Material de apoyo de Fundaciones Parte II

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1 Material de apoyo de Fundaciones Parte II
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Material de apoyo de Fundaciones Parte II Teoría de Elasticidad para la Estimación de Asentamientos y Esfuerzos

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Fundaciones INTRODUCCIÓN.- Este teme trata de la aplicación de la teoría de elasticidad en la determinación de esfuerzos y deformaciones, que producen diferentes tipos de carga en la masa de suelo. Al inicio se mencionan algunos modelos que pueden representar la resistencia del suelo a través de la variación del módulo con la profundidad. Luego se evalúa los asentamientos y esfuerzos, generados por distintas cargas, usando las respectivas ecuaciones de la teoría de elasticidad, donde se apreciará la deformación el suelo verticalmente y la magnitud de los esfuerzos a distancias y profundidades, medidas a partir del punto de aplicación de las cargas. El trabajo contiene una serie de gráficos que ayudan a determinar los esfuerzos y asentamientos para un medio representado por el semi-espacio de Boussinesq (módulo de elasticidad constante con la profundidad) y para una capa de suelo sobreyaciendo una base rígida (también con módulo en la subcapas constante). En el trabajo se expone brevemente algunos métodos para la estimación de asentamientos en el semiespacio elástico heterogéneo (módulo variable con la profundidad), tanto para carga circular como para carga rectangular. También se presenta la definición de asentamientos diferenciales, distorsión y deflexión, así como sus valores tolerables para distintos tipos de estructuras. Se comenta los asentamientos medidos en fundaciones reales de tanques, construidos sobre arenas y arcillas. Por ultimo se anexan algunos problemas.

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Fundaciones ÍNDICE Pág. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERÉS PARA EL INGENIERO 2 ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORÍA DE PLASTICIDAD 4 ELASTICIDAD EN LE SENTIDO RESTRINGIDO 6 MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMÁTICAMENTE POR HOLL (1940) 8 ESTIMACIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORÍA DE ELASTICIDAD PARA DISTINTOS CASOS DE CARGA 9 CARGA PUNTUAL CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITA 15 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA 18 CARGA CON DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJA INFINITA 22 CARGA UNIFORME MAS CARGA TRIANGULAR 24 DOS CARGAS TRIANGULARES ASIMÉTRICAS 29 DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRÁFICOS 30 CARGA TRIANGULAR Y RECTANGULAR DE LONGITUD INFINITA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN ÁREA CIRCULAR 31 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN ÁREA RECTANGULAR 49 ASENTAMIENTO ELÁSTICO DEBIDO DE UN ÁREA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA 56 ASENTAMIENTOS INMEDIATOS DE FUNDACIONES SOBRE ARCILLA SATURADA 59

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Fundaciones MÉTODOS GENERALES PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS 61 CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE BASE RÍGIDA 73 CARGA AISLADA PUNTUAL CARGA LINEAL SOBRE BASE RÍGIDA 74 CARGA EN FAJA SOBRE BASE RÍGIDA INTERFAZ LISA (EGOROV, 1939) 75 INTERFAZ RUGOSA PARA CADA EN FAJA INFINITA SOBRE BASE RÍGIDA 76 CARGA CIRCULAR – CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE BASE RÍGIDA 79 CARGA RECTANGULAR – CAPA COMPRESIBLE SOBRE BASE RÍGIDA 82 SUPERFICIE DE CARGA GENERAL CON BASE RÍGIDA 90 SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO 91 SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA EN FAJA SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA CIRCULAR 93 SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA RECTANGULAR 94 TEORÍA DE DOS CAPAS 102 DEFINICIONES DE ASENTAMIENTO Y ASENTAMIENTOS ADMISIBLES 104

5 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO. La fig. 1 muestra la posible distribución de esfuerzos que se producen en la masa de suelo, debido a la aplicación de una carga en la superficie. Fig. 1.- Distribución de esfuerzos producidos por diferentes tipos de carga.

6 Esa distribución de esfuerzos depende de: Tipo de suelo.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Esa distribución de esfuerzos depende de: Tipo de suelo. Su estructura. De la homogeneidad o heterogeneidad del suelo. Su espesor. De la forma y dimensiones de la carga. De las propiedades – esfuerzo – deformación. Las propiedades esfuerzo – deformación generalmente no siguen una ley, sino que su comportamiento esfuerzo – deformación es similar al mostrado en la fig.2., donde se aprecia que el resultado obtenido depende del tipo de suelo y del grado de compactación y consolidación.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig.2.- Comportamiento de un suelo real. Por tanto a través de la teoría de elasticidad, se trata de estimar la distribución de esfuerzos, a partir de un comportamiento idealizado, como el mostrado en la fig.3.

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Fundaciones Fig. 3.- Diferentes comportamientos considerados para un suelo idealizado. (a) Material elástico; (b)Material rígido plástico; (c) Material elasto-plástico; (d) Material elasto-plástico con ablandamiento.

