Teorema de límte inferior (lower – bound theorem)

Teorema de límte inferior (lower – bound theorem)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones V.- ANÁLISIS DE CAPACIDAD DE CARGA USANDO SOLUCIONES DE COTA SUPERIOR E INFERIOR - CRITERIO BASADO EN ECUACIONES DIFERENCIALES – CRITERIO DE EMPUJE PASIVO Y ACTIVO – TEOREMA DE ESTADO CORRESPONDIENTES Teorema de límte inferior (lower – bound theorem) Las cargas determinadas a partir de una distribución de esfuerzos, que satisface: a) Las ecuaciones de equilibrio b) Las condiciones de borde de esfuerzos c) En ninguna parte viola el criterio de fluencia, no siendo mayor que la carga de colapso La distribución de esfuerzos satisfaciendo los items (a), (b) y (c) ha sido llamado campo de esfuerzos admisible estáticamente para el problema bajo consideración. Por tanto el teorema del límite inferior, puede ser reafirmado como sigue:

Fig. 138.- Carga estática máxima segura.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Si una distribución de esfuerzos estáticamente admisible, puede ser encontrado, flujo plástico incontenido no ocurrirá para una carga menor. Fig Carga estática máxima segura. A partir de estas reglas, esto puede ser visto que, la técnica de límite inferior considera solamente equilibrio y fluencia. No da consideración para cinemática de los suelos. s.r: Aquí la deformación es independiente del tiempo.

1.- Para determinada carga estática Q Condiciones estáticas:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones 1.- Para determinada carga estática Q Condiciones estáticas: Q produce un estado de equilibrio estático y seguro Se generan esfuerzos cortantes a lo largo de la superficie de falla que no superan la resistencia al corte. Se obtendrá un límite de cota inferior.

Teorema de límite superior (Upper bound theorem)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Teorema de límite superior (Upper bound theorem) Las cargas, determinadas por igualación de la variación del trabajo externo a la variación interna de disipación de energía en un modo asumido de deformación (o campo de velocidad), sastiface: a) Condiciones de borde de velocidad b) Las condiciones de compatibilidad de velocidad y deformación, no son menores a esas de las cargas de colapso actual. La disposición de energía en flujo plástico con tal campo, puede ser calculado a partir de la relación de variación esfuerzo – deformación idealizada (ó la bien llamada regla de flujo). Un campo de velocidad satisfaciendo las condiciones anteriores ha sido llamada campo de velocidad cinemáticmente admisible. Por tanto, el teorema del límite superior define que:

Fig. 139.- La carga Q produce una condición cinemática.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Si un campo de velocidad cinematicamente admisible puede ser encontrado, flujo plástico incontenido (insostenible) debe ser inminente o ha tomado lugar previamente. La técnica del límite superior considera solamente velocidad o modos de falla y disipaciones de energía. La distribución de esfuerzos no necesita estar en equilibrio, y esta solamente definido dentro de las regiones deformadas de los modos. Fig La carga Q produce una condición cinemática.

Condiciones cinemáticas:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones 2.- Si se puede encontrar un estado cinemáticamente admisible de falla. Condiciones cinemáticas: Q produce una condición cinemática de movimiento, el cual es admisible. No puede existir una carga mayor a este valor Q. Si existe una condición cinemática significa que la falla ya ocurrió o es inminente.

Para la condición cinemática (Liam Fim, 1967):
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Para la condición cinemática (Liam Fim, 1967): · Modo de falla circular: Suelo cohesivo Fig Diagrama de falla circular para la condición cinemática (Liam Fim, 1967). Se plantea la ecuación: Fexterna = qult . r (229) Wexterno = qult . r. Desplazamiento (230) Desplazamiento = (r/2). (231) Wexterno = qult . r . (r/2). (232) Wexterno = ½.r2..qult (233)

La energía disipada a lo largo de la superficie de falla
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La energía disipada a lo largo de la superficie de falla Edisipada = desplazamiento x fuerza (224) Desplazamiento: desplazamiento en la superficie de falla: t = .r (225) Fuerza = Cohesión . área Fuerza = c.ds ds = r.d (226) (228) Integral de la fuerza porque el desplazamiento es total Donde: c: cohesión (229) We = Edisipada ½ .r2..qult = .r2..c qult < 2..c (Fellenius) es un límite de cota superior (230)

Mecanismo de falla de Prandtl (fig. 141)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Mecanismo de falla de Prandtl (fig. 141) Todos los puntos tos a lo largo de la superficie de falla se mueven a la misma velocidad. Fig Diagrama de falla de Prandlt para la condición cinemática (Liam Fim, 1967). Suelo cohesivo Trabajo en la línea AB

Trabajo hecho por la carga qult en el semi-ancho
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Trabajo hecho por la carga qult en el semi-ancho (231) Energía disipada a lo largo AC (232) Energía disipada a lo largo CF Relación ángulos - arcos (233) (234) Energía disipada a lo largo CF (235)

