Array Signal Processing

Presentación del tema: "Array Signal Processing"— Transcripción de la presentación:

1 Array Signal Processing
EE7780 Array Signal Processing Class p1c2: El proceso de beamforming. Delay and sum beamformer. Potencias y la matriz de correlación. Problemas para la segunda semana. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 1

2 Beamforming El objetivo de array signal processing es obtener la información de la SOI que está en s(t). Para ello se aplica un vector de pesos v al vector de la señal de entrada del beamformer u(t), obteniendo la salida del beamformer. donde el vector de pesos es: 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 2

3 Beamforming Es necesario aclarar los conceptos array y beamformer.
El array es la configuración de elementos con una geometría determinada. La salida del array se compone de las salidas de los elementos, tal y cual se miden desde los sensores. Las salidas se agrupan en un vector de salida de array u(t). El beamformer es un sistema que opera con las señales procedentes del array para obtener una señal de salida deseada. Para obtener la salida deseada, se aplicará a la señal de cada sensor un coefficiente o peso. Agrupando los coeficientes en un vector, obtenemos el vector de pesos v. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 3

4 Beamforming La siguiente figura muestra la salida del array u y el beamformer (NarrowBand beamformer) con los pesos aplicados a cada señal procedente de cada sensor. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 4

5 Beamforming La salida del beamformer se puede descomponer en la salida de la SOI, las interferencias y el ruido: zs(t)=s(t)vHs0 . zn(t)=vH n(t) El objetivo es eliminar la interferencia y el ruido y obtener z(t)=s(t) Para ello se deben satisfacer tres condiciones: zs(t)= s(t)vHs0=s(t), o lo que es lo mismo vHs0=1. 0= zi(t) 0= zn(t) 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 5

6 Beamforming Si consideramos en el proceso de beamforming la primera condición, la solución para el vector de pesos v se denomina Delay-and-sum. Veamos, La primera condición impuesta a los pesos es: zs(t)= s(t)vHs0=s(t), o lo que es lo mismo vHs0=1. Debemos usar las matemáticas para resolver este problema. Repaso de vectores: Sea un vector genérico s0; se puede probar que el producto interno s0Hs0=|s0|2 donde s0H es el conjugado transpuesto de s0 y |s0|2 es el cuadrado de la norma del vector (o magnitud). 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 6

7 Beamforming En nuestro caso en particular el vector s0 es el steering vector, con expresión general: Aplicando la propiedad matematica que dicta: Entonces s0Hs0=K, ya que estamos sumando K veces 1 como veremos a continuación: 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 7

8 Beamforming 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 8

9 Beamforming Como resultado de esta operación, concluimos que el cuadrado de la norma del steering vector de cualquier array es el número de elementos. Por tanto: 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 9

10 Beamforming El resultado s0Hs0=K lo utilizaremos para conseguir el vector de pesos delay-and-sum. Debido a que la condición que queremos imponer es: vHs0=1 y que matemáticamente se cumple s0Hs0=K. Inteligentemente podemos comparar las expresiones: 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 10

11 Delay-and-sum Y obtener la expresión del vector de pesos delay-and-sum de esta manera: Ya que satisface la condición impuesta: El nombre delay-and-sum significa que los pesos contrarrestan la diferencia de fase con que llega la señal a cada sensor ( ), para así sumar las señales coherentemente (en fase) y obtener salida máxima. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 11

12 Delay-and-sum La condición impuesta para el vector de pesos impone solamente que la SOI (señal de interés) no se vea atenuada ni amplificada: zs(t)= s(t)vHs0=s(t). Pero no impone ninguna condición con respecto a la interferencia y el ruido. Uno se puede preguntar, cual será la salida del beamformer a la interferencia y el ruido: Vamos a responder a esta interesante pregunta: 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 12

13 Delay-and-sum Cuando se usa como vector de pesos la solución Delay-and-sum , la respuesta del array a la interferencia y al ruido es respectivamente: Con respecto a las interferencias, el producto interno vHii no será en general cero, excepto en los pocos casos en que los vectores v e il sean ortogonales. Con respecto al ruido, el producto interno vHn(t) en general no será cero, ya que n(t) es un random vector. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 13

