ÁLGEBRA 1

3.1) ÁLGEBRA El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y además las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. Álgebra es la parte de las matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos de las operaciones aritméticas. 2

UN NÚMERO CUALQUIERAX SUCESOR DE UN NÚMEROX + 1 ANTECESOR DE UN NÚMEROX – 1 DOBLE DE UN NÚMERO2X TRES NÚMEROS CONSECUTIVOSX, X + 1, X + 2 EL CUADRADO DE UN NÚMEROX² UN NÚMERO AUMENTADO EN 3X + 3 LA MITAD DE UN NÚMEROX/2 3

2. UTILIDAD Y SIGNIFICADO En el lenguaje algebraico utilizamos letras para números de valor desconocido o indeterminado. UTILIDADES:  Para expresar propiedades de las operaciones aritméticas Ejemplo; la propiedad distributiva: “el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos parciales del número por cada sumando” a. (b + c) = a. b + a. c 4

 Para manejar números de valor indeterminado y sus operaciones (expresiones lagebraicas) Ejemplos: Un número natural … a El siguiente número natural … a + 1 El doble del número … 2a Otro número ocho unidades menor … a – 8 El cuadrado del número más el triple del número … a² + 3a 5

 Para expresar relaciones que faciliten la resolución de problemas (ecuaciones) Ejemplo, encuentra un número tal que el cuádruplo del número más veinte unidades sea igual a sesenta y ocho. 4 a + 20 = 68 4 a = 68 – 20 4 a = 48 a = 48/4 = 12 6

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y paréntesis, relacionados con las operaciones. Los elementos de una expresión algebraica son: TÉRMINOS,TÉRMINOS, cada uno de los sumandos TÉRMINO INDEPENDIENTETÉRMINO INDEPENDIENTE, el que solo tiene parte numérica VARIABLESVARIABLES, cantidades desconocidas. Se representan generalmente con x, y, z COEFICIENTECOEFICIENTE, parte numérica que multiplica las variables 7

Ejemplo de una expresión algebraica y sus términos 8 Expresión algebraica TérminosTérmino independiente VariablesCoeficientes 5x² - 2y + 65x², 2y, 66x, y5, 2, 6 Valor numérico de una expresión algebraica Es el valor numérico que toma la expresión algebraica cuando sustituimos las letras por números y realizamos las operaciones. Ejemplos: EXPRESIÓN ALGEBRAICA VALOR QUE LE DAMOS A LAS LETRAS VALOR NUMÉRICO EXPRESIÓN ALGEBRAICA 4 aa = = 8 2 x3x = = 162 x + 3yx = 2, y = = 18

ACTIVIDAD EXPRESIÓN ALGEBRAICA VALOR QUE LE DAMOS A LA LETRA VALOR NUMÉRICO EXPRESIÓN ALGEBRAICA x + yx = 3, y = 12 3 a + b - ca = 5, b = 3, c = 4 ½ xx = 10 2x + 1x = ) MONOMIO Un monomio es el producto indicado de un valor conocido, representado por un número (coeficiente), por uno o varios valores desconocidos, representado por letras (parte literal). La parte literal puede tener exponentes

) GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio es el exponente de la variable que forma la parte literal. Si tiene más de una variable se suman los exponentes.

3.1.2) MONOMIOS SEMEJANTES Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. 2x ; -3x ; x. Son monomios semejantes, ya que la parte literal es idéntica ) VALOR NUMÉRICO DE UM MONOMIO El valor numérico de um monomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable o variables por um número al hacer las operaciones 11

Ejemplo, el valor numérico de 3x2y y para los valores de x = 2 e y = 3 será: 3x2y = 3. (2)2. 3 = = ) OPERACIONES CON MONOMIOS SUMA Y RESTA DE MONOMIOS  SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Si los monomios son semejantes: Se suman o restan los coeficientes y se pone la misma parte literal 12

Si los monomios no son semejantes La suma o la resta se deja indicada, tal y como está, quedando un polinomio cuyos términos son los monomios dados. Ejemplo, Sumar los monomios 5x5, 3x4, 4x3, y restarle los monomios 3x2, 6x. 5x5 + 3x4 + 4x3 – 3x2 – 6x MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS  MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Se pueden multiplicar todos los monomios sean o no semejantes 13

