Tema 2: Estadística bidimensional Variables estadísticas relacionadas Diagramas de dispersión Tablas de doble entrada Covarianza Correlación Rectas de regresión Estimaciones Constante de Hubble. GNU

Relación entre variables Las variables X, Y están relacionadas funcionalmente si para cada valor de X existe un único valor de Y asociado. La relación es estadística si a un valor de X le pueden corresponder varios valores de Y. Distribución bidimensional de las variables X, Y es el conjunto de todos los valores de X e Y agrupados en pares de elementos. Se suele presentar en forma de tabla (simple si hay pocos elementos, o de doble entrada si la distribución la componen muchos elementos).

Diagramas de dispersión Para comprender mejor la relación que pueda haber entre las variables X e Y, se suele visualizar los datos mediante los diagramas de dispersión. Al conjunto de todos los puntos se le llama nube de puntos. Tablas de doble entrada Cuando una distribución consta de muchos elementos, normalmente suelen venir dados en una tabla de doble entrada, en la que cada par xiyj tiene asociado su frecuencia (nº de veces que está repetido. Los diagramas de las tablas de doble entrada suelen representarse con círculos en los que el área es proporcional a la frecuencia. Regresión de Galton (Dom. Público)

Covarianza La covarianza es una medida de la relación que hay entre las variables X, Y. Se define por: La covarianza:  No es invariante. Si se cambia las unidades de medida de X o de Y, la covarianza cambia.  Si la covarianza es positiva la relación entre X, Y es directa (si la X aumenta, en general Y también lo hace).  Si la covarianza es negativa la relación entre X, Y es inversa (si la X aumenta, en general Y disminuye).  La covarianza no nos permite decir si la relación lineal que pueda haber entre X, Y es fuerte o débil.

Correlación lineal La correlación lineal se define por: Sus propiedades son:  Es un valor comprendido entre -1 y 1.  Es invariante para X, Y (si se cambian las unidades r no varía).  Si r > 0 , la relación es directa, y si r < 0 inversa.  Si r está cerca de 1 o -1 la relación lineal es fuerte. Si r está cerca de 0 la relación lineal es débil o muy débil.

Recta de regresión Si las variables X, Y tienen una relación lineal, la nube de puntos determina una tendencia. Las rectas de regresión son las rectas que mejor se ajustan a la nube, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias entre:  las ordenadas (recta Y sobre X) de los puntos de la nube y la recta buscada.  las abscisas (recta X sobre Y) de los puntos de la nube y la recta buscada. Las rectas de regresión pasan siempre por el centro de gravedad de la nube de puntos: . Su ecuación es: con:

Estimación La recta de regresión nos sirve para estimar (o predecir) valores que no figuran en la distribución de X, Y. La aproximación de los valores que se obtienen de esta manera suele ser buena cerca del centro de gravedad de la nube de puntos, y es aconsejable no salirse del rango de valores de la nube.