Recta de Presupuesto y otras restricciones en el óptimo del consumidor Capítulo 2 Recta de Presupuesto y otras restricciones en el óptimo del consumidor

Consumption Choice Sets El conjunto de opciones de consumo del consumidor es el conjunto de todas las canastas factibles para el consumidor. ¿Qué restringe las elecciones del consumidor? Su presupuesto, el tiempo y otras limitaciones de recursos.

Restricción de Presupuesto Una canasta de consumo que contiene x1 unidades del bien 1, x2 unidades del bien 2 y así hasta xn unidades del bien n se expresa a través del vector (x1, x2, … , xn). Los precios de los bienes son p1, p2, … , pn.

Pregunta: ¿cuándo se puede decir que una canasta (x1, … , xn) es factible a los precios p1, … , pn?

Respuesta: cuando p1x1 + … + pnxn £ m donde m es el ingreso disponible del consumidor.

Las canastas exáctamente factibles representan la restricción de presupuesto del consumidor. Es el conjunto { (x1,…,xn) | x1 ³ 0, …, xn ³ 0 y p1x1 + … + pnxn = m }.

El conjunto presupuestario del consumidor es el conjunto de todas las canastas factibles; B(p1, … , pn, m) = { (x1, … , xn) | x1 ³ 0, … , xn ³ 0 y p1x1 + … + pnxn £ m } La restricción de presupuesto es la frontera superior del conjunto presupuestario.

Conjunto presupuestario y restricción presupuestaria para dos bienes x2 La restricción de presupuesto es p1x1 + p2x2 = m. m /p2 m /p1 x1

x2 La restricción de presupuesto es p1x1 + p2x2 = m. m /p2 m /p1 x1

x2 m /p2 x1 m /p1 La restricción de presupuesto es p1x1 + p2x2 = m. Exáctamente factible m /p1 x1

x2 m /p2 x1 m /p1 La restricción de presupuesto es p1x1 + p2x2 = m. No es factible Exáctamente factible m /p1 x1

x2 m /p2 x1 m /p1 La restricción de presupuesto es p1x1 + p2x2 = m. No es factible Exáctamente factible factible m /p1 x1

x2 m /p2 x1 m /p1 La restricción de presupuesto es p1x1 + p2x2 = m. El conjunto de todas las Canastas factibles Conjunto presupuestario m /p1 x1

x2 m /p2 x1 m /p1 p1x1 + p2x2 = m es igual a x2 = -(p1/p2)x1 + m/p2 donde -p1/p2 es la pendiente. m /p2 Conjunto presupuestario m /p1 x1

Restricción de Presupuesto Si n = 3 ¿cómo se presentan el conjunto presupuestario y la restricción presupuestaria?

Restricción de Presupuesto para tres bienes x2 p1x1 + p2x2 + p3x3 = m m /p2 m /p3 x3 m /p1 x1

{ (x1,x2,x3) | x1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0 y p1x1 + p2x2 + p3x3 £ m} x2 m /p2 m /p3 x3 m /p1 x1

Para n = 2 y x1 en el eje horizontal, la pendiente de la restricción de presupuesto es -p1/p2. ¿Cuál es su significado?

Para n = 2 y x1 en el eje horizontal, la pendiente de la restricción de presupuesto es -p1/p2. ¿Cuál es su significado? Si incrementamos x1 en una unidad, debemos reducir x2 en p1/p2 .

x2 Pendiente es -p1/p2 -p1/p2 +1 x1

x2 -p1/p2 +1 x1 El costo de oportunidad de una unidad adicional del bien 1 es p1/p2 unidades sacrificadas del bien 2. -p1/p2 +1 x1

x2 +1 -p2/p1 x1 Y el costo de oportunidad de una unidad adicional del bien 2 es p2/p1 unidades sacrificadas del bien 1. +1 -p2/p1 x1

Conjunto Presupuestario y Restricción Presupuestaria; cambios en el precio y en el ingreso La restricción y el conjunto presupuestario dependen de los precios y del ingreso. ¿Qué sucederá si cambian los precios o el ingreso?

