LA DIFERENCIAL Autor: Victor Manuel Castro González

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1 LA DIFERENCIAL Autor: Victor Manuel Castro González
Carrera: Ingeniería Industrial Instituto: Univa Zamora Fecha:25/Febrero/2008 Victor Manuel Castro González

2 LA DIFERENCIAL La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

3 En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como: y-f(x0)=m(x-x0) Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.

4 Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente: (1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos la notación dy. (2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos la notación dy. Mas precisa se encuentra la siguiente definición: Definición de diferencial (informal) Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x. Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero. Se define  a la diferencial de y como dy, dado por  dy=f '(x) dx.

5 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente. Diferencial de una función en un punto Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,dy = df(x) = f'(x) · h

6 Propiedades de la diferencial
Primera propiedad: La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado. Segunda propiedad:Al ser dy = f ' (x)·h =  , la diferencia de una función en un punto es el incremento  (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x. Tercera propiedad:Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h Cuarta propiedad:cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

7 Incrementos Diferenciales Interpretación Geométrica
Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredós cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc. Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se lee “delta x”. El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo: Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento Dx = x2 - x1 = = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, Dx = x2 - x1 = = −4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

8 APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Entre las aplicaciones prácticas del concepto de diferencial de una función vamos a tratar aquí los relacionados con la utilización de dos resultados obtenidos en las líneas anteriores: la expresión Δy = f ´(x).Δx +  ε .Δx en la ε . Δx es un infinitésimo de orden superior a f ´(x) .Δx por lo que se puede considerar despreciable cuando Δx → 0, y el teorema según el cual Δy y dy son infinitésimos equivalentes, si f´(x) ≠ 0 con Δx→ 0. 

9 Ejemplo 1 Hallar un valor aproximado de sen 33º.
Se trata de aplicar la expresión anterior a la función f(x) = sen x, con a = 30º ( π/6 rad)  e  Δx = 3º ( 3π/180 rad).Es decir,  sen 33º = sen (30º + 3º) = sen ( π/6 + 3π/180 ) ≈ sen π/6 + (sen π/6)´ . (3π/180) = sen π/6 + cos π/6 . (3π/180) =

10 Ejemplo 2 Hallar un valor aproximado de cotg 58º.
Se trata de aplicar la expresión anterior a la función f(x) = cotg x, con a = 60º ( π/3 rad)  e  Δx = -2º ( -2π/180 rad), es decir, para un Δx negativo.Tendremos,  cotg 58º = cotg [60º + (-2º)] = cotg [ π/3 + (-2π/180 )] ≈ cotg π/3 - 1/(sen2 π/6) . (-2π/180) =

11 Ejemplo 3 Hallar un valor aproximado de 0,822
Consideremos la función f(x) = x2, el valor a = 0,8 y el Δx = 0,02: 0,822  =  f(0,8 + 0,02) = f(0,8) + f´(0,8) . 0,02 = 0, ,8.0,02 = 0,672

12 Ejemplo 4 Un depósito tiene forma de esfera de 3 m de radio. Estimar cuánto aumentará el volumen del depósito si el radio aumenta 5 cm. El volumen de la esfera viene dado por Se trata de hallar ΔV para Δr = 5 cm, para lo cual hallaremos ΔV ≈ dV = V´(r) . dr = 4π.r2 . dr = 4π.9.0,05 = 5,655 m3