El producto de dos o más monomios da como resultado otro monomio que va a tener como coeficiente el producto de los coeficientes y como parte literal la misma, con exponente la suma de los exponentes 2x4·3x3·2x·(- 4x2) = [2·3·2·(-4)] x = -48 x10 DIVISIÓN DE MONOMIOS  DIVISIÓN DE MONOMIOS Se pueden dividir todos los monomios, sean o no semejantes. La división de dos monomios da como resultado otro monomio que va a tener como coeficiente 14

el cociente entre los coeficientes, y como parte literal la misma, con exponente la diferencia o resta de los exponentes. Para que el resultado sea un monomio, el grado del numerador tiene que ser mayor o igual que el grado del denominador. 15

3.2) POLINOMIOS suma o resta de varios monomios  Polinomio es la suma o resta de varios monomios. Cada uno de los monomios es un término y si hay un término que no tiene parte literal (letras) es un término independiente. grado de un polinomio  El grado de un polinomio es el grado de del monomio de mayor grado coeficientes de un polinomio  Los coeficientes de un polinomio son los coeficientes de los monomios que lo forman término independiente  El término independiente de un polinomio es el monomio que no tiene parte literal (letras) 16

Ejemplo: sea el polinomio x5-4x3+5x2+8x-9 17 TÉRMINOSGRADOCOEFICIENTESTÉRMINO INDEPENDIENTE x5, -4x3, 5x2, 8x, -951, -4, 5, 8, -9-9 valor numérico del polinomio Ejemplo: calcular el valor numérico del polinomio x5-4x3+5x2+8x-9 para un valor de x = 2. Lo que hacemos es sustituir em el polinomio la variable x por el valor ·23+5·22+8·2-9 = 32-4·8+5·4+8·2-9 = = 27 El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable por un número

3.2.1) OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMAR POLINOMIOS  SUMAR POLINOMIOS 1)Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de forma que coincidan los monomios semejantes. 2)Se suman los coeficientes de los monomios semejantes y se pone la misma parte literal. Ejemplo Ejemplo: sumar los polinomios P(x) = 10x5- 18x3+14x2+16; Q(x) = -6x4+8x3-6x2+12x-4 18

 RESTAR POLINOMIOS Para restar polinomios, lo que se hace es sumar al primero el opuesto del segundo. Ejemplo: dados P(x) = 10x5-18x3+14x2+16 ; Q(x) = -6x4+8x3-6x2+12x-4. Calcular P(x)-Q(x) 19

MULTIPLICAR POLINOMIOS  MULTIPLICAR POLINOMIOS 1)Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de forma que coincidan los monomios semejantes. Si falta algún grado, se deja un hueco 2)Para multiplicar polinomios se empieza por la izquierda y se multiplican el primer monomio del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio; los coeficientes se multiplican y los exponentes se suman 3)Se continúa multiplicando los demás monomios del segundo polinomio 4)Se suman todos los polinomios obtenidos 20

Ejemplo: multiplicar los polinomios P(x) · Q(x) P(x) = 4x3-6x2 +5 Q(x) = 2x2-8x+6 Se debe comenzar a multiplicar por la izquierda. Primero se multiplican los signos, a continuación los coeficientes y por último se suman los exponentes. 21

4. PRODUCTOS NOTABLES  CUADRADO DE UNA SUMA El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo (a+b)2 = a2+2ab+b2 Ejemplo: (x+5)2 = x2+2·x·5+52 = x2 +10x +25  CUADRADO DE UNA DIFERENCIA El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo 22

(a - b)2 = a2 - 2ab+b2 Ejemplo: (x-5)2 = x2 - 2·x·5+52 = x2 - 10x +25  SUMA POR DIFERENCIA Una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo (a + b) · (a - b) = a2 - b2 Ejemplo: (x+5)·(x-5) = x2 – 52  DESCOMPOSICIÓN DE POLINOMIOS EM FACTORES 23

Descompón en factores el polinomio x2- 8x+16 x2 - 8x + 16 = x2 - 2·x· = (x-4)2 5. EXTRAER FACTOR COMÚN En las expresiones algebraicas podemos encontrarnos que éstas están formadas por sumandos que son productos y, además, en estos productos hay un factor que se repite, es decir, que es común en todos los sumandos. factor “a”, COMÚN Así, en la expresión a.b + a.c + a.e – a.f, observamos que en los sumandos o restandos son productos. Además, en todos los sumandos que son productos hay un factor, que es el factor “a”, que se repite, es decir, es COMÚN 24

Podemos transformar esta suma en un producto sacando factor común y colocando un paréntesis a·b + a·c +a·d – a·e = a · (b + c +d – e) 25