@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 CONTINUIDAD Y DERIVADAS U.D. 7 * 2º BCS.

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2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 CONTINUIDAD Y DERIVADAS U.D. 7 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.22 FUNCIÓN DERIVADA U.D. 7.2 * 2º BCS

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto. Esta función se designa por f ’(x) o D f(x) f (x + h) – f (x) f `(x) = lím -------------------- h  0 h La función derivada es una función y por tanto una expresión algebraica

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 024 EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x Hallar la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h  0 h - (x+h) 2 + 4.(x+h) – ( - x 2 + 4x) = lím ---------------------------------------- = h  0 h - x 2 -2hx -h 2 + 4x + 4h + x 2 - 4x = lím ---------------------------------------- = h  0 h - 2hx + 4h - h 2 = lím --------------------- = - 2.x + 4 h  0 h f ’(x) = - 2.x + 4 m>0 m=0 m<0

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 024 EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x S u función derivada es: f ’(x) = - 2.x + 4 Comprobemos: f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0 f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0 f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0 Efectivamente la función derivada es tal que nos proporciona el valor de la derivada (pendiente) de la función en cualquier punto de la misma. m>0 m=0 m<0

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 DERIVADA Y FUNCIÓN DERIVADA f(x) = x 2 y=4 x=2 Sea f(x) = x 2 Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 2.x, que es otra función. La función derivada es otra función. Calculemos la derivada de la función en un punto, en x=2 f ‘ (x) = 2.x,, f ‘ (2) = 2.2 = 4 La derivada de la función en un punto es un cardinal ( un número ). La derivada de una función cuadrática es una función lineal: y la derivada de una función lineal es una función constante. f ‘ (x) = 2.x

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + ▲x) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ---------------------- = --------- = ------- = 0 ▲x  0 ▲x ▲x ▲x Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + ▲x) - f(x) x + ▲x - x ▲x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------- = ------- = 1 ▲x  0 ▲x▲x ▲x Sea f(x) = k.x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + ▲x) - f(x) k.x + k▲x - kx k▲x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------------- = --------- = k ▲x  0 ▲x▲x ▲x

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Sea f(x) = x 2 Aplicando la definición de derivada de una función: f (x +▲x) - f(x) (x +▲x) 2 - x 2 x 2 + 2.x.▲x +▲x 2 - x 2 f ‘ (x) = lím --------------------- = ------------------- = -------------------------------- = ▲x  0 ▲x▲x ▲x 2.x.▲x + ▲x 2 = lím ---------------------- = 2.x + ▲x = 2.x + 0 = 2.x ▲x  0 ▲x Sea f(x) = x 3  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3. x 2 Generalizando: f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1