9 ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERES PARA EL INGENIERO
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERES PARA EL INGENIERO Para un talud se estudia (fig. 4a), se estudia: Determine  actuante Determinar la resistencia f Estimar el factor de seguridad En el diseño de una fundación (fig.4b), se estudia: Los esfuerzos transmitidos por Q a la masa de suelo no deben alcanzar la falla. Estos esfuerzos deben caer en el estado de equilibrio elástico. Para lograr esto, ya se aplica Q aplicada, transmitirá esfuerzos a la masa de suelo y producirá deformaciones correspondientes al rango elástico.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig. 4.- (a) Esfuerzos cortantes en un talud; (b) Distribución de los esfuerzos que transmite la fundación a la masa de suelo. En el caso “b” de la fig.4, para la estimación de estos esfuerzos y deformaciones, se considera que el suelo es homogéneo, isotrópico y linealmente elástico.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La teoría de elasticidad para la solución del problema de carga, está desarrollada tomando en consideración la teoría del semiespacio de Boussinesq para carga puntual (fig.5). Semiespacios de Boussinessq limitados por un plano horizontal, de profundidad infinita y de extensión horizontal infinita. Problemas no presentados por la teoría de elasticidad, pueden ser resueltos por métodos de superposición, como los mostrados en la fig. 6. Fig.5.- Semi_especio de Boussinessq Fig.6.- Esfuerzos de la carga trapezoidal estimada por dos cargas triangulares.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Las siguientes condiciones son necesarias para aplicar la teoría de elasticidad: Los esfuerzos transmitidos al suelo deben permanecer en el rango elástico, de manera que no produzca deformaciones plásticas en la masa de suelo. Se debe establecer un módulo elástico, representativo de la masa de suelo, por consiguiente la característica del suelo y su disposición lo deben permitir. La fig. 7, muestra dos disposiciones de los estratos que se pueden encontrar para una formación sedimentaria. En la fig.7a, la aplicación de la teoría de elasticidad puede hacerse con cierta confiabilidad, mientras que en el caso “b” su aplicación dará resultados que se alejan un poco de los reales.

13 Aplicación y resultados de la teoría de elasticidad:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig.7.- (a) Estratificación horizontal; (b) Estratificación con buzamiento Aplicación y resultados de la teoría de elasticidad: En arcillas homogéneas saturadas, se utiliza con cierta seguridad comprobada en campo y laboratorio, para la estimación de esfuerzos y desplazamientos. Se aplica con ciertas reservas para la estimación de esfuerzos en arenas En suelos arcillos se utiliza para predecir asentamientos inmediatos. En suelos granulares no es aplicable para predecir asentamientos.

14 Entonces se estudiará :
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Entonces se estudiará : La teoría de elasticidad isotrópica. Más desarrollada basada en la teoría de elasticidad Mientras que la teoría de elasticidad anisotrópica (anisotropía transversal). -Desarrollada teóricamente -Poco sistematizada en ábacos para aplicación práctica. ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORIA DE ELASTICIDAD Las cargas aplicadas sobre el terreno producen deformaciones. La teoría de elasticidad, proporciona las siguientes relaciones, para determinar la deformación vertical y el asentamiento vertical a través de la integral de las deformaciones.

15 z: Deformación vertical.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (1) donde: z: Deformación vertical. z: Incremento de esfuerzo en la dirección “z” producido por la carga colocada al suelo. x: Incremento de esfuerzo en la dirección “x”producido por la carga colocada al suelo. y: Incremento de esfuerzo en la dirección “y” producido por la carga colocada al suelo. : Coeficiente de Poisson. E: Módulo de elasticidad del suelo.

16 S: Asentamiento vertical. dz: Diferencial de la profundidad “z”.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (2) donde: S: Asentamiento vertical. dz: Diferencial de la profundidad “z”. En la práctica son de interés las deformaciones verticales, es decir los asentamientos que se producen en la superficie del suelo, cuando la carga se aplica sobre el área de la cimentación. Sin embargo, la fig. 8, indica dos casos donde es de interés para el ingeniero deformaciones diferentes a las que ocurren en dirección vertical. Por ejemplo los corrimientos paralelos a la superficie del terreno son también peligrosas para las estructuras soportadas, o incluso llegan a ser determinantes. Esto ocurre, por ejemplo, cuando los movimientos del terreno se deben a excavaciones laterales o profundas. También es determinante conocer las deformaciones tangenciales y radiales alrededor del túnel.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig. 8.- (a) Edificaciones afectadas por la deformación que producen las grietas de tensión. (b) Deformación radiales y tangenciales que sufre la roca por la abertura del túnel. Sin embargo, aquí se tratarán los asentamientos en el sentido vertical, producidos por fundaciones tales como las indicadas en la figura 9.

