Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María EconometríaEconometría Capitulo II

Héctor Allende O. Estructura del Curso 1.- Introducción. 2.- Modelos de Asociación (Regresión) 2.1 Construcción de Modelos de Regresión 2.2 Verificación de Supuestos: Linealidad, Normalidad, Homocedasticidad, Independencia, etc 2.3 Contraste de Hipótesis y Estimación, en modelos de regresión. 3.- Modelos de clasificación 3.1 Árboles de Clasificación 3.2 Clasificación Bayesiana 3.3 Clasificación no parámetrica 4.- Modelos Estadísticos de Series de Tiempo 4.1 Suavizamiento Exponencial, Modelos Adaptivos 4.2 Modelos ARIMA, GARCH, ARMAX, ARFIMA, etc 5.- Modelos de Regresión libre ( Redes Neuronales, Series de Tiempo 6.-Aplicaciones y uso de software

Héctor Allende O. 3 Modelo de Regresión Modelo de Regresión  Modelo Explicativo Estático Supuestos básicos y ij, u ij : variables aleatorias dependiente ;  0,  1 : Parámetros y x i : variable explicativa determinística. Supuestos distribucionales. 1. E[u ij ]=0. 2. Var[u ij ]=  2, cte independiente de x. Perturbación es homocedástica. 3. u ij  N(0,  2 ). 4. E[u ij u kh ]=0,  (i,j)  (k,h)

Héctor Allende O E[y ij / x i ]= 2- Var[y ij ]=  f ( y ij / x i ) es normal 4- Las observaciones son independientes entre si 1.2 Estimación de parámetros Método de Máxima Verosimilitud. Función de Verosimilitud.

Héctor Allende O. 5 Derivando L( ) con respecto a los parámetros : y Método de Mínimos Cuadrados.

Héctor Allende O. Distribución de los Parámetros

Héctor Allende O Propiedades de 1.3 Propiedades de los estimadores.

Héctor Allende O Propiedades de

Héctor Allende O Propiedades de 

Héctor Allende O. 10 Prueba de hipótesis. Estadístico Para la región crítica P(F (1,n-2)  C )=1- , se rechaza H 0 para F 0 >C. 1.4 Contraste de regresión.

Héctor Allende O. 11 Prueba de hipótesis. Estadístico de Prueba : Para la región crítica P(F (d-2,n-d)  C )=1- , se rechaza H 0 para F 0 >C. 1.5 Contraste de linealidad.

Héctor Allende O. Transformaciones Sea y i = h ( x i ) con i = 1,...,n 1. Linealesy i = ax i + b y = ax + b S y =  a  S x 2. No linealesy i = ln x i = h( x i ) y = h(x) + h”(x) S X 2 S y 2  S x 2  h’ (x)  2 i.e.y = ln x - ( S x 2 / x 2 ) S y 2  ( S x 2 / x 2 ) = C V 2

Héctor Allende O. Relaciones Linealizables 1. y = K x  ln y = a 0 + a 1 ln x 2. y = K  (  / x )y = a 0  a 1 x y = K e  x ln y = a 0 + a 1 x 4. y = K e -  /x ln y = a 0 + a 1 x y t = K +  cos ty = a 0 + a 1 x t siendo x t = cos t 6. y ( ) = y - 1 = a 0 + a 1 x y -1 dy = a 1 w = dy dx ln w = ln a 1 + ( 1 - ) ln y

Héctor Allende O. Ejemplo de Regresión Simple t t V(t) V(t) Sea x t = sen ty t = V(t) Luegoy(t) = a + b x t + u t

Héctor Allende O. % de Ajuste del Modelo =

Héctor Allende O. 16 Tiene por objeto contrastar a posteriori las hipótesis de linealidad del modelo. Es especialmente importante cuando se tiene un solo valor de la variable y para cada valor de la variable de control x. El analisis de los residuos se utiliza para verificar: Si su distribución es aproximadamente normal. Si su variabilidad es constante y no depende de x. Si presentan evidencia de una relación no lineal. Si existen observaciones atípicas o hetereogéneas. 1.6 Análisis de residuos.

Héctor Allende O. 17 Si el diagrama de dispersión de las dos variables a investigar presenta claro indicios de no linealidad, se tiene que acudir a transformar las variables Transformaciones Box-Cox (1964). Esta familia es útil para conseguir linealidad cuando la relación es monótona. Estimación de máxima verosimilitud para ( ). Suponga m=0 y un tal que transforme la variable en normal. 1.7 Transformaciones en regresión simple.

Héctor Allende O. Para obtener el máximo en L( ,  2, ) se fija : Sea la media geométrica de las observaciones: Definiendo Se obtiene Donde VNE( ) es la variabilidad no explicada en una regresión de Z( ) sobre x.

Héctor Allende O Transformaciones para conseguir homocedasticidad. Luego si deseamos que S z = k constante. Entonces debe verificarse: Suponga que la relación observada es. Entonces: Consecuencia de las transformaciones. Sea la transformación El estimador E[y/x], será sesgado con sesgo proporcional a la varianza de la perturbación.

Héctor Allende O Estimaciones de las medias condicionales. Intervalo de confianza para las medias. Estimaciones de las medias condicionales. Se desea prever el valor de y para x = x h. Intuitivamente Criterio de predicción. Error cuadrático medio mínimo 1.8 Predicción.

Héctor Allende O. Intervalo de Confianza para las observaciones Coeficiente de Correlación. Coeficiente de determinación: Coeficiente de correlación: Relación entre y r :

Héctor Allende O Inferencia sobre el coeficiente de correlación. Utilizando la transformación de Fisher: Si (x,y) es una normal bivariada, entonces Z es Donde  es el verdadero coeficiente de correlación de la población. 1. La prueba  =0   1 =0. 2.