ECUACIONES LOGARITMICAS

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1 ECUACIONES LOGARITMICAS
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta: 1Las propiedades de los logaritmos. 1 2 3 4 5 6 7 ECUACIONES LOGARITMICAS En las ecuaciones logarítmicas la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta Definición 𝒙 = log 𝒃 𝒂  𝒃 𝒙 =𝒂 log 𝒃 𝒃 =𝟏 log 𝒃 𝟏 =𝟎 log 𝒃 𝒃 𝒏 =𝒏 Propiedades log 𝑏 𝑋.𝑌 = log 𝑏 𝑋 + log 𝑏 𝑌 log 𝑏 𝑋 𝑌 = log 𝑏 𝑋 − log 𝑏 𝑌 log 𝑏 𝑋 𝑛 = 𝑛 log 𝑏 𝑋 log 𝑏 𝑛 𝑋 = 1 𝑛 log 𝑏 𝑋 Propiedad cancelativa log 𝒃 𝑿 = log 𝒃 𝒀  X=Y IMPORTANTE: Tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos

2 Estrategias de resolución
ogartmos. Estrategias de resolución de haber cancelado los logaritmos Primer Caso: Aplicar la propiedad cancelativa, para luego resolver la ecuación que resulte después 𝑙𝑜𝑔 (16− 𝑥 2 ) = 𝑙𝑜𝑔 3𝑥−4 2 Cuadrado de binomio 16− 𝑥 2 = 3𝑥−4 2 16− 𝑥 2 = 3𝑥 𝑥 −4 + −4 2 Resulta una ecuación cuadratica que se puede resolver por fórmula 16− 𝑥 2 = 9𝑥 2 −24𝑥 +16 0 = 10𝑥 2 −24𝑥 Verificación: los logaritmando deben ser «positivos» 16− 𝑥 2 para 𝑥=0 es + igual que para x = 𝑥−4 2 es siempre + a= b= c=0 𝑥 1,2 = 24± −  𝑥 1 =0 𝑦 𝑥 2 = = 12 5

3 Estrategias de resolución
Segundo Caso: Reducir a un solo logaritmo en cada miembro para así poder aplicar la propiedad cancelativa Suma de logaritmo es igual al logaritmo del producto Los números que multiplican el logaritmo son el exponente del logaritmando 𝑙𝑜𝑔 2 + 𝑙𝑜𝑔 11− 𝑥 2 = 2𝑙𝑜𝑔 5−𝑥 𝑙𝑜𝑔 [ − 𝑥 2 ]= 𝑙𝑜𝑔 5−𝑥 2 2 11− 𝑥 2 = 5−𝑥 2 Al cancelar los logaritmos queda planteada una distributiva en el primer miembro y un cuadrado de binomio en el segundo 22−2 𝑥 2 = 25−10𝑥+𝑥 2 0= 25−22−10𝑥+𝑥 2 +2 𝑥 2 0= 3−10𝑥+3𝑥 2 La ecuación cuadrática es completa, se resuelve por fórmula 𝑥 1,2 = 10± (− 10) 2 −  𝑥 1 =3 𝑦 𝑥 2 = 1 3 Verificación:

4 Estrategias de resolución
Log 3(x2-16) = 2                          log 𝑥 2 +15𝑥+10 − log 2 𝑥+2 =2 Tercer Caso: Si el logaritmo esta igualado a un número, Se aplica definición log 𝑏 𝑎 =𝑛 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑏 𝑛 =𝑎 log 𝑥 2 +15𝑥+10 𝑥+2 =2 3 2 = 𝑥 2 −16 2 2 = 5𝑥 2 +15𝑥+10 𝑥+2 9= 𝑥 2 −16 Una vez 𝑎plicada la definición la ecuación que resulta cambia. En este caso resulta cuadrática incompleta 9+16= 𝑥 2 4 𝑥+2 = 5𝑥 2 +15𝑥+ 10 25= 𝑥 2 4𝑥+8=5 𝑥 2 +15𝑥+ 10 25 = 𝑥 0= 5𝑥 2 +15𝑥−4𝑥+ 10 −8 0= 5𝑥 2 +11𝑥+ 2 5= 𝑥 𝑥 1,2 = −11± (1 1) 2 −  𝑥 1 =−2 𝑦 𝑥 2 =− 1 5 𝑥=−5 𝑥=5   𝑥 1 =−2no es una solución válida porque hace que los logaritmandos sean 0. La única solución de la ecuación logarítmica es  𝑥 2 =− 1 5 Son válidas las dos soluciones

5 Estrategias de resolución
ogartmos. Estrategias de resolución Cuarto Caso: los logaritmos que intervienen son de distinta base 𝑙𝑜𝑔 (16− 𝑥 2 ) = 𝑙𝑜𝑔 3𝑥−4 2 Cuadrado de binomio 16− 𝑥 2 = 3𝑥−4 2 16− 𝑥 2 = 3𝑥 𝑥 −4 + −4 2 Resulta una ecuación cuadratica que se puede resolver por fórmula 16− 𝑥 2 = 9𝑥 2 −24𝑥 +16 0 = 10𝑥 2 −24𝑥 Verificación: los logaritmando deben ser «positivos» 16− 𝑥 2 para 𝑥=0 es + igual que para x = 𝑥−4 2 es siempre + a= b= c=0 𝑥 1,2 = 24± −  𝑥 1 =0 𝑦 𝑥 2 = = 12 5

6 Estrategias de resolución
Quinto Caso: en la ecuaciones que el logaritmo aparece elevado al cuadrado Lo que se acostumbra es hacer un cambio de variable Se elije una variable 𝒁 se le asigna el logaritmo que aparece en la ecuación 𝑙𝑜𝑔 (𝑥+1) +2 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥+1 =8 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝒙+𝟏 2 +𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝒙+𝟏 − 8=0 𝒁= 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝒙+𝟏 𝑎= 1 𝑏= 2 𝑐=−8 𝒁 2 +2𝒁−8= 0 Resulta una ecuación cuadratica que se puede resolver por fórmula 𝑍 1,2 = −2± −4.1.(−8) 2.1  Los valores obtenidos son de la variable 𝒁 Se reemplaza a esta por el logaritmo que se le asigno y se resuelven las ecuaciones que resultan de esta sustitución 𝑍 1 =2 𝑍 1 =−4 𝑙𝑜𝑔 3 (𝑥+1)=2 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥+1 =−4 3 2 =x+1 3 −4 =x+1 Verificar: los logaritmando resulten «positivos» para los valores hallados 𝑥=− 80 81 𝑥=8