18 Una fundación flexible puede considerarse, cuando:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig. 9.- (a) Losa de fundación rígida de concreto donde se apoyan varias columnas (b) Zapata aislada rígida de concreto; (c) Relleno de material donde se apoya un tanque. Una fundación flexible puede considerarse, cuando: Almacenamiento de carburantes Pilas de minerales Almacenamientos a granel

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Respecto a los parámetros de elasticidad “E” y “”, no son constantes en la masa de suelo, especialmente en depósitos de arena (ver fig. 10), por esta razón las expresiones obtenidas a partir de la teoría de elasticidad no se deben aplicar para determinar los asentamientos en arenas, para ello se existen una serie de métodos empíricos, que se estudiaran más adelante. Fig (a) Fundación apoyada en un estrato de arena; (b) Diagrama esfuerzo deformación para una arena.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Sin embargo, en un estrato de arcilla estos parámetros tienen poca variación, por tanto la teoría de elasticidad puede ser aplicada. Entonces las ecuaciones deducidas de la teoría de elasticidad, se aplicarán para predecir los asentamientos inmediatos (fig. 11) a veces llamados asentamientos elásticos, que se producen en los depósitos de arcilla saturada en condiciones no drenadas. 100% distorsión 0% cambio de volumen Fig Asentamiento instantáneo debajo de la fundación. Si la arcilla está saturada, se habla de un módulo no drenado Eu y el coeficiente en esta caso tendrá un valor de 0.5 ( = 0.5) y por tanto el asentamiento instantáneo ocurrirá sin cambio de volumen y con un cien por ciento de distorsión. El módulo cortante en este caso lo expresa la teoría de elasticidad, como: (3)

21 Gu: Módulo cortante no drenado. Eu: Módulo de elasticidad no drenado.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones donde: Gu: Módulo cortante no drenado. Eu: Módulo de elasticidad no drenado. : Coeficente de Poisson para el caso no drenado. COPIAR LAMINA Si  =0.5, resulta:

22 ELASTICIDAD EN EL SENTIDO RESTRINGIDO Se entiende así:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones ELASTICIDAD EN EL SENTIDO RESTRINGIDO Se entiende así: Cumple la ley de Hooke, es decir la relación esfuerzo deformación se expresa por: donde: E: Módulo de elasticidad : Deformación que sufre el suelo : Esfuerzo que produce la deformación EL módulo de elasticidad (E) es el mismo en tracción que en compresión La materia que constituye el semiespacio de Boussinesq tiene la resistencia suficiente para seguir respondiendo elásticamente bajo las tensiones que se produzcan en todos y cada uno de los puntos del semiespacio.

23 La fig. 12, muestra el semiespacio y la ley de Hooke.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La fig. 12, muestra el semiespacio y la ley de Hooke. Fig (a) Semi_espacio de Boussinesq; (b) Ley de Hooke. En el siguiente caso, el semiespacio de Boussinesq debe reemplazarse por un modelo isotrópico no homogéneo, tal como se indica a continuación.  MODELO DE CAPA ELASTICA SOBRE BASE RIGIDA Este modelo considera: Capa elástica es homogénea en todos sus puntos Base rígida es homogénea en todos sus puntos

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Capa elástica con módulo constante sobre base rígida. Sin embargo el suelo no homogéneo en todos sus puntos, ya que por lo general el terreno es más compacto y menos deformable a medida que incrementa la profundidad. Algunas variaciones más representativas del módulo, se indican en la fig. 14. Fig Modelos de representación de la variación del módulo. (a) Función monótoma creciente; (b) Función lineal con módulo inicial Eo; (c) Función lineal sin módulo inicial. Función monótoma

25 E: Módulo de elasticidad m: Pendiente de la variación del módulo
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Para semiespacio heterogéneo, la ley más sencilla que se puede proponer para el módulo (fig. 14b), es: E = E0 + m.z (5) donde: E: Módulo de elasticidad m: Pendiente de la variación del módulo z: Profundidad La pendiente puede ser expresada, usando los parámetros indicados en la fig. 14b, como: (6) Sustituyendo la ec.6 en la ec.5, se tiene: (7)

26 Si m = 0 E = E0 , entonces se obtiene el semiespacio de Boussinesq
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (8) (9) Si m = 0 E = E0 , entonces se obtiene el semiespacio de Boussinesq Si m  0 y E0 = 0, el módulo de Young vale cero en superficie, lo cual corresponde a la fig.14c. E0 = 0 (Constituye una limitación teórica muy seria, ya que es físicamente inconcebible un material con esa propiedad), sin embargo, existen suelos muy especiales como arenas sueltas en superficie cuya densidad aumenta con la profundidad y donde este modelo pudiera servir. También existe el semiespacio de Winkler, representado a través de:

27 semiespacio de Winkler,
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (10) semiespacio de Winkler, donde: : asentamientos de los puntos : presión que causa el asentamiento k: coeficiente de balasto o de reacción vertical La ec. 10, indica que el asentamiento es proporcional a la presión () que lo causa a través del coeficiente de balasto. Las unidades de este coeficiente, son las correspondientes a un peso especifico, es decir (kg/m3 ó grs/cm3 ó ton/m3). Se puede decir que la zapata está flotando en un fluido de densidad k ó que la zapata se hundió en el semiespacio de Winkler. Si “” se expresa como:

28 Equivalente al modelo lineal sin módulo en superficie
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (11) La ec. 10, se escribe: (12) Sustituyendo la ec. 4, en la ec. 12, se tiene ahora que el módulo de balasto es función del módulo de young. (13) Equivalente al modelo lineal sin módulo en superficie Se aprecia que esta expresión de “k”, es la pendiente “m”de la recta de la fig. 14c, para un medio heterogéneo sin módulo inicial. Por tanto se demuestra que el semiespacio de Winkler coincide con el modelo de heterogeneidad lineal con E0 = 0 en superficie. El modelo físico de Winkler, está representado en la fig.15.

