interpolación Jessica Hernández Jiménez

Conceptos Básicos ¿Qué es Interpolación? Consiste en determinar la expresión de una función predeterminada que coincide con la relación que se desea aproximar en cada uno de los puntos conocidos de esta última. En este caso la relación deben cumplir con la definición de función. Métodos de Interpolación Lineal: consiste en unir dos puntos con una línea recta. Cuadrática: estrategia para mejorar la estimación es introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos. Método de Newton de las diferencias divididas: Consiste en realizar la interpolación en un punto de forma sucesiva

INTERPOLACIÓN LINEAL Utilizando triángulos semejantes Reordenando La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta. Dicha técnica, llamada interpolación lineal, se ilustra de manera gráfica en la figura Que es una fórmula de interpolación lineal. La notación f(x) designa que es una interpolación de polinomios de primer orden. Observe que además de representar la pendiente de la línea que conecta los puntos, el término \f(xx) — f(x0)]/(xx — x0 ) es una aproximación por diferencia dividida finita de la primera derivada . En general, cuanto más pequeño sea el intervalo de datos, mejor será la aproximación. Esto se debe al hecho de que, en tanto el intervalo disminuya, una función continua se aproximará mejor por una línea recta. Utilizando triángulos semejantes f(x) Reordenando f(x1) f1(x) x1 f(x0) x0 x

ejemplo f(x) = ln x Valor verdadero f1(x) Estimaciones lineales Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. Primero, realice el cálculo por interpolación entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.791759.Después, repita el procedimiento, pero use un intervalo más pequeño de ln 1 a ln 4 (1.386294). Observe que el valor real de ln 2 es 0.6931472. (1). interpolación lineal para ln(2) de x0 = 1 a x1 = 6 para dar (2).Que representa un error de et = 48.3%. Con el intervalo más pequeño de, x0 = 1 a xx = 4 se obtiene f(x) = ln x Así, con el intervalo más corto se reduce el error relativo porcentual a et — 33.3%. Valor verdadero f1(x) Estimaciones lineales

INTERPOLACIÓN CUADRATICA La interpolación cuadrática tiene la ventaja del hecho que un polinomio de segundo orden con frecuencia proporciona una buena aproximación a la forma de f(x) cercana a un óptimo Polinomio cuadrático f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) (1) simplificado f2(x) = b0 + b1x – b1x0 + b2x2 + b2x0 x1 – b2xx0 – b2xx1 Podemos escribirlo como f2(x) = a0 + a1x + a2x2 Donde a0 = b0 – b1x0 + b2x0 x1, a1 = b1 – b2x0 – b2x1, a2=b2 Podemos evaluar b0, b1 y b2 sustituyendo x0, x1 y x2 en la ecuación (1), se obtiene b0 = f(x0) Aproximación cuadrática del máximo F(x) Máximo real Función Real Función Cuadrática x x0 x1 x3 x2

Ejemplo Valor real ln 2 = 0.6931472 Error relativo porcentual = 18.4% Calculemos ln 2 con ln 4 y ln 6, los punto que se conocen son: x0 = 1 f(x0) = 0 x1 = 4 f(x0) = 1.386294 x0 = 6 f(x0) = 1.791759 Aplicando las ecuaciones. anteriores b0 = 0 b1 = (1.386294 – 0) (4 – 1) =0.4620981 b2 = (1.791759 – 1.386294) (6 – 4) −0.4620981 (6 – 1) =– 0.0518731 El polinomio es f2(x) = 0.4620981(x – 1) – 0.0518731(x – 1)(x – 4) f2(2) = 0.5658444 f(x) = ln x Valor verdadero Valor real ln 2 = 0.6931472 Error relativo porcentual = 18.4% Estimación cuadrática Estimación lineal

INTERPOLACIÓN POLINOMICA Forma general de la interpolación de polinomios de Newton La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de coordenadas A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas coordenadas.

INTERPOLACIÓN POLINOMICA Forma general de la interpolación de polinomios de Newton Polinomio general (El polinomio de n-ésimo orden ) fn(x) = b0 + b1(x – x0) +...+ bn(x – x0)(x – x1)... (x – xn–1) Los coeficientes se calculan con b0 = f(x0) b1 = f [x1, x0] b2 = f [x2, x1, x0] bn = f [,xn, xn–1, ..., x1, x0] Donde los paréntesis cuadrados se denominan diferencias divididas finitas.La n-ésima diferencia dividida finita es: Se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas.

EJEMPLO los datos e n x0 = 1,x1 = 4 yx2 = 6 se utilizaron para estimar ln 2 con una parábola. Ahora, agregando un cuarto punto (x3 = 5; f(x3) = 1.609438], calcule el ln 2 con una interpolación del polinomio de Newton de tercer orden. x0 = 1 f(x0) = 0 x1 = 4 f(x1) = 1.386294 x2 = 6 f(x3) = 1.791759 x3 = 5 f(x2) = 1.609438 primeras diferencias f [x1, x0] = (1.386294 – 0) (4 – 1) =0.4602981 f [x2, x1] = (1.791759 – 1.386294) (6 – 4) = 0.2027326 f [x3, x2] = (1.609438 – 1.791759) (5 – 6) =0.1823216 Segundas diferencias f [x2, x1, x0] = (0.2027326 – 0.4602981) (6 – 1) = –0.05187311 f [x3, x2, x1] = (0.1823216 – 0.2027326) (5 – 4) = –0.02041100 tercera diferencia f [x3, x2, x1 , x0] = (–0.02041100–(–0.05187311)) (5 – 1) = 0.007865529 Polinomio f3(x) = 0 + 0.4602981(x – 1) –0.05187311(x – 1) (x – 4) + 0.007865529(x – 1) (x – 4) (x – 6) Valor calculado con el polinomio f3(2) = 0.6287686 f3(x) Valor verdadero Estimación cúbica