Energía disipada en la zona radial CBF Igual a la del arco CF.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Energía disipada en la zona radial CBF Igual a la del arco CF. (236) Energía disipada en la línea FG (237) Igualando el trabajo exterior con la energía disdipada, resulta: (238) (239) (240) Límite de cota superior Liam Finn (1967) (241)

Fig. 142.- Diagrama de falla de Prandlt
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Sin embargo, Wu (1966) demuestra a través de las expresiones de Kötter que (límite de cota inferior): Fig Diagrama de falla de Prandlt qult = (2 + ).c (242) qult  (2 + ).c (es un límite de cota inferior) La solución es: qult = (2 + ).c (243) Ecuación de Kötter (244)

Basados en la ecuación de Kötter, resulta:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (245) (246) Basados en la ecuación de Kötter, resulta: La dirección de los esfuerzos principales cambian de punto a punto bajo el área cargada: (247) (248) 1 = qult (249) qult  (2 + ) C Límite de cota inferior (250)

Milton Vargas (1977) Mecanismo de Prandtl
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Milton Vargas (1977) Mecanismo de Prandtl Suelo no cohesivo, cota inferior Fig Diagrama de falla considerado en el análisis (251) (252) (253) Evaluando la ec. 253 para  = /2 (254) (255)

(Regla de I´Hopital) (259)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Liam Finn (1967) para suelo cohesivo y friccionante encontró (Mecanismo de Prandtl) (256) qult = c.Nc (257) (258) Sin embargo, si  = 0, resulta una indeterminación , por tanto se aplica: (Regla de I´Hopital) (259) Obteniéndose: Nc= 2 +  (260) Teoremas de Estado Correspondientes Caquot, Sanglerat et al (1969), Jiménez Salas et al (1976) Estudios de equilibrio plástico, permite convertir el estudio de un medio con cohesión, en el estudio de un medio sin cohesión.

Fig. 144.- Medio sin cohesión y con cohesión.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Medio sin cohesión y con cohesión. Medio con cohesión  qult Medio sin cohesión  q’ult Para que sean iguales se crea un medio ficticio al cual hay que sumar c.cotan (Sanglerat et al, 1969). Medio sin cohesión: qult = q . Nq (261) Medio ficticio con cohesión: qult + c.cotan = (q + c.cotan)Nq (262)

qult = q.Nq + c.cotan(Nq – 1) (263)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Jiménez Salas et al (1976): qult = q.Nq + c.cotan(Nq – 1) (263) Para un medio cohesivo friccionante qult = q.Nq + c.Nc (264) Nc = cotan (Nq – 1) (265) Esta fue la expresión obtenida por Liam Finn (1967) con la diferencia del término q.Nq qult = c.cotan.[e.tan . tan2(45 + /2) – 1] (256)

Fig. 145.- Fundación ubicada a distintas cotas.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones VI.-TEORÍA DE SKEMPTON Terzaghi no diferencia el valor de Nc para ninguna profundidad de empotramiento. La fig. 145, muestra empotramientos diferentes para la misma dimensión de la fundación, lo cual debe influir en la capacidad de carga de la misma. Fig Fundación ubicada a distintas cotas. Fundación continua sobre arcilla saturada, se comporta como un suelo con = 0 (condición no drenada). En este caso: qult = q + c.Nc (266) donde: q: Sobrecarga por encima de la cota de fundación

Skempton, expresa este factor como:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Nc: Factor de capacidad de carga, toma en cuenta la resistencia al corte que aporta la prolongación de la superficie de falla por encima de la cota de fundación. Skempton, expresa este factor como: para D/B2.5 (267) La resistencia no incrementa indefinidamente con D/B  entonces para D/B > 2,5, utilice Nc de la tabla o de la fig. 146. Df/B Nc Cuadrada Continua 0,00 6,2 5,14 0,25 6,7 5,60 0,50 7,1 5,90 0,75 7,4 6,20 Tabla Nº 26.- Valores del factor Nc de Skempton.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones 1,00 7,7 6,40 1,50 8,10 6,80 2,00 8,40 7,00 2,50 8,60 7,20 3,00 8,80 7,40 4,00 9,00 7,50 > 4 Skempton encontró, que el factor de capacidad de carga Nc no es independiente de Df, así como tampoco aumenta indefinidamente con Df, sino que este crecimiento es limitado, y permanece constante de una cierta profundidad en adelante(fig. 146).