29 MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMATICAMENTE POR HOLL (1940)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Modelo de Winkler. MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMATICAMENTE POR HOLL (1940) Frohlich, representa el modelo indica en la fig. 14a, de acuerdo a: para  < 1 (14) donde: E(z): Variación del módulo con la profundidad. Eo: Módulo de elasticidad en superficie. : Parámetro que define la variación del módulo = 0 Boussinesq = 1 Winkler  < 1 el módulo no incrementa indefinidamente

30 Si  = 0, coincide con el semiespacio de Boussinesq.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Consideraciones: Como  < 1 el gradiente del módulo de elasticidad disminuye en profundidad, lo que se asemeja más a la realidad en comparación con la variación lineal (función monótoma). Si  = 0, coincide con el semiespacio de Boussinesq. Si  = 1, coincide con el módelo de Winkler. De lo anterior, se aprecia que las heterogeneidades posibles del terreno son de gran dificultad para evaluarlas en el laboratorio o campo, e influyen en la estimación de las tensiones y asentamientos que sufre la masa de suelo.

31 Q Q Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones ESTIMACIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORÍA DE ELASTICIDAD PARA DISTINTOS CASOS DE CARGA CARGA PUNTUAL La fig. 16, muestra este caso, ilustrando un punto donde se desea conocer los esfuerzos. Q Q Fig. 16.- (a) Carga puntual aplicada en superficie y ubicación del punto de interés en la masa de suelo (b) Punto en la masa de suelo representado a través de un elemento tridimensional, donde se indican los esfuerzos que actúan en el mismo.

32 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Las siguientes ecuaciones permiten calcular los esfuerzos vertical, radial, tangencial y cortante en el elemento de suelo considerado. (15) (16) (17) (18) (19)

33 Q: Carga puntual aplicada en la superficie del suelo
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Donde: _v: Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento. También se usará la simbología "z". Q: Carga puntual aplicada en la superficie del suelo ρ: Radio para ubicar el elemento desde el punto de aplicación de la carga. r: Distanda horizontal desde de la línea vertical al punto donde se ubica el elemento z: Profundidad a la cual se encuentra el elemento υ: Coefieciente de Poisson _r: Esfuerzo horizontal en la dirección de "r" sobre caras verticales del elemento. También se usará la simbología "r" _θ: Esfuerzo horizontal en la dirección de " θ " sobre caras verticales del elemento. También se usará la simbología " " τrz: Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales del elemento. También se usará la simbología " τrz“

34 Esfuerzo resultante en un plano horizontal (_h):
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Esfuerzo resultante en un plano horizontal (_h): (20) (21) (22) (23)

35 Definición del ángulo “”:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (24) Definición del ángulo “”: (25) (26) Por tanto se puede escribir: (27) (28)

36 Veamos los esfuerzos en los planos horizontales:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Veamos los esfuerzos en los planos horizontales: h=4ton/m2 (se buscara la isobara de este valor de esfuerzo) cuando Q=1ton. De la ec. 27 se puede escribir: (29) Variando el ángulo que define el pto. de aplicación (30) Los resultados se indican en la fig. 17 y 18.

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Fundaciones Fig. 17- Representación de la isobara de esfuerzo de 4 ton/m2, función de la ubicación del punto.

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Fundaciones Fig Isobara producida con esfuerzo horizontal de 4 ton/m2, resultante en planos horizontales, por una carga puntual de 1 ton.

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Fundaciones Distribución de esfuerzos producidos en un plano vertical (ver fig. 19): Datos: Q =1 ton.  = ½ r = 2 m. (distancia que define la ubicación del plano vertical) z = 0, 0.1, (variación de la profundidad) Aplicando la ec. 3, resulta: Fig.19.-Distribución de los esfuerzos en un plano vertical ubicado a 2m del punto de aplicación de Q = 1 ton.

40 Buscando la profundidad donde ocurre el máximo esfuerzo.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Buscando la profundidad donde ocurre el máximo esfuerzo.

41 Esfuerzos vertical en un plano horizontal ubicado a 2 m (ver fig. 20).
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Esfuerzos vertical en un plano horizontal ubicado a 2 m (ver fig. 20). Datos: Q = 1 ton. z = 2 m r = -5, (variación del radio) Q está aplicada en superficie z= 2 m Fig Distribución del esfuerzo vertical en un plano horizontal ubicadoa 2 m de profundidad.

42 Isobaras de esfuerzos vertical (ver fig. 21):
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Isobaras de esfuerzos vertical (ver fig. 21): z = 4 ton/m2 y z = 8 ton/m2. Q =1 ton A partir de la ec.1, se escribe: Variando el ángulo ψ en el siguiente rango: Resulta: Fig Isóbaras de esfuerzo vertical 4 y 8 ton/m2.

43 E: Módulo de elasticidad del suelo : Coeficiente de Poisson
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La expresión para calcular el asentamiento producido por una carga puntual, viene dada por: En un plano horizontal Donde: S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea horizontal E: Módulo de elasticidad del suelo : Coeficiente de Poisson Datos, para el asentamiento superficial (ver fig. 22): Q = 1 ton  = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0 (superficie)  = 90º (representa una línea horizontal) r = 0.1, 0.2, (variación de r)

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Fundaciones Fig Asentamiento superficial a diferentes distancias del pto de aplicaciónde Q.

