@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 1 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 1 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 SISTEMAS LINEALES U.D. 1.1 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 Ecuación lineal Ecuación lineal es una igualdad de la forma: son números reales conocidos llamados coeficientes, y son números reales de valor desconocido llamados incógnitas. donde Ejemplos: 3.x + 4.y = 5 - 2.x + 3.y – 7.z = 0x – y + 2.z = 5 x + 4.y = - 6 - 2.x + 3.y – 7.z + 4.t = 0x – 2.z = 0 3.z + 4.t = -15 x + 3.z – 7.w = 4– y + 2.t = - 5

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución o soluciones. REGLA DE LA SUMA: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo número o expresión algebraica, el resultado es una ecuación equivalente. Ejemplo_1 4.x – 2 = 3  4.x – 2 + 2 = 3 + 2  4.x = 5 Ejemplo_2 4.x – 2 = 3.x  4.x – 2 – 4.x = 3.x – 4.x  – 2 = – x  x = 2

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Ecuaciones equivalentes REGLA DEL PRODUCTO: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por el mismo número o expresión algebraica, el resultado es una ecuación equivalente. Ejemplo_1 (x / 4) – 2 = 3  4.(x/4) – 4.2 = 4.3  x – 8 = 12 Ejemplo_2 (x/4) – (y/3) = 3  3.x – 4.y = 36 Ejemplo_2 3.x – 12.y = 27  x – 4.y = 9

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto formado por m igualdades de la forma: donde b1, b2, b3,…son los términos independientes del sistema. Un sistema homogéneo es aquel cuyos términos independientes son todos ceros. Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Son soluciones todo conjunto de valores de x que al ser sustituidos en las ecuaciones convierten a éstas en identidades. Sistemas de ecuaciones lineales

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Una combinación lineal de varias ecuaciones es otra ecuación que resulta de multiplicarlas por números distintos de cero y sumarlas. Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: –S–Se multiplica una ecuación por un número. –S–Se cambia el orden de las ecuaciones. –S–Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. –S–Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número. Sistemas equivalentes

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Ejemplos Indicar por qué son equivalentes los siguientes sistemas: El sistema:Es equivalente a: 3x + y/4 = 512x + y = 20 2.x – y = 32x – y = 3 A la primera ecuación la hemos multiplicado por 4. x + 2y = 5x + 2y = 5 2.x – y = 32x – y = 3 3x + y = 8 La tercera ecuación del sistema es suma de las dos anteriores. x + 2y = 5x + 2y = 5 2.x – y = 35x + 5y = 18 A la segunda ecuación la hemos sumado tres veces la primera.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS 1.-Método de Gauss. Que veremos en esta Unidad Didáctica y ampliaremos con el Método de Gauss-Jordan. 2.-Método de Gauss mediante la utilización de Matrices. Que veremos en la siguiente Unidad Didáctica. 3.- Método de Gauss mediante la utilización de Determinantes. Que veremos en la tercera Unidad Didáctica.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS 1.-Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado. Es la Regla de la suma utilizada en la resolución de ecuaciones. 2.-Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Es la Regla del producto utilizada en la resolución de ecuaciones, que tiene la ventaja de eliminar denominadores. 3.-Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. Esta regla, complementada con las dos anteriores, produce el llamado Método de Reducción visto en cursos anteriores. Reglas de resolución