NC d/B Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones NC d/B Fig Factor de capacidad de carga Nc según Skempton

Cimiento en faja (L/B= ∞) 5.14≤Nc≤7.50
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Observaciones: Nc crece al aumentar Df hasta alcanzar un valor limete para una relacion D/B=4 Cimiento en faja (L/B= ∞) ≤Nc≤7.50 Cimiento cuadrado o circular ≤Nc≤9.00 Si existe un suelo blando o relleno suelto. Prantl  Nc= 5.14 para Φ=0 Terzaghi Nc= 5.70 para Φ=0

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Fundaciones Para estratos blandos sobreyaciendo a estratos firmes, se sugiere lo indicado en la figura 147.

Aplique las teorías de Terzaghi o de Skempton.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones VII.- CIMIENTACIONES EN ARCILLAS HOMOGENEAS – ARCILLAS FISURADAS – LIMOS - LOESS Arcillas Homogéneas. Aplique las teorías de Terzaghi o de Skempton. Skempton mas completa. Considera el incremento de resistencia por incremento de empotramiento. Aumenta el área de resistencia en la base. g.Df: Este término puede tomarse gtotal, ya que al excavar se alivian las presiones totales, sin agua dentro de la excavación. Cu: Triaxial rápido. Compresión simple, no apropiado, cualquier pequeña fisura disminuye demasiado la resistencia.

Problema de estabilidad de los taludes.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Problema de estabilidad de los taludes. Nivel de desplante, por debajo del N.F., no es ningún problema, por su impermeabilidad, donde probablemente se requiere un bombeo moderado y no muy costoso. En excavaciones profundas de gran área, el flujo de agua hacia la excavación en el fondo de la misma., produce expansiones que posteriormente se traducirán en asentamientos en la estructura.

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Cont… En estos casos, lo indicado es, o bien hacer la excavación en secciones de área menor, o bien recurrir a métodos para disminuir el flujo del agua hacia el fondo de la excavación, tales como los pozos de captación o similares. Otro problema de las arcillas es la estabilidad de los taludes, y a los movimientos verticales y horizontales que se producen en las zonas adyacentes a la excavación. La estabilidad ya es difícil de por sí, por la baja resistencia común en las arcilla, se ve parcialmente comprometida por el flujo lateral de agua hacia la excavación.

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La disminución de la resistencia al esfuerzo cortante que este flujo produce, así como el esfuerzo de las fuerzas de filtración, son factores que deben considerarse en cualquier análisis de estabilidad a plazo relativamente largo. El tablestacado es otra forma de estabilizar los bordes de una excavación, generalmente preferible en zonas en las cuales por existir edificaciones vecinas u otras causas similares., no sean tolerables desplazamientos en el terreno.

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Cont… Las variaciones se deben a períodos de estiajes y lluvias. También por riego de ciertas áreas, o la existencia de hornos o calderas inadecuadamente aisladas. En cierta profundidad por debajo de la superficie, existen cambios volumétricos debido a los cambios de humedad. Estos cambios van disminuyendo con la profundidad. La tabla 27, da valores del indice de plasticidad y del limite de contracción para zonas con poco, mediana y alata susceptibilidad a los cambios volumétricos.

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Cimentaciones poco profundas en arcillas, pueden estar afectadas por los cambios volumétricos que ocurren en el suelo al variar su contenido de agua (fig. 148).

Fundaciones Tabla Nº 27.- Identificación de la susceptibilidad a los cambios de volumen de las arcillas. Susceptibilidad a cambios de volumen por cambios del contenido del agua Indice de Plasticidad Limite de Contración Regiones Aridas Regiones Humedas Poca 0 - 15 0 - 30 12 o mas Poca a Media Maedia a Alta 30 o mas 50 o mas 10 o menos s.r: La Zona Árida es de mayor problema que la región húmeda, dado que se requiere de un menor índice de plasticidad y de un rango mas pequeño para producirse cambios de volumen. En zonas húmedas se aceptan mayores Ip dedibo a que los cambios de humedad son menos frecuentes

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Cont… La profundidad de desplante deberá de quedar siempre bajo la zona sujeta a cambios volumétricos, cuando esta puede ser determinada. Si esto último no es posible, el problema ha de ser resuelto con criterio y experiencia, ceñidos a las condiciones locales. En arcillas homogéneas. Asentamientos por consolidación suele ser el factor dominante en su comportamiento. La presión admisible desde el punto de vista de la resistencia del suelo suele quedar limitada por le asentamiento tolerable por la estructura.

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Los asentamientos diferenciales son los que a fin de cuentas interesan al ingeniero estructural. Al calcular el asentamiento producido por una zapata, por ejemplo, deben hacerse intervenir las presiones que transmiten otras zapatas vecinas, situadas a distancias es que su influencia alcancen a hacerse notar. Asentamientos por consolidación se calcula para cargas muertas y vivas permanentes. Cargas accidentales y transitorias, actúan en tiempo pequeño en comparación al requerido para influenciar un proceso de consolidación.