14 Potencias y Matriz R Otra alternativa para encontrar el vector de pesos del beamformer es minimizar la varianza o potencia estadística a la salida del beamformer, sin atenuar la señal de interes (SOI). Para ello es necesario definir las potencias a la entrada y salida del beamformer. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 14

15 Potencias y Matriz R El vector de salida del array y entrada al beamformer es: Cada uno de los tres sumandos representa la parte correspondiente a la señal de interés, las interferencias y el ruido termal. Vamos a considerar la potencia de cada uno de los términos. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 15

16 Potencias y Matriz R La (matriz de) potencia debido a (al vector de) la señal de interés es definida como el valor esperado de la magnitud al cuadrado del vector, Donde en esta expresión hemos usado varias propiedades matemáticas: Potencia de la señal recibida en un sensor: Potencia de un vector o matriz de correlación: Nótese que la potencia de un vector es una matriz que relaciona la correlación (potencia) entre cada elemento del vector y todos los demás, por eso es una matriz KxK. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 16

17 Potencias y Matriz R La (matriz de) potencia debido a (al vector de) la interferencia es definida como el valor esperado de la magnitud al cuadrado del vector, Donde en esta expresión hemos usado además de las propiedades anteriores, una suposición bastante estricta, y es que el valor esperado del valor absoluto de la suma es igual a la suma de los valores esperados del valor absoluto. Esto es equivalente a decir que la suma de potencias es la poténcia de la suma, lo cual no es verdad en general (solamente para señales ortogonales). 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 17

18 Potencias y Matriz R La (matriz de) potencia debido a (al vector de) el ruido es definida como el valor esperado de la magnitud al cuadrado del vector de ruido, Debido a que el ruido es incorrelado, no existe potencia entre elementos distintos, por tanto la matriz es una matriz diagonal I. Se asume que la potencia de ruido recibida en cada sensor es sn2, que es la varianza o potencia del ruido termal, ruido blanco, ruido incorrelado. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 18

19 Potencia de Salida La señal de salida del beamformer debido a la SOI es un escalar (número o matriz 1x1) La poténcia de salida del beamformer debido solamente a la SOI es: Este es un resultado interesante, la potencia de salida depende del vector de pesos v y de la matriz de correlación de la señal de interés Rs. Véase que el resultado es un escalar, independiente del tiempo. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 19

20 Potencia de Salida Análogamente la señal de salida del beamformer debido a las interferencias es un escalar (número o matriz 1x1) La poténcia de salida del beamformer debido solamente a las interferencias es: Análogamente al resultado anterior, la potencia de salida debido a las interferencias depende del vector de pesos v y de la matriz de correlación de las interferencias Ri. Véase que el resultado es un escalar, independiente del tiempo. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 20

21 Potencia de Salida Análogamente la señal de salida del beamformer debido al ruido es un escalar (número o matriz 1x1) La poténcia de salida del beamformer debido solamente al ruido es: Este resultado es muy interesante, ya que la potencia debido al ruido depende solamente de la potencia del ruido a la entrada de cualquier sensor y de la norma o magnitud al cuadrado del vector de pesos |v|2. Véase que el resultado es un escalar, independiente del tiempo. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 21

22 Problema 1 semana 2 A un SLAy con 5 elementos le llega la señal de interés con ss2=1 y DOA desde el eje +z. Una interferencia con potencia en cada sensor si2=100 y DOA q = p/2 y f = p/3. El ruido termal en cada sensor tiene una poténcia de sn2=10. La frecuencia de trabajo de la SOI e interferencia es fbin=2kHz. a) Obtener las matrices R de la SOI, interferencia y ruido. b) Obtener el vector delay-and-sum vdas. c) Obtener las potencias de salida del beamformer debido a la SOI, la interferencia y el ruido. e) Comentar los resultados de las potencias. El array está trabajando bien? Atenúa las interferencias y el ruido con respecto a la potencia del SOI? f) Repetir el problema cambiando la SOI por la interferencia. 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 22

23 Problema 1 semana 2 Código ejemplo: 11/21/2018
EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 23

24 Problema 1 semana 2 Código ejemplo (cont): 11/21/2018
EE7780 Array Signal Processing clase p1c1 24

25 Fin de la clase 11/21/2018 EE7780 Array Signal Processing clase p1c1
25