45 Datos, para el asentamiento a distintas profundidades (fig. 23):
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Datos, para el asentamiento a distintas profundidades (fig. 23): z = 0.1, 0.2, m E = 1000 ton/m2  = 0.5  = 0º (representa línea vertical) r =0 (línea vertical coincide con línea de acción de Q) En un plano vertical Donde: S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea vertical. E: Módulo de elasticidad del suelo. : Coeficiente de Poisson.

46 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones Fig Asentamiento en la línea de acción de Q a diferentes profundidades.

47 CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITA
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITA La fig. 24, muestra una carga lineal de longitud, infinita, la cual produce determinados esfuerzos en un elemento de suelo, representado por un cubo. Además se indica la dirección del esfuerzo principal actuando en el cubo. Las siguientes ecuaciones, permiten calcular los esfuerzos: (33) (34) (35) (36) (37)

48 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Esfuerzos en un elemento de suelo producidos por una carga lineal. Nota: La simbología se corresponde con las utilizadas para una carga puntual. Se considera que los esfuerzos principales coinciden con las siguientes direcciones: (38) (39)

49 COPIAR Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones COPIAR

50 z = 4 ton/m2 1= 4 ton/m2 cuando Q = 1 ton/m
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Veamos las isóbaras para los esfuerzos: z = 4 ton/m 1= 4 ton/m cuando Q = 1 ton/m A partir de las ecuaciones 33 y 38, se escribe: (40) (41) Donde: ρ: Radio para el ploteo de la isobara de z = 4 ton/m2 ρ l: Radio para el ploteo de la isobara de 1 = 4 ton/m2 Con la ayuda de la fig. 24, se puede expresar que las coordenadas (x,z) para el ploteo, vienen dadas por: (42) (43)

51 x,z: Coordenadas para la isobara z = 4 ton/m2
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones donde: x,z: Coordenadas para la isobara z = 4 ton/m2 xl,zl: Coordenadas para la isóbara 1= 4 ton/m2 Haciendo variar el ángulo ψ, en el siguiente rango se obtiene la fig. 25. Fig.25.- Isóbaras de los esfuerzos z = 4 ton/m2 1= 4 ton/m2 producidos por una caraga Q = 1 ton/m

52 El desplazamiento horizontal, viene dado por la siguiente expresión:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones El asentamiento de la superficie, respecto a un punto inmóvil situado a una profundidad "d" bajo la carga lineal tal como se muestra en la fig. 26, se determina a través de: El desplazamiento horizontal, viene dado por la siguiente expresión: (44) El asentamiento vertical, se estima a través de: Asentamiento en superficie (45)

53 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Ubicación de un pto en la masa de suelo donde se desea determinar el asentamiento producido por una carga lineal infinita.

54 El resultado se muestra en la fig. 27
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Consideremos los siguientes datos para la estimación del asentamiento vertical (ver fig. 27): Q = 1 ton/m v = E =1000 ton/m d= 2 m. El resultado se muestra en la fig. 27 Fig Asentamiento producido por una carga lineal.

55 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA La fig. 28 muestra la geometría y los parámetros necesarios para calcular los esfuerzos en un punto de la masa de suelo, producidos por una carga en franja. Expresiones derivadas para la fig. a: (46) (47) (48)

56 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig (a) y (b) Ubicación del punto en análisis a través de ángulos y longitudes,para la estimación de los esfuerzos.

57 Expresiones derivadas para la fig. b
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Expresiones derivadas para la fig. b (49) (50) (51) (52) (53)

58 q: Esfuerzo que transmite la franja al suelo.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Donde: _v ó z : Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento. _x ó h : Esfuerzo horizontal sobre las caras horizontales del elemento. _rz ó zh : Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales del elemento. q: Esfuerzo que transmite la franja al suelo. 1, 3: Esfuerzos principales que se producen en el elemento analizado. , , , 1, 2, : Angulos que definen la ubicación del punto. L1, L2: Longitudes necesarias para determinar los ángulos. z: Profundidad del pto.

59 Algunas consideraciones: Para 2. = 180º, resulta:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Algunas consideraciones: Para 2. = 180º, resulta: De la fig.28b, resultan las siguientes relaciones: (54) Expresando los ángulos en función de la distancia (x, z) (55) (56) (57)

60 Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z) (58) (59) (60) (61) (62) (63)

61 Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (64) Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z) (65) Sustituyendo las expresiones de los ángulos en las ecuaciones 49, 50, 51, 52 y 53, resulta: (66)

62 (67) (68) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (67) (68)

63 (69) (70) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (69) (70)

64 Z = 5 m Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones Consideremos los siguientes datos: q = 10 ton/m2 a = 2 m (semi- ancho de la franja) z = 5 m (Esfuerzos en elementos de suelos ubicados a una profundidad de 5 m) x = -10, (longitud del plano horizontal) Los resultados se muestran en la fig. 29. Fig Esfuerzos producidos por una franja cargada con q = 5 ton/m2 a una profundidad de 5 m. Z = 5 m Tarea: Determine los esf. s1, s3 principales a partir de sz, sx, txz. Compare con los gráficos

65 Determinación de la abscisa para la cual ocurre el cortante máximo
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Determinación de la abscisa para la cual ocurre el cortante máximo TOL=10-5 x:=2 x:=root(f(x),x) x=3.109

66 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Determinación de la abscisa para la cual ocurre el esfuerzo sigma "x" máximo TOL=10-5 x:=3 x:=root(f(x),x) x=5.008

67 CARGA CON DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJA INFINITA
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones CARGA CON DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJA INFINITA La fig muestra la ubicación de un punto en la masa de suelo donde se desea determinar los esfuerzos producidos por una carga triangular. Fig Elementos de ubicación de un punto sometidoa carga triangular.

