Dr. Edwin Alfonso Sosa1 Aritmética: Propiedades y operaciones con números reales Fundamentos de álgebra Dr. Alfonso-Sosa.

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1 Dr. Edwin Alfonso Sosa1 Aritmética: Propiedades y operaciones con números reales Fundamentos de álgebra Dr. Alfonso-Sosa

2 Dr. Edwin Alfonso Sosa2 Primera Unidad: Números Reales Subconjuntos de los números Reales Propiedades de los números Reales Orden de operaciones y valor absoluto de un numero real. Aplicaciones

3 Dr. Edwin Alfonso Sosa3 Capacitantes Reconocer los subconjuntos del sistema de los números reales. Clasificar un numero dentro del sistema de números reales. Efectuar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en los números reales. Determinar valor absoluto, potencia y raíz enésima de un numero real.

4 Dr. Edwin Alfonso Sosa4 NUMEROS REALES Conjunto es una colección de objetos. Los elementos de un conjunto se colocan dentro de un par de llaves Conjunto de números naturales REALES IRRACIONALESRACIONALES ENTEROS …-3,-2,- 1,0,1,2,3,… ENTEROS NEGATIVOS …,-3,-2,-1 ENTEROS NO NEGATIVOS 0,1,2,3,… NUMEROS NATURALES 1,2,3,… CERO FRACCIONES NO ENTERAS (POS Y NEG)

5 Dr. Edwin Alfonso Sosa5 Conjunto: Enteros no negativos (números cardinales) Los enteros positivos y el cero conforman el conjunto de los números enteros no negativos. El cero no tiene signo: no es positivo y no es negativo. 0123 Números enteros no negativos

6 Dr. Edwin Alfonso Sosa6 Conjunto: Enteros negativos Los enteros negativos son necesarios para describir situaciones como: Temperatura bajo cero: -10˚ Déficit en una cuenta de banco: -$40 Física: dirección de una fuerza F = -10 N -1 es mayor que el -3

7 Dr. Edwin Alfonso Sosa7 Conjunto Enteros Recta numérica (recta de los números reales) muestra a el conjunto de los enteros -2-30123 Números enteros no negativosNúmeros enteros negativos origen

8 Dr. Edwin Alfonso Sosa8 Conjunto: Números Racionales {Enteros} → {Enteros negativos; enteros no negativos} Para las siguientes situaciones tenemos que incluir fracciones Trabajo: 8 ½ horas Me perdí la mitad (1/2) de la película Costo de un articulo: $1.25 = $ 1 ¼ {Racionales} → {Enteros;fracciones no enteras}

9 Dr. Edwin Alfonso Sosa9 Posición de los números racionales Recta numérica (recta de los números reales) ejemplo de números racionales. origen -2-30123 -3/2 1/2

10 Dr. Edwin Alfonso Sosa10 Def. Numero Racional A un numero real se le llama racional si puede escribirse como el cociente p / q de dos enteros, donde q ≠ 0 (q distinto de cero). Ejemplos

11 Dr. Edwin Alfonso Sosa11 Def. Numero Irracional Los números reales que no pueden escribirse como cocientes de dos enteros se denominan irracionales. Ejemplos La representación de un numero irracional no termina ni se repite. Ejemplos: solo se aproxima

12 Dr. Edwin Alfonso Sosa12 Ejercicio: Determine los números naturales, enteros, racionales e irracionales del siguiente conjunto.

13 Dr. Edwin Alfonso Sosa13 Ejercicio: Determine los números naturales, enteros, racionales e irracionales del siguiente conjunto.

14 Dr. Edwin Alfonso Sosa14 Orden Si el numero real a esta a la izquierda del numero real b sobre la recta numérica, entonces decimos que a es menor que b o de otra manera a < b. -2-3 0123 origen ab

15 Dr. Edwin Alfonso Sosa15 Distancia Si a o b son dos números reales tales que a ≤ b, entonces la distancia entre a y b es: (distancia entre a y b)= b - a -2-30123 origen ab Ex: Determine la distancia entre -3 y -1 Distancia entre -3 y -1 = -1-(-3)=-1+3=2 determine la distancia entre 0 y 4 Distancia entre 0 y 3 = 3 - 0= 3

16 Dr. Edwin Alfonso Sosa16 Ejercicios Ej. 5: Dibuje el siguiente conjunto en una recta numérica. {-1/2,3/4,5/3,7/2} -2-30123 origen 4 -1/23/45/37/2