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Cont… Los asentamientos diferenciales que una estructura acepta, dependen de su función y de sus características. El ingeniero especialista en suelos ha de quedar subordinado a las necesidades del ingeniero estructural. Los asentamientos totales son muy importantes, cuando existen estructuras vecinas a la considerada que pueden sufrir perjuicios por el movimiento de esta o cuando existan instalaciones , ductos, etc., que no soportan sin daños los hundimientos resultantes.

Fundaciones Observaciones para arcillar fisuradas Quizá el mejor recurso para evaluar la resistencia de una arcilla fisurada para fines de cálculo de una cimentación, sea el realizar pruebas de carga con una placa, directamente sobre en terreno. A pesar de sus limitaciones da buenos resultados. La fig. 149 ilustra los resultados del ensayo de placa, del cual se puede obtener la resistencia no drenada Cu.

Fundaciones Despejar Cu del ensayo de placa y aplicarlo para la zapata real. Es decir el Nc en la siguiente ecuación debe ser avaluado para la zapata real. qult-zapata=Nc . Cu + g.Df (268) La fig. 150, en la siguiente diapositiva, presenta algunos comentarios de las dificultades que tiene las arcillas fisuradas en la determinación de su resistencia.

Fundaciones

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones En el caso de los taludes de arcillas fisuradas en excavaciones: la resistencia obtenida en la forma antes descrita no puede usarse para análisis de estabilidad, de hecho, esta estabilidad es muy difícil de calcular, y el problema suele resolverse con elementos de retención suficientes, cuando por alguna razón, los taludes de la excavación no pueden tenderse a voluntad. .

Cimentaciones en Limos
Limos Plásticos: comportamiento se asemeja al de las arcillas de plasticidad baja a media. Limos no plásticos: comportamiento se asemeja al de arenas muy finas. Limos Plásticos: pueden deber su plasticidad a un porcentaje de partículas de forma laminar o su contenido de materia orgánica. Limos no plásticos: polvo de roca es un ejemplo. SPT N<10: limos sueltos o suaves e inadecuados para soportar cimientos. N>10: material puede servir. Limos no plástico y plásticos-. La cimentación se calcula con los procedimientos indicados para arena y arcillas. Limos plásticos, N.C. bajo el N.F: Asentamientos constituyen un problema de importancia, comparable al que presentan las arcillas. Cálculo con teoría de Terzaghi.

En muchos limos, la resistencia cortante es debida:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Limos sueltos o suaves: No adecuados para soportar cimientos, puede recurrirse al empleo de cimentaciones compensadas, o bien a cimentaciones profundas. En muchos limos, la resistencia cortante es debida: Fricción entre partículas. Algo de cohesión producida por un cementante. Mejor ensayo: pruebas triaxiales. C.S. Da valores muy exagerados de la cohesión a causa de la compresión existente entre las partículas, debida a la presión capilar del agua intersticial, que equivale a un confinamiento de importancia y que, por lo tanto, es una resistencia debida a la fricción.

La contribución real de la cohesión y de la fricción producto de la presión capilar, puede ponerse de manifiesto en la prueba de compresión simple, repitiendo ésta con espécimen totalmente sumergido en agua; si el espécimen se derrumba a una resistencia mucho menor que la del espécimen probado en el aire, quedará establecido que lo que aparentaba de cohesión es en realidad resistencia por fricción desarrollada por tensión capilar del agua.

Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Cimentaciones Loess Material de deposito eólico, formado por partículas del tamaño del limo de la arena fina, ligadas por el cementante. La estructuración del material es abierta, de un tipo intermedio entre una estructura simple típica y una panaloide y a ellas corresponden relaciones de vacios relativamente altas. Son poco uniformes. Su resistencia varia grandemente en distancias o profundidades pequeñas (problemas para sostener una fundación). El SPT, es útil para verificar esta uniformidad, pero en cambio pude dar valores bajos de la resistencia, a causa de que la peculiar estructura del material facilita la penetración del muestreador.

Por sus especiales características, el Loess es un material difícil de calcular la capacidad de carga con métodos teóricos. Aquí las pruebas de cargas pudieran de utilidad, dosificándolas con criterio, de acuerdo con la uniformidad del deposito. Los Loess son generalmente depósitos no saturados, pero cuando se saturan el cementante se ablanda o se disuelve, perdiendo el conjunto su cohesión. En estas condiciones, su estructura sufre un colapso, que se traduce en un asentamiento brusco, posiblemente muy perjudicial. Elevación de N.F., el riego, fugas de agua en tuberías, o la simple exposición a las lluvias fuertes son elementos de saturación comunes que deben evitarse.

