Reales e Inecuaciones PROFESORA: LUZ GONZÁLEZ SOZA.

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1 Reales e Inecuaciones PROFESORA: LUZ GONZÁLEZ SOZA

2 Números Reales LUZ GONZÁLEZ SOZA 2

3 Orden en los Reales LUZ GONZÁLEZ SOZA 3 Intervalo real es el conjunto de números correspondientes a una parte de la recta numérica, así un intervalo es un subconjunto de los números reales INTERVALOS

4 Inecuaciones de segundo grado (Introducción) LUZ GONZÁLEZ SOZA 4 Eje Real Signo de una expresión

5 LUZ GONZÁLEZ SOZA 5

6 Inecuaciones de segundo grado LUZ GONZÁLEZ SOZA 6

7 7 Inecuaciones de segundo grado

8 Inecuaciones racionales LUZ GONZÁLEZ SOZA 8

9 Inecuaciones racionales LUZ GONZÁLEZ SOZA 9

10 “Frases claves” Revisemos algunas frases que es posible representar como ecuaciones e inecuaciones, para ello consideremos el siguiente ejemplo: Se nos entregará un bono para fiestas Patrias y nos informan: LUZ GONZÁLEZ SOZA 10 Frase Lenguaje matemático El bono será superior a 50 mil pesosBono > 50.000 El bono será inferior a 50 mil pesosBono < 50.000 El bono será de al menos 50 mil pesosBono ≥ 50.000 El bono será de a lo más 50 mil pesosBono ≤ 50.000 El bono será de 50 mil pesosBono = 50.000 Nota: lo importante es interpretar la frase en el mimo orden en que se lee……

11 Ejemplo: Ojo con la Solución¡¡¡¡ LUZ GONZÁLEZ SOZA 11

12 Ejemplo: La función C(X)=20-0,06X+0,0002X 2, representa el costo (dólares) de producir X unidades de cuadernos. ¿Cuántas unidades deberán producirse para que el costo sea de a lo más 19,42 dólares? LUZ GONZÁLEZ SOZA 12

13 La expresión C(q)=800+75q representa el costo (dólares) de producir q unidades de calendarios de viaje por semana. a)¿Determine el costo de producir 20 calendarios? C(20)=800+75*20=2300 R: el costo de producir 20 calendarios semanales es de US$2300 b)¿Cuántas unidades deberían venderse a la semana si se desea obtener un costo de a lo más $8.300? C(q)<=8300  800+75q<=8300 75q<=8300-800 75q<=7500 q<=100  Sol. Matemática Sol. Contextualizada R: se debe producir 100 o menos unidades….. 3. LUZ GONZÁLEZ SOZA 13

14 Funciones Reales- Parte I LUZ GONZÁLEZ SOZA

15 X>0 Y>0 X<0 Y>0 X<0 Y<0 X>0 Y<0 q>0 p>0 q<0 p>0 q<0 p<0 q>0 p<0

16 LUZ GONZÁLEZ SOZA 16 Producto cartesiano Consideremos dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) en donde x ∈ A e y ∈ B se llama producto cartesiano de A y B. A x B = {(x, y) / x ∈ A, y ∈ B}. Observación: El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A; Ejemplos: 1.Dados los conjuntos A = {a, b} y B = {1, 2}, se tiene: A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} B x A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}, 2.Dados los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, determine AxB: A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

17 LUZ GONZÁLEZ SOZA 17 La representación gráfica de AxB del ejemplo anterior con A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, es: A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} diagrama cartesiano diagrama Sagital Observación: #A x B = #A*#B #B x A = #B*# A

18 LUZ GONZÁLEZ SOZA 18 Relaciones Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un subconjunto del producto cartesiano AxB, compuesto por pares de elementos que cumplen cierta regla definida. Notación: 1. R : A  B 2. x R y 3. ( x, y )  R x  y Ejemplo 1: Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 6} y determine la relación R:A  B definida por R = {(x, y)  AxB / x  y} Resp: i. Calculando AxB= {(1,1) (1,3) (1,5) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5) (2,6) (3,1) (3,3) (3,5)(3,6) (4,1) (4,3) (4,5) (4,6) (5,1) (5,3) (5,5) (5,6)} ii. R = {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)}