17 Dr. Edwin Alfonso Sosa17 Diga si es verdadero o falso -2 < -1 -15 ≤ -20 -8 ≤ -(-4); 6 > -(-2) Todo numero racional es un entero. Todo numero entero es un numero racional. Algunos números racionales son irracionales. Algunos números racionales son enteros. Ejercicios Cierto. -2 esta a la izquierda de -1 Falso. -15 esta a la derecha de -20 Cierto. -8 ≤ 4 Cierto 6 > 2 F C F C

18 Dr. Edwin Alfonso Sosa18 Valor absoluto A la distancia entre un numero real a y 0 (el origen) se le llama valor absoluto de a. Un par de barras verticales sirven para indicar el valor absoluto. El valor absoluto de un numero real a se define como la distancia entre a y 0 sobre la recta numérica. Regla Si a ≥ 0 entonces |a|=a. ex: |3|=3 Si a < 0 entonces |a|=-a. ex: |-2|= -(-2)=2

19 Dr. Edwin Alfonso Sosa19 |3|= -|7|= |7-4|= -|-(5-1)|= Simplifique 3 -7 3 - | -4 |= -4

20 Dr. Edwin Alfonso Sosa20 Propiedades de la adición: signos iguales Suma de números reales Primer caso: signos iguales. Para sumar dos números con el mismo signo, deben sumarse sus valores absolutos. El signo de la suma (+ o -) es el mismo que el signo de los dos números. Ej. Para sumar -12 y -8, necesitamos sus valores absolutos |-12|=12 ; |-8|=8 Como ambos tienen signo negativo, usamos la regla anterior. Por lo tanto sumamos los valores absolutos: 12+8=20. Luego dé a la suma el signo de los dos números. Como ambos números son negativos la suma es negativa. -12 + (-8) = -20

21 Dr. Edwin Alfonso Sosa21 Propiedades de la adición: signos diferentes Suma de números reales segundo caso: signos diferentes. Para sumar dos números con signo diferente debe restarse el valor absoluto mas pequeño del mas grande. La suma es positiva si el numero positivo tiene el valor absoluto mas grande. La suma es negativa si el numero negativo posee el valor absoluto mas grande. Ej. Para sumar -17 +11, necesitamos sus valores absolutos |-17|=17 ; |11|=11 Restando 17-11=6 De al resultado el signo del numero con mayor valor absoluto. Por lo tanto, será -6. Conclusión: -17+11= -6

22 Dr. Edwin Alfonso Sosa22 Ejemplos (-6)+(-3)= - (6+3)=-9 (-12)+(-4)= -(12+4)=-16 4+(-1)=3 -9+16=7 -16+12=-4

23 Dr. Edwin Alfonso Sosa23 Sustracción o diferencia de números reales Definición. Para todos los números reales a y b, a - b = a + (-b) O sea cambie el signo del segundo numero y sume. 6 – 8 = 6 + (-8) = -2 Cambie a suma y cambia el signo del segundo numero. Cambie a suma y busque el inverso aditivo.

24 Dr. Edwin Alfonso Sosa24 Ejemplos -12 – 4 = -12 + (- 4) = -16 Cambia a suma Signo cambiado (inverso aditivo) -10 – (-7) = -10 + 7= - 3 Cuando se resuelve un problema con sumas y restas, las sumas y las restas se realizan en orden de izquierda a derecha. 15 – (-3) – 5 – 12 = 15 + 3 + (-5) + (-12) = = (15 + 3) + (-5) + (-12) = 18 + (-5) + (-12) = = (18 + (-5) ) + (-12) = = 13 + (-12) = 1

25 Dr. Edwin Alfonso Sosa25 Multiplicación de números reales Razonamiento Inductivo 4 5 = 20 4 4 = 16 4 3 = 12 4 2 = 8 4 1 = 4 4 0 = 0 4 (-1) = ? = -4

26 Dr. Edwin Alfonso Sosa26 Multiplicación de números reales Razonamiento Inductivo 4 (-1) = -4 4 (-2) = -8 4 (-3) = -12 4 (-4) = -16 De la misma manera -4 2 = -8 -4 3 = -12 -4 4 = -16

27 Dr. Edwin Alfonso Sosa27 Multiplicación de números reales Caso 1: signos iguales. Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo. Caso 2 : signos diferentes. Para multiplicar dos números con signos diferentes, multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo. Ejemplos - 9 7= -63 -14 (-5) = 70 -8 (-4) = 32

28 Dr. Edwin Alfonso Sosa28 División de números reales El resultado que se consigue al dividir dos números reales se conoce con el nombre de cociente. Para números reales a, b y c, donde b ≠ 0, a/b= c significa que a=b c. Para ilustrar esto, considere.

29 Dr. Edwin Alfonso Sosa29 División de números reales Signos iguales. Para dividir dos números con el mismo signo, deben dividirse sus valores absolutos. El cociente es positivo. Signos diferentes. Para dividir dos números con signos diferentes, hay que dividir sus valores absolutos. El cociente es negativo.

