Detectando Cuerpos Extraños Inmersos en un Torrente

Presentación del tema: "Detectando Cuerpos Extraños Inmersos en un Torrente"— Transcripción de la presentación:

1 Detectando Cuerpos Extraños Inmersos en un Torrente
Carlos Conca Rosende Departamento de Ingeniería Matemática y CMM, UMR 2071 CNRS-UChile Universidad de Chile 16 de Mayo de 2007 Charlas en la Academia Chilena de Ciencias Los Miércoles en la Academia

2 Problema Modelo

3 Restricciones Geométricas (Sólidos Admisibles)
D al interior de Ω D convexo Complemento de D conexo Borde de D “suave”

4 ¿Qué es un Problema o Modelo Inverso?
ax b = x = - + Þ a [ ] 1 x 2 + bx + c = Þ x = - b b 2 - 4 c 1 , 2 2

5 Problema Inverso: Caso Lineal
= Þ = - ax + b x ax + b = Þ b - ax =

6 Problema Inverso con 1 Medición (x1)
[ ] 1 [ ] x = - b + b 2 - 4 c Þ c = - x x + b 1 2 1 1 1 [ ] [ ] 1 x 2 c + x = - b + b 2 - 4 c Þ b = - 1 1 2 x 1

7 Problema Inverso con 2 Mediciones (x1, x2)
] 1 [ x = - b + b 2 - c 4 1 2 [ ] 1 x = - b  b 2 - 4 c 2 2 Luego, ) ( x x c x x b = - + , = × 1 2 1 2

8 Preguntas Relevantes (I)
Sean (V,P) los campos de velocidad y presión que alcanza el fluido en la región Ω, en presencia de un cuerpo rígido D, cuando es estimulado sobre el borde con una velocidad fija w, conocida. Denotaremos por ∑ la presión P del fluido sobre la parte del borde donde se hacen las mediciones (m, en la figura). Ciertamente, ∑ = ∑ (D,w)

9 Preguntas Relevantes (II)
1. Identificabilidad Se trata de estudiar propiedades de injectividad del mapeo ∑ , en particular, de responder a la pregunta: Si ∑1  ∑2 entonces ¿ es D1  D2 ? 2. Estabilidad Se trata de estudiar propiedades de continuidad de la inversa del mapeo ∑, en particular, Si tenemos dos medidas ∑1 y ∑2, cercanas, entonces ¿ es D1 cercano a D2 ? 3. Reconstrucción Computacional de D, a partir de ∑

10 Aplicaciones Pareciera ser un campo ilimitado en aplicaciones; se encuentran en todas las ciencias Imágenes médicas (técnicas no invasivas): Tomografía, Espectrografía (ultrasonido), Escaners (resonancia magnética), … Técnicas no-destructivas de evaluación de materiales y piezas de maquinaria, detección de fallas, fisuras (ciencias de los materiales) Problemas de origen industrial: Detección de fuentes de contaminación, prospecciones meteorológicas (Geofísica), … Métodos naturales y artificiales de reconocimiento de imágenes

11 (Fundador de la Teoría)
Elementos de Historia (Fundador de la Teoría) Alberto P. Calderón ( – )

12

13 Equipo de Investigación
Catalina Alvarez (CMM, Universidad de Chile) Luis Friz (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán) Otared Kavian (Universidad de Versailles) Rodrigo Lecaros (IM2; doctorando DIM) Jaime Ortega (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán)

14 Experiencias de Laboratorio

15 Teorema Principal Teorema (Identificabilidad)
Sea Ω un región acotada en 2 o 3 dimensiones espaciales, y sean D1, D2, dos cuerpos rígidos admisibles. Denote ∑1 (resp., ∑2) la presión del fluido medida sobre m, en presencia del cuerpo D1 (resp., D2). Luego, Si ∑1 = ∑2 entonces D1=D2

16 Reconstrucción Numérica de Cuerpos Esféricos y Elipsoidales

17 Caso de un Cuerpo Esférico

18 Caso de un Cuerpo Elipsoidal

19 Generalizaciones Varios cuerpos Régimen no-estacionario, de evolución
Colisiones (con el borde, entre cuerpos)

20 Kiss & Go

21 Mickey’s Reconstruction