19 LUZ GONZÁLEZ SOZA 19 Ejemplo 2: Dados los conjuntos: A = {-1, 0, 1} B = {0, 1, 2} y determine la relaciones definidas de A en B definida por: a) R1 = {(x, y)  AxB / x 2 = y} b) R2 = {(x, y)  AxB / x +y >0} c) R3 = {(x, y)  AxB / x > y} Solución: I.Calculando AxB= {(-1,0) (-1,1) (-1,2) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)} II.Determinando cada una de las relaciones: a)R1 = {(x, y)  AxB / x 2 = y}= {(-1,1) (0,0) (1,1)} b)R2 = {(x, y)  AxB / x +y >0} = {(-1,2) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)} c)R3 = {(x, y)  AxB / x > = y} = {(1,0) (1,1)}

20 LUZ GONZÁLEZ SOZA 20 Dominio y Recorrido de una Relación Sea R: A  B una relación, se define: Dominio de la relación como el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado: Dom R = { x ∈ A / (x,y) ∈ R} Recorrido (o Imagen) de una relación, es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. Rec R = Im R = { y ∈ B / (x,y) ∈ R} Nota: Dom R  A Rec R  B

21 LUZ GONZÁLEZ SOZA 21 Ejemplo 3: Determine Dominio y Recorrido para cada una de las siguientes relaciones, considerando : A = {-1, 0, 1} B = {0, 1, 2} : a)R1 = {(x, y)  AxB / x 2 = y} b)R2 = {(x, y)  AxB / x +y >0} c) R3 = {(x, y)  AxB / x > y} Solución: a)R1 = {(x, y)  AxB / x 2 = y}= {(-1,1) (0,0) (1,1)} Dom R1 = {x  A /(x,y)  R} = {-1, 0, 1} Rec R1 = {y  B /(x,y)  R} = { 0, 1} b) R2 = {(x, y)  AxB / x +y >0} = {(-1,2) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)} Dom R2 = {x  A /(x,y)  R} = { -1, 1, 0} Rec R2 = {y  B /(x,y)  R} = { 0, 1, 2} c) R3 = {(x, y)  AxB / x > = y} = {(1,0) (1,1)} Dom R3 = {x  A /(x,y)  R} = { 1} Rec R3 = {y  B /(x,y)  R} = { 0, 1}

22 LUZ GONZÁLEZ SOZA 22 A B FUNCIONES : Dada una relación f : A  B, esta relación es función si y sólo sí cada elemento de A tiene imagen única en B. En símbolos 1.cada elemento del Dominio tiene una única imagen 2. NO puede ocurrir¡

23 Ejemplo: En los siguientes gráficos sagitales, determine cuales son o no función: En los siguientes gráficos cartesiano, determine cuales son o no función: LUZ GONZÁLEZ SOZA 23

24 Evaluación de Funciones Es necesario tener claro la importancia de evaluar funciones, ya que permite determinar la imagen o preimagen de un elemento cualquiera. Ejemplo: Si f(x) = 4x + 5, entonces f(3) = 4*3 + 5 = 12 + 5 = 17 ; esto indica que: 17 es la imagen de 3 y que 3 es la preimagen de 17 bajo la función “f”. f(a) = 4a + 5 ; Aquí : la imagen de “a” bajo “f” es “4a + 5”. f(-6) = LUZ GONZÁLEZ SOZA 24

25 LUZ GONZÁLEZ SOZA 25

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27 LUZ GONZÁLEZ SOZA 27 Ejemplo

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29 Dominio de una función Dominio y de Recorrido de una función Funciones Polinómicas Funciones Racionales LUZ GONZÁLEZ SOZA 29 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto cuyos elementos hacen que la función esté bien definida, en otras palabras, es el conjunto de las preimagenes (son todos los elementos que tiene imagen)

30 Funciones Irracionales LUZ GONZÁLEZ SOZA 30

31 Recorrido de una función LUZ GONZÁLEZ SOZA 31 RECORRIDO DE UNA FUNCION Es el conjunto formado por todas las imágenes de la función.

32 Recorrido de una función LUZ GONZÁLEZ SOZA 32

33 LUZ GONZÁLEZ SOZA 33 FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS (o ramas, o tramos) Existen funciones definidas por tramos o intervalos que permiten mezclar las funciones básicas y que son de gran utilidad en la matemática que estudiarás en los cursos superiores. Ejemplo : Encuentre: 1.f(-10) = 2.f(3) = 3.f(0) =

34 LUZ GONZÁLEZ SOZA 34 Ejemplo : Sea f: IR  IR, definida por: Encuentre: 1.f(-10) = 2.f(-3) = 3.f(0) =

35 Función Compuesta Definición: Sean f y g dos funciones tales que: f: A  B y g : B  C, la expresión gof : A  C será función si y sólo si Rec f  B. (f o g) (x) = f( g(x) ) (g o f) (x) = g( f(x) ) LUZ GONZÁLEZ SOZA 35

36 LUZ GONZÁLEZ SOZA 36 a b c 1 2 3 4 e f g fg Calculamos: 1.(g o f)(a) = g (f(a)) = g(1) = e 2.(g o f)(b) = g (f(b)) = g(1) = e 3.(g o f)(c) = g (f(c)) = g(3) = f Ejemplo Sean

37 LUZ GONZÁLEZ SOZA 37

38 Función Compuesta (continuación) LUZ GONZÁLEZ SOZA 38

39 LUZ GONZÁLEZ SOZA 39 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES FUNCIONES INYECTIVAS ( uno a uno) Una función f : A  B se dice inyectiva o uno a uno ssi Si f(a) = f(b)  a = b Es decir, a imágenes guales le corresponden preimagenes iguales : Ejemplo:

40 LUZ GONZÁLEZ SOZA 40 Definición: FUNCION BIYECTIVA Son aquellas funciones que son inyectivas y sobreyectivas simultáneamente.

41 Función Inversa Definición: Sea función biyectiva entonces existe la función inversa representada por, la que cumple con las siguientes condiciones: LUZ GONZÁLEZ SOZA 41

42 Función Inversa (continuación) Para obtener f -1 considere: 1Despejar x de la expresión y = f(x) 2Intercambiar las variable y por x para obtener. LUZ GONZÁLEZ SOZA 42 2.

43 Función Inversa (continuación) LUZ GONZÁLEZ SOZA 43 2. 1.

44 LUZ GONZÁLEZ SOZA 44 Ejemplo: Dadas las funciones reales definidas por los siguientes gráficos, determina cuáles poseen función inversa.

45 Intersecciones con ejes cartesianos Intersección eje X (corte sobre eje de abscisas) Si una función f(x) corta al eje OX,. Por lo tanto los puntos tendrán la forma: (x,0). Intersección eje Y (corte sobre eje de ordenadas) Si una función f(x) corta al eje OY,. Por lo tanto los puntos tendrán la forma: (0,y) Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 45

46 i. Se dirá que una función es par (o simétrica con respecto al eje de ordenadas): si cumple con f(-x) = f(x) para todo x en su dominio. ii. Se dirá que una función es impar (o simétrica con respecto al origen de coordenadas): si cumple con f(-x) =- f(x) para todo x en su dominio Ejemplo: f(x)= x 4 representa una función par comprobación: f(-x) = (-x) 4 = x 4 = f(x) Ejemplo: f(x)= x 5 representa una función impar comprobación: f(-x) = (-x) 5 = -x 5 = -f(x) LUZ GONZÁLEZ SOZA 46 Simetría (o paridad) Identificaremos dos tipos de simetría (o paridad).

47 Monotonía de funciones Se utiliza el término monotonía para referirse indistintamente a una función creciente o decreciente. LUZ GONZÁLEZ SOZA 47 Función creciente y decreciente

48 Máximos y mínimos de funciones 1.Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor más alto de su representación gráfica. 2.Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de su representación gráfica. 3.Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de creciente a decreciente. 4.Una función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de decreciente a creciente. Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 48 Extremos absolutos y relativos de una función.