68 Los esfuerzos en el pnnto se estiman a través de:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Los esfuerzos en el pnnto se estiman a través de: (71) (72) (73) De la fig. se determina:

69 Angulos y radios en función de (x,z)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (74) Angulos y radios en función de (x,z) (75) (76) Sustituyendo las ecuaciones 74, 75 y 76 en las ecuaciones 71, 72 y 73, resulta: (77)

70 Considerando los siguientes datos:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (78) (79) Considerando los siguientes datos: b= 2 m q = 10 ton/m2 z = 5 m B = 2.b x = 0, El resultado lo muestra la fig. 31.

71 La carga está aplicada es en superficie
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La carga está aplicada es en superficie Fig Esfuerzos producidos en un elemento de suelo por una carga triangular.

72 Esta ec. se escribe como:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones El asentamiento superficial que produce la carga triangular se estima a través de la siguiente expresión: (80) Esta ec. se escribe como: (81) donde: : Asentamiento superficial variando con la distancia “x”. E: Módulo del suelo. : Coeficiente de Poisson. Consideremos los siguientes datos: q = 10 ton/m2 b= 2m x = 0,  = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0 El resultado se muestra en la fig. 32.

73 Fig. 32.- Asentamiento producido por una carga triangular.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Asentamiento producido por una carga triangular.

74 CARGA UNIFORME MÁS CARGA TRIANGULAR
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones CARGA UNIFORME MÁS CARGA TRIANGULAR La fig. 33, muestra el caso de carga uniforme más carga triangular, así como todos los elementos necesarios para la ubicación de un punto de la masa de suelo, donde se quiere estimar los esfuerzos que produce este sistema de carga. Los esfuerzos vertical, horizontal y cortante, en un punto de la masa de suelo, se estimarán a través de las siguientes expresiones: (82) (82) (83) (84)

75 Fig. 33.- Geometría requerida para la ubicación de un elemento
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Geometría requerida para la ubicación de un elemento de suelo bajo el sistema de carga uniforme y triangular.

76 q: Esfuerzos que transmite la carga en superficie en la masa de suelo
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Donde: q: Esfuerzos que transmite la carga en superficie en la masa de suelo ro, r1, r2: Radios de las líneas para ubicar el elemento de la masa de suelo. a, b: Ancho de distribución de las cargas. z: Profundidad a la cual se ubica el elemento. x: Abscisa que ubica al punto en la masa de suelo. 1, 2, 3, 4,  y : Angulos que definen la geometría De la fig. se escriben las siguientes relaciones:

77 Angulos y distancias escritas en función de (x,z) (87)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (85) (86) Angulos y distancias escritas en función de (x,z) (87) Si x < a: (88) (89)

78 Angulos y distancias escritas en función de (x,z) (95)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (90) (91) (92) (93) (94) Angulos y distancias escritas en función de (x,z) (95) (96)

79 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (97) Las ecuaciones 82, 83 y 84, se escribirán ahora de la siguiente manera: Para x  a: (98)

80 (99) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (99)

81 Para x  a: (carga uniforme)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (100) Para x  a: (carga uniforme) (101)

82 (102) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (102)

83 Consideremos los siguientes datos para la estimación de los esfuerzos:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (103) Consideremos los siguientes datos para la estimación de los esfuerzos: Los resultados se muestran en la fig. 34.

84 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones Fig Variación de los esfuerzos a una profundidad de 5 m producidos por una carga uniforme y triangular

85 DOS CARGAS TRIANGULARES AXIMETRICAS
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones DOS CARGAS TRIANGULARES AXIMETRICAS La fig. 35, muestra la geometría de una carga triangular asimétrica. Fig Carga triangular asimétrica. (104) (105) (106)

86 DOS CARGAS TRIANGULARES SIMETRICAS
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones DOS CARGAS TRIANGULARES SIMETRICAS La fig. 36 muestra la geometría de una carga triangular asimétrica. Fig Carga triangular simétrica.

87 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Los esfuerzos en punto de la masa de suelo, que produce la carga triangular puede estimarse por: (107) (108) (109) De la fig. 36, se determina: (110) (111)

88 DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRÁFICOS
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRÁFICOS Carga triangular y rectangular de longitud infinita La fig. 37 y 38, presenta estos casos. Tarea: Compare los resultados de la fig. 37, con los obtenidos con la ayuda de las ec. 107, 108, 109, 110, 111.

89 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones Fig Esfuerzos principales bajo una carga triangular de longitud infinita.

90 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones Fig Esfuerzos principales bajo una carga rectangular de longitud infinita. Tarea: Compare los resultados con los obtenidos por las ec. 49, 50, 51, 52 y 53.

