiento de un punto material, halle la ley del movimiento.

4 Def (1) (Definición de función primitiva o antiderivada) Una función F se denomina primitiva o antiderivada para la función f en el intervalo (a,b), si F es diferenciable en (a,b) y por tanto se verifica que: Teo (1) Si F es una primitiva o antiderivada para la función f en el intervalo (a,b), entonces F(x) + C también es una primitiva para f, donde C es un número constante cualquiera.

5 Def (2) (Integral indefinida) Una primitiva arbitraria para f en el intervalo (a,b) se denomina integral indefinida de f y se denota por: El símbolo denomina integral y es una s alargada y estilizada. Aquí f se denomina integrando o función subintegral. La operación mediante la cual se halla una primitiva de f en (a,b) se llama integración. El objeto presenta una ambigüedad, pues no aparece explicitado el intervalo.

6 El proceso de integración es más complejo que el proceso de integración, pues: 1- El resultado de este proceso es una familia de funciones y no una función. 2- El resultado del proceso no tiene por qué ser un función elemental, aunque se la aplique a una función elemental, es decir, la operación puede llevar a una función no elemental. Observación: Una función no elemental es aquella que no puede expresarse mediante un número finito de operaciones aritméticas y superposiciones de funciones elementales.

7 Teo (2) Si la función f es continua en el intervalo (a,b), entonces existe para la función f una primitiva en (a,b) y por tanto una integral indefinida. Métodos de integración Descomposición en fracciones parciales Integración por sustitución Integración por partes InmediataTabulada

8 Se quiere ahora dar un concepto de área de una figura que está limitada superiormente por la curva y = f (x), el eje de las “x” y las rectas de ecuaciones x = a y x = b. Además se pide encontrar una expresión para calcular dicha área.

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10 Def (3) (Integral definida) Si, independientemente de la partición del segmento, a<b, en segmentos parciales y de la elección de los puntos en ellos, las sumas integrales tienen un mismo límite finito S para, entonces este límite se denomina integral definida de la función f en en el sentido de Riemann y se denota por:

11 Condiciones de integrabilidad. Def 4 (Función integrable en el sentido de Riemann) Una función f definida sobre el intervalo se denomina integrable según Riemann en el intervalo si para f existe la integral Teo 3: Si f es integrable en, entonces es acotada en él. Teo 4: Si f es continua en, entonces es integrable en él. Teo 5: Si f está definida y es monótona en el intervalo, entonces es integrable en él.

12 Teo 6: Si f está acotada en el intervalo y tiene un número finito de puntos de discontinuidad en él, entonces es integrable en él. Teo 7: Primer teorema fundamental del cálculo integral Si f es continua en el intervalo, entonces la función integral es derivable y, además para todo Teo 8: Segundo teorema fundamental del cálculo integral Si f es continua en el intervalo y F(x) es una primitiva de la función f en, entonces,

13 Algunas aplicaciones de la integral definida.

14 En el caso de que f no sea integrable en términos de las funciones fundamentales entonces para calcular el valor del Objeto se emplean métodos numéricos. Regla de los Trapecios Regla de Simpson

15 Primera Extensión del concepto “integral definida” en el sentido de Riemann. Considerar primero: - Remplazar al intervalo unidimensional por intervalos del tipo: - Una función f continua en esos intervalos. Considerar en segundo lugar: - Una función f no acotada sobre el intervalo unidimensional.

16 Segunda Extensión del concepto “integral definida” en el sentido de Riemann. Considerar: - Remplazar al intervalo unidimensional por una región R cerrada y acotada del plano “XY” que llamaremos región de integración. - Reemplazar a la función f de una variable real por una función de dos variables reales definida y acotada sobre R. Def 3 (Definición de integral doble) Si para existe un límite de sumas integrales que no depende del procedimiento empleado para dividir la región R en regiones elementales y elegir los puntos en las regiones elementales, entonces éste se llama integral doble de la función f(x,y) en la región R y se designa por el símbolo:

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18 Tercera Extensión del concepto “integral definida” en el sentido de Riemann. Considerar: - Remplazar al intervalo unidimensional por una región Q cerrada y acotada del espacio que llamaremos región de integración. - Reemplazar a la función f de una variable real por una función de tres variables reales definida y acotada sobre Q. Def 4 (Definición de integral triple) Si para existe un límite de sumas integrales que no depende del procedimiento empleado para dividir la región Q en regiones elementales y elegir los puntos en las regiones elementales, entonces éste se llama integral triple de la función f(x,y,z) en la región Q y se designa por el símbolo:

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20 Cuarta Extensión del concepto “integral definida” en el sentido de Riemann. Considerar: - Remplazar al intervalo unidimensional por un segmento de curva. - Reemplazar a la función f de una variable real por una función vectorial o escalar de dos o de tres variables Def 5 (Definición de integral curvilínea) Si para existe un límite finito de sumas integrales que no depende del procedimiento empleado para dividir la curva C en partes y elegir los puntos, entonces éste se llama integral curvilínea de primer tipo de f(P) a lo largo de la curva C y se designa por el símbolo:

21 Quinta Extensión del concepto “integral definida” en el sentido de Riemann. Considerar: - Remplazar al intervalo unidimensional por una superficie S orientable y acotada contenida en una región W del espacio. - Reemplazar a la función f de una variable real por un campo escalar o vectorial acotado sobre la superficie S. Def 6 (Definición de integral de superficie) Si para existe un límite finito de sumas integrales entonces éste se llama integral de superficie en forma vectorial y se designa por el símbolo: