Unidad 3: Tema 4: La circunferencia: ecuación y propiedades Lugares geométricos. Ecuación de la circunferencia. - Formación de cuadrados. Propiedades de la circunferencia. Potencia de un punto. - Eje radical. Plato Kameiros. Dominio público

Lugares geométricos Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que verifica una condición geométrica. Los problemas que debemos resolver son: * Determinar la ecuación de un lugar geométrico. * Averiguar cuál es el lugar que corresponde a una ecuación. Ejemplo: conjunto de los puntos que equidistan de dos dados A y B (mediatriz del segmento AB).

Ecuación de la circunferencia Ecuación canónica (en función de las coordenadas del centro O(x0,y0) y del radio r): (x-x0)2 + (y-y0)2 = r2 Ecuación reducida (ec. canónica con O(0,0)): x2 + y2 = r2 Ecuación general: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (la ecuación general determina una circunferencia si A2+B2-4C>0) Para obtener las coordenadas del centro y del radio a partir de la ecuación general, es útil formar cuadrados para pasarla a la forma canónica.

Propiedades El ángulo inscrito es la mitad que el central. El ángulo inscrito de un diámetro, es recto. El ángulo recto de un triángulo rectángulo está sobre la circunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa. La mediatriz de una cuerda pasa siempre por el centro. La tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto. Así, la distancia del centro a la tangente es el radio.

Potencia de un punto La potencia de P respecto de una circunferencia es: d2-r2 Si la ecuación de la circunferencia es x2+y2+Ax+By+C=0 , la potencia de P(x0,y0) viene dada por: x02+y02+Ax0+By0+C Si la potencia es: > 0, el punto es exterior. = 0, el punto está en la circunferencia. < 0, el punto es interior. Si A, B son los puntos intersección de una secante (cualquiera) que pasa por P: PA·PB es la potencia de P. Si T es el punto de tangencia de una tangente trazada desde P (exterior), entonces la potencia de T es:

Eje radical El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias. Es una recta perpendicular a la línea que une los centros. Si las ecuaciones de las circunferencias son: x2+y2+Ax+By+C=0 , x2+y2+A’x+B’y+C’=0 la ecuación del eje radical es: (A-C’)x+(B-B’)y+(C-C’)=0 Si las circunferencias son secantes, el eje radical es la secante común.

Dibujando circunferencias. GNU Con regla y compás La Geometría Analítica traduce al Álgebra objetos y relaciones geométricas, haciendo más cómodo y potente el trabajo geométrico. Intentar resolver los problemas (de éste y de los dos temas siguientes), “con la regla y el compás”, antes de resolverlos algebraicamente te ayudará a desarrollar la intuición geométrica, lo que te facilitará tu trabajo futuro. Dibujando circunferencias. GNU