91 Carga uniformemente distribuida sobre un área circular
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Carga uniformemente distribuida sobre un área circular Esta situación se puede presentar teóricamente cuando la carga sobre el terreno es producida, no por un elemento estructural sino por una capa pura como un acopio de mineral, etc. Para una carga puntual el esfuerzo está dado por: (112) (113) (114) La fig.39 muestra una carga circular uniformemente distribuida, a partir de la cual se deducen algunas expresiones: En este caso:

92 (115) (116) (117) (118) Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig (a) Area circular bajo una carga uniformemente distribuida.(b) Sección indicando un punto en eje central del área (115) (116) (117) (118)

93 Iz: Factor de influencia (122)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (119) (120) (121) Iz: Factor de influencia (122) Otra expresión equivalente a la anterior es la siguiente. Con la ayuda de la fig.39b, se escribe: En el EJE (123)

94 z para cualquier punto del semiespacio, se expresa:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones EJE Vea la fig (124) Eje (125) EJe (126) Eje (127) Egorov (1958) z para cualquier punto del semiespacio, se expresa: (128)

95 t, n, k y p, se expresan a través de:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones donde: E(k), o(k,p): Integrales elípticas completas de segunda y tercera especia, de módulos k y parámetros p. t, n, k y p, se expresan a través de: (129) (130) (131) (132) Además: A =1, si t <1 A=1/2 si t =1 A =0 si t> 1

96 a: Radio de carga circular q: Esfuerzo aplicado por carga circular
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones donde: a: Radio de carga circular q: Esfuerzo aplicado por carga circular Las figuras 40, 41, 42 y 43, presentan este caso que permite obtener el esfuerzo vertical y los esfuerzos principales, en cualquier punto.

97 Línea que representa centro del círculo
Fig Esfuerzos verticales producidos por una carga uniformemente sobre una superficie circular. Línea que representa centro del círculo Chequeo: qs = 10 ton/m2 v=? Para z/a =1 y x/R=0 Zona fuera del círculo Línea que representa el borde del círculo

98 Para obtener el esfuerzo principal menor
Borde Chequeo: qs = 10 ton/m2 1=? 3=? Para z/a =1 y x/R=0 Compare con v. Dibuje círculo de Morh Eje Para obtener el esfuerzo principal mayor

99 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Esfuerzos principales bajo una carga uniformemente repartida sobre una superficie circular. Lambe y Whitman: En la superficie situada bajo el área cargada, la variación del esfuerzo horizontal es aproximadamente igual a la variación del esfuerzo vertical, como en una prueba de compresión isótropica. En este caso la deformación horizontal es de compresión y los puntos situados en la superficie deben moverse hacia el eje de carga.´

100 Para determinada carga qs y determinada relación z/a, determine:
Fig Valores de 1001/P y 100 3/P para superficie circular flexible. Esfuerzos en el eje Tarea: Para determinada carga qs y determinada relación z/a, determine: 1=? 3=? z=? x =?, xz =? Use fig. 40 y 41

101 Eje z/R Borde Fuera del área cargada Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Eje z/R Borde Fuera del área cargada Fig Factor de influencia para el incremento de esfuerzo vertical total bajo un área circular.

102 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Asentamiento elástico debajo de un área circular uniformemente distribuida. Para la estimación del mismo se partirá de la fig. 44 para la ubicación de un punto fuera del área cargada. P P P Cuando a = 0 Fig Elementos definir el radio de un punto.

103 La fig. 45, define la ubicación de un punto bajo una carga puntual.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (133) La fig. 45, define la ubicación de un punto bajo una carga puntual. Fig Elementos de ayuda en el caso de carga puntual. (134) (135) Para la carga circular se plantea: (136) (137) En cualquier pto

104 Solución más simple es la propuesta por Ahlvin Y Ulery (1962):
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Solución de la integral anterior, resulta en función de integrales elípticas de primera y segunda clase Egorov (1958), Harr (1966) Solución más simple es la propuesta por Ahlvin Y Ulery (1962): (138) A,H: Funciones tabuladas El asentamiento de bajo del centro (a=0), se presenta como: Carga circular en Eje (139) Harr (1966), obtuvo la expresión de asentamiento en la línea vertical delcentro: Eje (140) donde n=z/b a=0 en el centro Si n=0 (z=0) asentamiento en superficie

105 Terzaghi (1943) determinó: S(b,0): Asentamiento en el borde
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (141) Terzaghi (1943) determinó: S(b,0): Asentamiento en el borde (142) Sm: Asentamiento promedio (143) La fig. 46, muestra la ubicación de un punto “P”, en el cual se desea determinar los esfuerzos y asentamiento, de acuerdo a Ahlvin y Ulery (1962). Fig (a) Elementos de ubicación de un punto “P”; (b) Definición de los puntos en las capas de un suelo estratificado.