Fundaciones VIII.- FALLAS DE FONDO EN EXCAVACIÓN DE ARCILLA Tomado de Juárez Badillo. Cuando se construyen excavaciones para fines de cimentación, se plantean una gran cantidad de problemas prácticos, algunos de los cuales ya han sido someramente tratados en párrafos anteriores. Sin embargo, no se ha mencionado el que constituye una de las causas de falla mas frecuentes y peligrosos en excavaciones abiertas en arcilla: LA FALLA DEL FONDO DE LA EXCAVACIÓN. En este tipo de falla ocurre un asentamiento del terreno vecino, acompañado por el levantamiento generalmente rápido del fondo de la excavación; lo que sucede es que el material vecino fluye hacia el centro de la excavación, que se levanta correspondientemente (fig. 151). Aun estando apuntalado, ocurre el fenómeno. Este tipo de fallas ha sucedido en zanjas para tubos y drenajes y en excavaciones relativamente profundas.

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Talud apuntalado Asentamiento del suelo vecino Material fluyendo hacia el centro de la excavación Fig Esquema de falla de fondo en una excavación hecha en arcilla. Aún estando apuntalado ocurre levantamiento Las excavaciones para fines de cimentación se realizan lo suficientemente rápidas, como para que sean despreciables los cambios en presión neutral dentro de la arcilla, por lo que todos los análisis de estabilidad pueden hacerse con datos provenientes de pruebas triaxiales rápidas

Facultad de Ingeniería La capacidad de carga de una arcilla, a la profundidad DF, puede ser estimada a través des la ec .226 y el factor de capacidad de carga NC de Skempton. Sin embargo en este caso la resistencia para la falla por levantamiento de fondo es aportada solamente por el término c.Nc, mientras que el esfuerzo “q” producido por el peso de suelo por encima de la cota del fondo de la excavación es tomado como un esfuerzo que disminuya la resistencia c.Nc. Por tanto en la condición limite, se puede plantear: El termino “q” aquí no es resistencia (269)

La ecuación 269, da la profundidad máxima a la que se puede llevar la excavación, sin que falle por fondo. Sabemos que los diseños deben realizarse con cierto factor de seguridad, por tanto la ecuación 269, se transforma en: FS=c.Nc/γ.DF (270) Si existen cargas de edificaciones o de algún terraplén en las cercanías de la excavación, la ecuación 270 debe escribirse como:

FS= c.Nc/(γ.DF+qcarga_superficie) (271)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería FS= c.Nc/(γ.DF+qcarga_superficie) (271) La ecuación 270 o 271, permite calcular la seguridad de la excavación contra la falla de fondo. En la práctica un valor de 1.5 para FS parece ser suficiente en todos los casos, pues la aproximación de los cálculos resulta del orden de ± 20%, cuando se les compara con los resultados obtenidos de fallas reales.

Una observación de interés es que la falla de fondo es independiente de la falla del talud y no es causada por un mal ademado de los mismos. De hecho en una excavación no ademada, la falla del talud siempre ocurre antes que la de fondo, pues el numero de estabilidad de un talud es como mínimo 4 y como máximo 5.3 (estos números son equivalentes al Nc de capacidad de carga), mientras que el numero de estabilidad para una fundación cuadrada según Skempton es Nc= 6.2 (Φ= 0). Así teóricamente, la falla de fondo solo puede ocurrir en excavaciones ademadas, en que la falla de los taludes esta restringida; sin embargo, la distorsión que la falla de fondo implica, puede llevar a la excavación a un colapso mas general.

S,r aquí se debe decir, que el numero de estabilidad de Skempton para una fundación continua es 5.14 (Φ= 0): ¿ Significa que para este tipo de fundación, primero ocurrirá la falla por fondo antes que la falla del talud ? De la EC. 103, se hace la siguiente interpretación: Ea= ½.γ.H2.Ka – 2.c’.H.tan(45-Φ’/2) (103) Por tratarse de una arcilla no drenada, el coeficiente Ka=1 y la ec.103, queda: Ea= ½.γ.H²-2.Cu.H (272) s.r: si en la ec. De la ec. 272, se el Ea=0, es decir no existirá ninguna pantalla soportando al suelo y por tanto la condición mas critica, o también se puede interpretar que el suelo alcanza su máxima resistencia para una nula presión de tierras activa. De la ecuación 272, se obtiene la altura máxima del talud en la condición limite de equilibrio, resultando: (273) El numero “4” en la EC. 273, representa al numero al numero de estabilidad mencionado anteriormente.

IX.-CAPACIDAD PORTANTE PARA ARCILLAS Y ARENAS
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería IX.-CAPACIDAD PORTANTE PARA ARCILLAS Y ARENAS Capacidad Portante para Arcillas Peter Barry – David Reid La Fig.152, presenta las zonas de la masa de suelo que aportan la capacidad de carga de fundación. Se observa que la superficie de falla esta conformada dos planos rectos segmentados, que forman un Angulo de 45° con la horizontal. También se muestra una superficie de falla curva, la cual no es mas que la rotación de los planos rectos en un ángulo θa en el lado activo y en un ángulo θp en el lado pasivo. Fig Diagrama de la zona activa debajo de la zapata y de la zona pasiva alrededor de la zapata, mostrándose los esfuerzos en cada una de ellas.