49 Operaciones con funciones Suma de funciones: Dadas dos funciones f y g, la función suma f+g es: (f+g)(x)=f(x)+g(x) con x Dom(f) Dom(g) Resta de funciones: Dadas dos funciones f y g, la función resta f-g es: (f-g)(x)=f(x)-g(x) con x Dom(f) Dom(g) Producto de funciones: Dadas dos funciones f y g, se define la función producto f.g como: (f.g)(x) = f(x). g(x) con x Dom(f) Dom(g) Producto de un número real por una función: El producto de un número real "k" por una función "f" es una función "k.f" tal que a cada valor "x" le asocia k veces el valor que le corresponde mediante f; es decir: (k.f)(x) = k.f(x) con x Dom(f) Cociente de funciones: Dadas dos funciones f y g, se define la función cociente f/g como: siendo g(x) 0 y x Dom(f) Dom(g) LUZ GONZÁLEZ SOZA 49

50 Funciones Reales- Parte II LUZ GONZÁLEZ SOZA

51 Que estudiaremos? LUZ GONZÁLEZ SOZA 51

52 Que estudiaremos? (…continuación) LUZ GONZÁLEZ SOZA 52

53 LUZ GONZÁLEZ SOZA 53 Resumen

54 Ejemplos: Graficando función lineal conocidos los valores de m y n. Grafique las rectas: g(x) = -3x – 4  m= f(x) = 2x +1  m= n = n = p = -q +300  m= p = 10q+20  m= n= n= LUZ GONZÁLEZ SOZA 54 x y x y qq p p

55 Ejemplos: Calculando la pendiente de la función lineal que pasa por los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2). LUZ GONZÁLEZ SOZA 55 a.A(-1,2) y B(2,-1) b.A(1, -3) y B(2,-1)

56 Determinación de función lineal: Ejemplos LUZ GONZÁLEZ SOZA 56

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58 Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 58

59 LUZ GONZÁLEZ SOZA 59 Ejemplo:

60 LUZ GONZÁLEZ SOZA 60

61 LUZ GONZÁLEZ SOZA 61 Resumen

62 LUZ GONZÁLEZ SOZA 62

63 Ejemplo: Determinación del vértice, cortes de ejes y gráfico y = −x² + 4x − 3  a= -1 b= 4 c= -3 a) Vértice V(2, 1) b) Cortes de ejes i. Puntos de corte con el eje X (y=0). -x² +4x - 3 = 0 /*(-1) x² -4x + 3 = 0  x=3 o x=1 ii. Punto de corte con el eje Y (x=0). y = −x² + 4x − 3 y = 0² + 4*0 − 3 y = − 3 LUZ GONZÁLEZ SOZA 63

64 Ejemplo: Determinación del vértice, cortes de ejes y gráfico y = x² + 2x + 1  a= 1 b= 2 c= 1 a) Vértice V(-1, 0) b) Cortes de ejes i. Puntos de corte con el eje X (y=0). x² + 2x + 1= 0  x=-1  (-1, 0) ii. Punto de corte con el eje Y (x=0). y= x² + 2x + 1 y= 0² + 2*0 + 1 y=0  (0, 1) LUZ GONZÁLEZ SOZA 64

65 Solución Ejemplo de aplicación Solución b) Gráfico

66 Ejemplo (continuación)

67 Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 67

68 Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 68

69 Resumen LUZ GONZÁLEZ SOZA 69

70 Representación de la función exponencial 1. 2. LUZ GONZÁLEZ SOZA 70 x−3−2−10123 f(x) =(2/5) x 15.6256.252.510.40.160.064 x−3−2−10123 f(x) = 3 x 1/271/91/313927

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72 Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 72

73 Ejemplo: Interés compuesto Una persona invierte $1.000 a una tasa de interés compuesto mensual del 10%, durante un periodode tres meses. Determine el monto a retirar luego de transcurrido el tiempo. LUZ GONZÁLEZ SOZA 73 012 3 10% $1.000 $1.100 $1.331 $1.210 Fórmula

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75 Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 75

76 Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 76

77 LUZ GONZÁLEZ SOZA 77 Resumen

78 Definición de logaritmo como potencia LUZ GONZÁLEZ SOZA 78 Ejemplo determine x en cada uno de los siguientes ejemplos:

79 LUZ GONZÁLEZ SOZA 79

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81 LUZ GONZÁLEZ SOZA 81

82 Ejemplo: LUZ GONZÁLEZ SOZA 82

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84 LUZ GONZÁLEZ SOZA 84