Jugadores de cartas. Caravaggio. Tema 3: Probabilidad Frecuencia y probabilidad Experiencias aleatorias Sucesos El modelo de la probabilidad Probabilidad condicionada Experiencias compuestas El teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes Jugadores de cartas. Caravaggio. Wikimedia Commons

Frecuencia y probabilidad Ley de los grandes números La probabilidad de un resultado es la proporción de veces que el resultado ocurre en un número muy grande de pruebas Es el límite al que tienden sus frecuencias relativas cuando n tiende a infinito. Lanzamiento de una ruleta

Experiencias aleatorias Sucesos Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio lo llamaremos espacio muestral y lo designaremos por E. Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral E. Los subconjuntos de E con un único elemento los llamaremos sucesos elementales. El espacio muestral E es un suceso que ocurre siempre y se llama suceso seguro. Llamaremos suceso imposible al que no ocurre nunca y es el subconjunto ø. Inclusión Unión Intersección Diferencia Complementación Incompatibilidad

El modelo de la probabilidad Definición axiomática de la probabilidad En una experiencia aleatoria cualquiera, sea E el espacio muestral asociado y consideramos el conjunto de sucesos ligados a la experiencia. Llamamos probabilidad a cualquier aplicación que satisfaga los axiomas siguientes Axioma 1: Para cualquier suceso A, P(A)≥0 Axioma 2: Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades Axioma 3: P(E) = 1 Regla de Laplace La probabilidad de un suceso A en un fenómeno aleatorio es siempre que todos los casos posibles sean igualmente probables.

Probabilidad condicionada Si A y B son sucesos de un experimento aleatorio y P(B) > 0, la probabilidad de A condicionada por B es Dos sucesos, A y B, son independientes cuando que ocurra uno no influye para que ocurra el otro. Entonces, En caso contrario, los sucesos son dependientes.

Experiencias compuestas Se llaman pruebas compuestas o experiencias compuestas a aquellas en las que se pueden distinguir dos o más etapas. El desarrollo de los sucesos de una experiencia compuesta se puede representar con un diagrama en árbol. En un diagrama en árbol: La probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de los pasos que lo forman. La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los caminos que conducen al suceso.

Teorema de la Probabilidad total y Teorema de Bayes Si A1, A2, ..., An es una familia de sucesos incompatibles dos a dos y tales que A1U A2 U ... U An = E, entonces, para cualquier suceso S se cumple que: P(S) = P(A1)·P(S|A1) + P(A2)·P(S|A2) + ... +P(An)·P(S|An) P(Ai) valoran la probabilidad de que se presente la circunstancia Ai; P(S|Ai) mide la probabilidad de que se produzca S en las circunstancias Ai ; P(S) es la probabilidad total de observar el suceso S. Teorema de Bayes En las mismas condiciones del teorema anterior