Para una superficie de deslizamiento recta, las fuerzas que actúan sobre la cuña de arcilla son las que se muestran en la Fig.152 La secuencia de pasos necesarios para el resultado de las ecuaciones que se presentan a continuación, depende del equilibrio de fuerzas que actúan en la cuña activa y pasiva ( Fig. 153 ). Caso Pasivo: En la línea AC se disipa todo el cortante (no a través de la masa de suelo). Ep= ½..Hp² + Cu.Hp.Kp (274) Donde Kp representa un coeficiente que depende de las cohesiones consideradas en la cuña analizada, y se expresa a través de: (superficie de deslizamiento recta) (275) Donde: Ep: empuje pasivo que produce la cuña de suelo alrededor de la zapata (Fig.152) o en la cuña pasiva del muro (Fig.153) Reflaja el cortante en el plano

Cw: resistencia cohesiva en la línea AC (Fig.152) Cu: resistencia no drenada de la arcilla : peso total de la arcilla Hp: altura de la cuña pasiva (línea vertical AC) Nota: la ecuación 274, es equivalente a la ecuación 107 Si en la ecuación 274, se sustituye la altura Hp por la profundidad Z, y luego se deriva, el resultado será una expresión para la presión de tierras pasivas, a cualquier profundidad “ Z “ sobre la línea AC (Fig.152) o en la pared del muro de lado pasivo (Fig.153) σhp=.Z + Cu. Kp (276) Caso Activo: En la línea AC se disipa toso el cortante (no a través de la masa de suelo). Para el caso activo, igual que el Caso anterior, para el análisis se parte del diagrama de fuerzas de la cuña activa. la Fig.153, ilustra la cuña de suelo detrás de un muro, la cual genera el empuje activo sobre el muro. Se ha considerado que existe una grieta de tensión en la masa de suelo, de altura Zc. Del análisis.

Ea= ½.γ.( H²-Zc²) – Cu.(H-Zc).Ka (277) Donde Ka se expresa como: (superficie de deslizamiento recta) (278) Donde: Ea: Empuje activo de la cuña de bajo de la fundación (Fig.,152) o empuje activo detrás del muro (Fig.153) H: Altura de la línea AC (Fig.152) o altura del mundo (Fig.153) Zc: Profundidad de la grieta de tensión detrás del paramento en el muro Fig Cuñas activas y pasivas actuando en un muro.

Si en la ec. 277, se considera Zc como constante y H se sustituye por Z, y luego se deriva, el resultado es la presión de tierras activa, actuando en la línea vertical AC (Fig.152) o detrás del paramento del muro (Fig.153). Esto es: σ.ha=.Z-Cu.Ka (279) Si la ec.276 y 279, se escriben como: σha=σv-Cu.Ka (280) σhp=σv+Cu.Kp (281) Sustituyendo los esfuerzos verticales σv por esfuerzos qúltimo, y el esfuerzo del suelo de las cuñas a la mitad de su altura, resulta: (282) (283)

Considerando que Cw=Cu, se escribe: (284) (285) Igualando la ecu.284 y 285, se tiene: (286) (287) Por tanto en este caso: Nc:5,66

Recordamos que el factor de capacidad de carga Nc de trezaghi, tiene un valor de Nc=5.70 Respecto al coeficiente Kp, si se considera que la superficie de deslizamiento es curva por debajo de la zapata y además de que el cortante se disipa completamente en la pared AC, en este caso Kp resulta:. (288) s.r: Para Ka la diferencia entre una superficie curva y un plano, es pequeña

Capacidad portante en arenas Este caso esta representado en la Fig.154. En el lado pasivo, el coeficiente de empuje se debe obtener teniendo en cuenta que la fuerza cortante vertical en la interfase AC, se disipa a través de la masa de suelo hasta llegar a un valor cero en el plano DF. La Fig.155, muestra detalles de la zona radial de corte y de la cuña pasiva, así como las fuerzas que actúan en una dovela dentro de la masa de suelo. De este tipo de diagrama se parte para la deducción del coeficiente Kp en el caso pasivo y Ka en el caso activo. Fig Diagrama de la zona activa debajo de la zapata y de la zona pasiva alrededor de la zapata, mostrándose la presencia del N.F

Fig Superficie de falla en el caso pasivo y elementos considerados en el análisis. A continuación se dan las ecuaciones de Kp y Ka, producto del análisis tomando en cuenta lo presentado en la fig.154 y 155, lo cual no es explicado en este trabajo. (289) Se considera que existe cortante en todos los planos verticales, áun en el plano DF