106 Los autores definen la deformación vertical y el esfuerzo vertical, a través de :
(144.b) z: Deformación vertical bajo un área circular uniformemente cargada a cualquier profundidad y distancia “r”. z: Esfuerzo vertical a la profundidad “z” y distancia “r”. A, B: Funciones tabuladas (Tabla 1,2 y 3). Además para el caso de suelo estratificado, sugieren que el asentamiento puede ser estimado como: (145) zi: Deformación vertical en el centro de cada capa Zi: Espesor de la capa “i” Asentamiento a cualquier profundidad (z) y a cualquier distancia “r”:

107 A,H: Funciones tabuladas (Tabla 1, 2 y 3) (146) Borde Eje
S(r,z): Asentamiento A,H: Funciones tabuladas (Tabla 1, 2 y 3) Tabla 1.- Función A (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962) (146) Borde Eje

108 Cont. Tabla 1. Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones Cont. Tabla 1.

109 Tabla 2.- Función B (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Tabla 2.- Función B (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)

110 Cont. Tabla2. Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones Cont. Tabla2.

111 Tabla 3.- Función H (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Tabla 3.- Función H (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)

112 Cont. Tabla 3. Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones Cont. Tabla 3.

113 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones En la fig. 47, se presenta la distribución de presiones verticales calculadas por Foster y Ahlvin (1954). Se observa que en los puntos a un mismo nivel bajo el circulo cargado, la tensión es prácticamente constante, excepto en la circunferencia límite de la carga y con profundidades z/a < 2. El borde del círculo cargado es una línea singular en la cual la presión es teóricamente la mitad de la carga sobre el círculo. En la fig. 48, de foster y Ahlvin (1954) se presentan los asentamientos en todo el semiespacio para el caso en que  = 0.5. La relación entre el asentamiento en el centro y en el borde es /2.

114 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible. Distribucióntensiones verticales según Foster y Ahlvin (1954).

115 Valores para determinar asentamiento
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Valores para determinar asentamiento Eje Borde Fig Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible. Distribución de asentamientos para = 0.5, según Foster y Ahlvin (1954).

116 Schleicher (1926), en la superficie del terreno, presento:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Schleicher (1926), en la superficie del terreno, presento: (147) k(k), E(k), integrales elípticas de primera y segunda especie (148) (149) Bajo el centro del círculo el asiento (150) Ejemplo: x = 0 z = 0 para  = 0,5 El mismo valor de la gráfica.

117 Suelo cargado horizontalmente
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones En la fig. 49 de Barber (1963), se presenta la distribución de presiones en la base del circulo para un coeficiente de Poisson  = 0.5. Se aprecia que z =0 en el centro, y a medida que se retira del centro este esfuerzo incrementa hasta cierta distancia (borde). Suelo cargado horizontalmente Fig Carga circular repartida uniformemente. Carga horizontal extensible. Distribución de tensiones según Barber (1963).

118 La condición Inextensible:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones En la fig. 50, se presenta la distribución en la vertical del centro de z y r, para un medio con  = 0.5 y = 0, producidos por una carga vertical circular uniforme. Se observa que el coeficiente de  no influye en la tensión vertical, cuando la carga es extensible. La influencia de  es notable para la tensión radial. La condición Inextensible: Es una condición tal que, en la superficie del círculo no pueden producirse movimientos horizontales. Para carga inextensible o rugosa. Carga circular uniforme. Distribución de tensiones en la vertical del centro del círculo, viene dada por las fórmulas. Schiffman (1968) (151) (152)

119  no influye en la tensión vertical para carga extensible
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (153) (154)  no influye en la tensión vertical para carga extensible influencia de  es notable para la tensión radial Fig Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical. Distribución de tensiones según Schiffman (1968). (a) Tensiones verticales. (b) Tensiones radiales. Z/a

120 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La fig. 51, presenta la variación de la tensión tangencial sobre la superficie del círculo, para el caso de carga inextensible. Se aprecia la gran influencia del coeficiente de Poisson. En el borde del círculo (r/a = 1) la tensión tangencial es infinita. También la fig. muestra los asentamientos que se presentan en superficie, producidos por una carga circular repartida, para  = 0.5 y  = 0; en este caso se puede apreciar la gran influencia del coeficiente de Poisson. En z = 0 Si (r/a < 1) (155) rz = 0 Si (r/a) > (156)

121 No hay corte en superficie
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones No hay corte en superficie Dsitribución de tensiones tangenciales en la superficie. Cortante en borde tiende a infinito Fig Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical inextensible. Distribución de tensiones tangenciales y asentamientos sobre la superficie del círculo, para  = 0.5 y  = 0, según Schiffman (1968).

122 En lo anterior se aprecia, que existen dos casos de carga:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones En lo anterior se aprecia, que existen dos casos de carga: Lisa ó extensible: Corresponde al caso en que la superficie del suelo, puede extenderse libremente sin que la carga o el elemento transmisor de la carga al terreno presente ninguna coacción al movimiento de éste. El esfuerzo tangencial sobre la superficie del terreno sería siempre nulo, y esto sería por lo tanto, la condición de contorno impuesta para resolver el problema. Rugosa o inextensible: Se presenta cuando las condiciones de carga son tales que el suelo no puede extenderse. Sería el caso por ejemplo de una cimentación rugosa que coaccionase totalmente el movimiento de la superficie del terreno en contacto con la cimentación. Para resolver el problema elástico se impondría entonces, como condición de contorno, que bajo la carga los desplazamientos horizontales fueran nulos.