Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Computación ENSAMBLADOR MC BEATRIZ BELTRÁN MARTÍNEZ

Sistemas de Numeración MC BEATRIZ BELTRÁN MARTÍNEZ PRIMAVERA 2016

Introducción Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como: N =( S, R ) donde: ◦ N es el sistema de numeración considerado. ◦ S es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. ◦ R son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Introducción Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema. MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Representación Sea R (base o radio) un número mayor o igual que 2, entonces pueden representarse números entero no negativos como una cadena de dígitos escogidos entre 0, 1, 2,..., R-1. La base de un sistema numérico es el número de dígitos que pueden aparecer en cada posición en el sistema numérico. ◦Ejemplo: R=3 dígitos={0,1,2} MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Sea el número a k a k-1 ….a 1, un entero en base R. Para convertir este número de base R a base Q utilizamos la conversión: ◦a k R k-1 +a k-1 R k-2 +…+a 1 R 0 Expresión 1 Donde R es la base en la que se encuentra el número (base actual), k es el número de dígitos que conforman el número y Q es la nueva base (se debe trabajar con aritmética en base Q). MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Convertir (100110) 2  ( ) 10 ◦R◦R=2, k=6, Q=10 ◦a◦a 6 =1, a 5 =0, a 4 =0, a 3 =1, a 2 =1, a 1 =0 1* * * * * *2 6-6 = 1*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 1*2 5 +1*2 2 +1*2 1 = = 38 MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Convertir (4302) 5  ( ) 3 ◦R=5, Q=3, k=4 ◦a 4 =4, a 3 =3, a 2 =0, a 1 =2 ◦Se debe trabajar con aritmética en base 3, por lo tanto necesitamos las tablas de suma y multiplicación en base 3. 4*5 3 +3*5 2 +0*5 1 +2*5 0 = 11* * *12 0 = 11* *221+2*1 = = MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO En Base 3

221* Conversión entre Bases +012* MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO *

Conversión entre Bases Para pasar un número entero N de base 10 a base R se deben realizar las siguientes operaciones: ◦Dividir el número N en base 10 entre la base a convertir. ◦Se toma el cociente C i y se vuelve a dividir entre la base. ◦Este proceso se continua hasta que el cociente C n sea menor que R. ◦El número en base 10, se toma primero el último cociente obtenido (C n ) y de ahí del último residuo al primero. MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases C 1 C 2 C n R N R C 1 R C n-1 b m b m-1 b 1 Donde C n <R El número en base R es: C n b 1 … b m-1 b m MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO …

Conversión entre Bases Convertir (541) 10  ( ) Por lo que (541) 10  (202001) 3. MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Para convertir la parte fraccionaria 0.d de base 10 a base R, se procede: ◦Se toma la fracción 0.d y se multiplica por la base. ◦Del resultado obtenido d i.b i se vuelve a tomar la fracción 0.b i y se procede de igual manera. ◦Este proceso se puede continuar en n – iteraciones o bien cuando la parte entera d i sea cero. ◦La parte entera d i de los resultados, va a conformar la fracción en base R. MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases 0.d * R = d 1.b 1 0.b 1 * R = d 2.b 2 … 0.b t * R = d t+1.b t+1 Donde d t+1 puede ser cero. La fracción en base R es: 0.d 1 d 2 d 3 … d t d t+1 MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Convertir (0.75) 10  ( ) * 2 = * 2 = 1.0 Por lo que (0.75) 10  (0.11) 2. Convertir (0.256) 10  ( ) * 7 = * 7 = * 7 = Por lo que (0.256) 10  (0.153) 7 MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO La parte decimal ya es cero

Conversión entre Bases Conversión de números de base R a base 10 (donde R  10). Algoritmo 1. (a k a k-1 …a 2 a 1 ) R ◦(Regla de Horner para la evaluación de polinomios) 1. i  k, num  0 2. Mientras i>=1 hacer num  num*R+a i i  i-1 fin_mientras 3. Fin MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Conversión de números de base 10 a base S (donde S  10). Algoritmo i  1, q  0, p  0 2. Repetir q  [x/s] (parte entera) p  x-q*s (residuo) a i  p, i  i+1, x  q hasta q=0 3. Fin MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Conversión de números de base X a base 10 (donde X  10). Algoritmo 3. (0.b 1 b 2 … b m ) X ◦Números fraccionarios 1. i  m, num  0 2.Mientras i>=1hacer num  (num+bi)/X i  i-1 fin_mientras 3. Fin MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Conversión de números de base 10 a base S (donde S  10). Algoritmo 4. ◦Números fraccionarios 1. i  1 2. Mientras i <= m hacer x  x*s y  [x] (parte entera) x  x-y, b i  y, i  i+1 fin_mientras 3. Fin MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases Conversión de potencias de 2 ◦Para convertir números de base 2 a base k=2 x donde x>1 y es un número entero, se llevan a cabo los siguientes pasos: ◦Se agrupan de x en x los dígitos que se encuentran a la izquierda del punto, comenzando a partir de él y aumentando ceros a la izquierda cuando es necesario. ◦Se agrupan de x en x los dígitos que se encuentran a la derecha del punto comenzando a partir de éste y aumentando ceros a la derecha cuando sea necesario. ◦Se sustituyen los grupos por los dígitos correspondientes en la base k. MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO

Conversión entre Bases ( ) 2  ( ) 16 Donde 16= C ◦Por lo que ( ) 2  (394.6C) 16 Para convertir números de base k=2 x a base 2, se sustituye cada dígito en base k por los x dígitos binarios correspondientes. ( ) 8  ( ) 2 Donde 8= ◦Por lo que ( ) 8  ( ) 2 MC Beatriz Beltrán Martínez ENSAMBLADOR OTOÑO