Si se busca una distribución especifica que produzca la mínima contribución a la resistencia pasiva, entonces se trabaja considerando que todo el cambio de cortante se produce en la línea AC y de allí en adelante la fuerza cortante en planos verticales es nula. Si además δ`=Φ`, entonces se obtiene la mínima resistencia pasiva y el máximo empuje activo. Si se supone que la superficie de falla tiene forma de espiral logarítmica y además ’/’ =1y que el cortante se disipa totalmente en AC, resulta: (290) (291)

Lado activo Punto A v = qult (292) ha = qult.Ka (293) Punto E v = qult + .H: ha = qult . Ka + .H..Ka (294) Punto C v = qult + .H. + H(1-).sat (295) u = (1 - ).H.w (296) ’v = qult + .H. + H(1 - ).’ ’ha = qult . Ka + .H..Ka + H(1 - ).’:Ka (297)

donde: v: Esfuerzo total. ha: Presión de tierras activa. ’v: Esfuerzo vertical efectivo. ’ha: Presión de tierras activa efectiva. u: Presión de poros sat: Peso unitario total de la arena. ’: Peso unitario sumergido de la arena. : Factor que define la profundidad del nivel freático. u: Presión de poros. H: Altura del plano AC. qult: Capacidad última de carga de la fundación. Ka: Coeficiente de empuje activo. q: Esfuerzo producido por la masa de suelo por encima de la fundación. w: Peso unitario del agua.

Lado pasivo Punto A v = q (298) hp = q.Kp (299) Punto E v = q + .H. (300) hp = q.Kp + .H..Kp (301) Punto C v = q + .H. + (1 - ).H.sat (302) u = (1 - ).H.w (303) ’v = q + .H. + (1 - ).H.’ ’hp = q.Kp + .H..Kp + (1 - )H.’Kp

donde: hp: Presión de tierras pasivas. ’hp: Presión de tierras pasivas efectiva. Kp: Coeficiente de empuje de tierras pasivas. q: Esfuerzo producido por la masa de suelo por encima de la fundación. La fig. 156, presenta el diagrama de esfuerzos efectivos, para el caso activo y pasivo, el cual permite plantear el equilibrio de fuerzas horizontales.

Fig Diagrama de esfuerzos activo y pasivo. De la fig. 156, se obtiene el empuje activo y pasivo sobre el plano AC: (304) (305) (306)

(307) Igualmente Ea = Ep (308) (309) (310)

(311) (312) (313) (314)

Si, H  B: (315) Definiendo: (316) (317)

(318) (319) Por tanto la ec. de capacidad de carga, se expresa como: (320) Lo que está en corchetes, en la ec. 320, que toma en cuenta la variación del nivel freático. Veamos, como quedan los pesos unitarios en la ec. 320, en los siguientes casos: Nivel freático por encima de la cota de fundación: Para =0, lo que está en corchetes queda (’/), por tanto el peso unitario en la ec. 320 es ’. Fig Zapata con nivel freático por encima de su cota de fundación.

Se considera  = ’ qult = q.Nq + ½ . ’.B.N (321) El esfuerzo “q” en este caso se obtiene por: q = .D1 + ’.D (322) · Nivel freático a la cota de fundación: También =0, lo que está en corchetes queda (’/), por tanto el peso unitario en la ec. 320 es ’. La ec. 321, determina la capacidad de carga. El esfuerzo “q”, será simplemente .Df Fig Zapata con nivel freático a la cota de su fundación. q = .Df (323)  = 0, al sustituir en la expresión resulta [1 – (1 - ’/)] = ’/ qult = q.Nq + ½.’.B.N (321)

Nivel freático por debajo de la cota de fundación y a una profundidad menor al ancho “B” de la fundación. En este caso  varia entre cero y uno (0< <1), por tanto qult se determina por la ec. 320. Fig Zapata con nivel freático por debajo de la cota de su fundación. Nivel freático por debajo de la cota de fundación y a una profundidad igual o mayor al ancho “B” de la fundación. En este caso =1 por tanto lo que está en corchetas en la ec. 20, se hace igual a uno. La ec. para determinar la capacidad de carga será: (324) Fig Zapata con nivel freático sin influir en la capacidad de carga.

Peter Berry – David Reid , evalúan su expresión y comparan los resultados con los obtenidos por Terzaghi. Tabla Nº 28.- Comparación de los factores de capacidad de carga de Peter_David yTerzaghi. Peter Berry - David Reid Terzaghi, 1943  Nq N 25 10,7 9,7 12,7 30 18,4 17,4 22,5 19,7 35 33,3 32,3 41,4 42,4 40 64,2 63,2 81,3 130,00

Otra forma de plantear como influye el agua en la capacidad portante qult, es la siguiente: Caso Estático De la fig. 157, se escribió: (321) (322) A partir de la fig. 159, se puede plantear que el peso unitario que interviene en la ec. de capacidad de carga, se expresa como: (325) (326) (327)