30 Dr. Edwin Alfonso Sosa30 División con cero Si 0 se divide entre un numero diferente de cero, el cociente es 0. Siempre que se realiza una división, queremos obtener un solo cociente. ¿Que numero multiplicado por cero resulta en 7? ¿Que numero multiplicado por cero resulta en 0? NINGUNO NUMERO INFINITO DE RESPUESTAS DIVISION ENTRE 0 NO ESTA DEFINIDA

31 Dr. Edwin Alfonso Sosa31 Exponentes enteros positivos Sea n un entero positivo y a un numero real. Entonces el producto de n factores de a esta dado por a n = a a a … a. BASE Exponente

32 Dr. Edwin Alfonso Sosa32 Ejemplo: Calculo de expresiones exponenciales Cuidado (-a ) n ≠ -a n (-3) 4 =(-3)(-3)(-3)(-3) = 81 -3 4 = - (3)(3)(3)(3) = - 81 - (-3) 4 = - (-3)(-3)(-3)(-3) = - 81

33 Dr. Edwin Alfonso Sosa33 Orden de las operaciones Si hay paréntesis o corchetes: Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado. Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis o corchetes. Inicie con el conjunto mas interno y trabaje hacia fuera.

34 Dr. Edwin Alfonso Sosa34 Orden de las operaciones Si hay paréntesis o corchetes: Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado. Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis o corchetes. Inicie con el conjunto mas interno y trabaje hacia fuera. Si no hay paréntesis o corchetes Paso 1: aplique todos los exponentes Paso 2: Haga las multiplicaciones o divisiones en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha. Paso 3: Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha.

35 Dr. Edwin Alfonso Sosa35 Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales Para los números reales, a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades. Propiedades de cierre Si a y b son números reales, entonces a + b y ab son números reales.

36 Dr. Edwin Alfonso Sosa36 Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales Propiedades conmutativas a + b = b + a ab = ba Ej. 4 + (3 + 9) = 4 + (9 + 3) 4 + 12 = 4 + 12 16 = 16 4(5)=5(4)=20

37 Dr. Edwin Alfonso Sosa37 Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales Propiedades asociativas (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) Ej. 5 + (6 + 8) = (5 + 6) + 8 (52)3 = 5(23)=30

38 Dr. Edwin Alfonso Sosa38 Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales Propiedades distributiva de la multiplicación con respecto a la suma a(b+c) = ab + ac (b+c)a = ba + ca Ej. 5(x + y) = 5x + 5y

39 Dr. Edwin Alfonso Sosa39 Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales Propiedades de la identidad Existe un numero real 0 tal que a + 0 = a y 0 + a = a Existe un numero real 1, tal que a 1= a y 1 a = a Ej. 8 + 0 = 8

40 Dr. Edwin Alfonso Sosa40 Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales Propiedad del inverso aditivo: La suma de un numero real y su opuesto es cero. a + (-a) =0 Ej. 5 + (-5) =0 Propiedad del inverso multiplicativo: El producto de un numero real diferente de cero y su reciproco es 1. a 1/a = 1, a ≠ 0

41 Dr. Edwin Alfonso Sosa41 Ejercicios Identifique la propiedad ilustrada en cada una de las siguientes proposiciones. 6 + 9 = 9 + 6 7 + (2 + 5) = (7 + 2 ) + 5 9 6 + 9 8 = 9 (6 + 8) Conmutativa de la suma Asociativa de la suma distributiva

42 Dr. Edwin Alfonso Sosa42 Ejercicio b + 2 = 6 Ecuación dada (b + 2) + (-2) = 6 + (-2) Propiedad aditiva de Igualdad b + [2 + (-2)] =4 Propiedad asociativa de la suma b + 0 = 4 Propiedad del inverso aditivo b = 4 Propiedad de identidad aditiva

43 Dr. Edwin Alfonso Sosa43 Aplicaciones El record de temperatura mas alta, de 134˚F, en Estados Unidos fue registrado en el Valle de la Muerte, California, en 1913. El record de temperatura mas baja fue de – 80 ˚F en Prospect Creek, Alaska, en 1971. ¿Cual es la diferencia entre la temperatura mas alta y la mas baja? 134 – (-80) = 134 + 80 = 214 La diferencia es 214 ˚F

44 Dr. Edwin Alfonso Sosa44 Aplicaciones El área del rectángulo de la figura puede representarse de dos formas: como el área de un solo rectángulo, o como la suma de dos rectángulos. Encuentre el área de ambas formas. A1A1 A2A2 3 2x