La ec. de capacidad de carga será: (328) Caso de flujo ascendente La fig. 161, presenta este caso: Fig Diagramas de presión de poros en caso de flujo ascendente. Para la condición hidrostática, el peso sumergido y la presión de poros, se obtiene por: ’ = sat - w (329) u =z.w (330) Al derivar la ec. 320, resulta:

(331) De la fig. 161, también puede obtenerse la ec. 33, evaluando la pendiente del diagrama: (332) Significa que en este caso la pendiente del diagrama de presión de poros, es el peso unitario del agua. Por tanto para estimar ’ en la ec. 329, vasta con sustituir la pendiente del diagrama. Por tanto se puede decir que: ’ = sat - /Z (condición hidrostática) (333) Para el caso de flujo ascendente la expresión de ´ dada por la ec. 333, sigue siendo válida, es decir: (334) En este caso la pendiente, es:

(335) (336) Se aplicará en al término en la ec. de capacidad de carga.

Facultad de Ingeniería X.- EMPUJE PASIVO EN EL CASO DE SUPERFICIES DE CONTACTO RUGOSAS (TERZAGHI Y PECK) En su sentido más amplio, se entiende por empuje pasivo la resistencia que una masa de suelo opone a su desplazamiento cuando se solicita por una fuerza lateral. El elemento que ejerce dicha fuerza lateral puede estar constituida (ver fig. 162): § Fundación de un muro de sostenimiento § Parte enterrada de un tablestacado § Estructura de arco que ejerce presión a la roca o suelo § Fundación que ejerce una carga vertical sobre el suelo

Fig Empujes pasivos sobre algunas estructuras. Es decir entonces, que la estabilidad de casi todos los muros de sostenimiento y la capacidad de carga de todas las fundaciones poco profundas, depende en algún grado del empuje pasivo, de modo que el estudio de dicho empuje es de mayor importancia práctica.

El plano de separación entre el objeto que ejerce el empuje y el suelo se llama superficie de contacto. Coulomb calculó el empuje pasivo, en el caso de superficies de contacto rugosas, tomando como premisa la hipótesis simplificada de que la superficie de deslizamiento era plana (fig. 163a). Con esta hipótesis el error que se origina se encuentra siempre del lado de la seguridad. Fig. 163a.- Superficie de falla plana para la estimación del empuje pasivo (Coulomb). Si  es pequeño, la superficie de deslizamiento es en realidad casi plana y el error es tolerable, pero si  es grande el error es excesivo y el método de Coulomb no debe ser utilizado.

Teoría de Coulomb del empuje pasivo en arenas El valor del empuje pasivo de Coulomb puede ser determinado gráficamente utilizando el método de Culman. El procedimiento es idéntico al descrito en el artículo 30 (Terzaghi- Peck (1973) ). La fig. 163.a indica la influencia que el ángulo de fricción  ejerce sobre el valor del empuje pasivo de Coulomb. El gráfico indica que el empuje aumenta rápidamente al acrecentar el valor del ángulo de fricción entre el suelo y muro. Si , es mayor de /3, la superficie de deslizamiento es fuertemente curvada y por tanto, el error debido a la hipótesis de Coulomb aumenta rápidamente. Para  = , dicho error puede alcanzar hasta el 30%. Por ello, para  mayor de /3 debe tomarse en cuenta la curvatura de la superficie de deslizamiento.

Empuje pasivo en el caso de suelos cohesivos - friccionantes A los efectos de estudiar los métodos para determinar el empuje pasivo, sin la necesidad de fijar una superficie plana de deslizamiento, se resuelve a continuación el problema indicado en la fig. 163.b. Fig. 163.b.- Planteamiento hecho por Terzaghi y Peck, para la deducción de la capacidad de carga. ab: Superficie de contacto empujada hacia una masa de suelo cohesivo ideal, cuya resistencia al corte viene expresada por la ecución:

(337) Consideraciones, respecto a la fig. 163.b: Superficie del suelo es horizontal Angulo de fricción entre suelo y paramento interno del muro es  Ca: Fuerza total de adherencia entre muro y suelo bde es la superficie real de deslizamiento, que consta de una parte curva bd y una recta de. Ya anteriormente, se ha dicho que el suelo situado dentro del triángulo isósceles ade se encuentra en estado pasivo de Rankine, y por tanto las tensiones de corte en la sección vertical df son iguales a cero, de modo que el empuje Pd sobre la misma es horizontal. Este empuje Pd puede ser calculado por medio de la ec.: (328)

Esta ec. es la misma ec. 107, con la adición del empuje horizontal que caso la carga “q”. La masa abdf, se encuentra sometida a las siguientes fuerzas: W: Peso propio Pd: Em empuje Pd. C: Resultante de la cohesión a lo largo de bd Ca: Adherencia en la cara ab F: Resultante de las tensiones normales y de fricción en la superficie bd Pp: Resultante de las componentes normal y tangencial del empuje pasivo.

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