Conjunto Presupuestario y Restricción Presupuestaria cuando se incrementa el ingreso x2 Conjunto presupuestario original x1

Ingresos más altos nos brindan mayores opciones factibles x2 Nuevas opciones de consumo factibles La restricción de presupuesto original y la nueva restricción, son paralelas (tienen la misma pendiente). Conjunto presupuestario original x1

¿Y qué sucede si el ingreso disminuye? x2 Conjunto presupuestario original x1

x2 x1 Canastas de consumo que ya no son factibles. La nueva y la original Restricción de presupuesto Son paralelas. Nuevo y menor conjunto presupuestario x1

Restricción de presupuesto frente a cambios en el ingreso Incrementos en m desplazan la restricción hacia afuera paralelamente a sí misma, incrementando el conjunto presupuestario y mejorando las opciones del consumidor.

Reducciones de m desplazan la restricción hacia adentro paralelamente así misma, reduciendo el conjunto presupuestario y las opciones del consumidor.

Ninguna opción inicial se pierde y nuevas opciones se añaden cuando se incrementa el ingreso; en consecuencia, un mayor ingreso no puede empeorar la situación del consumidor. Una disminución del ingreso puede (generalmente lo hace) empeorar la situación del consumidor.

Restricción de presupuesto frente a cambios en los precios ¿Qué sucederá si uno de los precios disminuye? Supongamos que p1 disminuye.

¿Cómo cambian el conjunto y la restricción presupuestaria cuando p1 disminuye de p1’ a p1”? x2 m/p2 -p1’/p2 Conjunto presupuestario original m/p1’ m/p1” x1

x2 m/p2 -p1’/p2 m/p1’ m/p1” x1 Nuevas opciones factibles Conjunto presupuestario original m/p1’ m/p1” x1

x2 m/p2 -p1’/p2 -p1”/p2 m/p1’ m/p1” x1 Nuevas opciones factibles La restricción de presupuesto pivota; la pendiente se hace más plana de -p1’/p2 a -p1”/p2 -p1’/p2 Conjunto presupuestario original -p1”/p2 m/p1’ m/p1” x1

Restricción de presupuesto frente al cambio en los precios Reduciendo el precio de uno de los bienes, la restricción de presupuesto pivota hacia afuera. Ninguna opción inicial se pierde y nuevas opciones se añaden; en consecuencia, al reducirse el precio de uno de los bienes el consumidor no puede estar peor.

De manera similar, si se incrementa el precio de un bien, la recta de presupuesto pivota hacia adentro, se reducen las opciones factibles y el consumidor puede (generalmente sucede) estar peor.

Impuesto Ad Valorem Un impuesto ad valorem de 5% incrementa todos los precios en 5%, de p a (1+0×05)p = 1×05p. Un impuesto ad valorem de una tasa t incrementa todos los precios en tp de p a (1+t)p. Un impuesto uniforme se aplica uniformemente a todos los bienesA uniform sales tax is applied.

Un impuesto uniforme de una tasa t cambia la restricción de presupuestode p1x1 + p2x2 = m a (1+t)p1x1 + (1+t)p2x2 = m

O, lo que es lo mismo: p1x1 + p2x2 = m/(1+t).

x2 p1x1 + p2x2 = m x1

x2 p1x1 + p2x2 = m p1x1 + p2x2 = m/(1+t) x1

x2 La perdida equivalente de ingreso es x1

x2 x1 Un impuesto uniforme a Una tasa t es equivalente a un impuesto Sobre los ingresos a la tasa x2 x1

El programa de cupones de alimentos Son cupones que pueden ser cambiados únicamente por alimentos. ¿Cómo afecta un cupón de alimentos a la restricción de presupuesto?

Supongamos que m = $100, pF = $1 y el precio de los “otros bienes” es pG = $1. La restricción de presupuesto es F + G =100.

G F + G = 100 (antes de los cupones) 100 F 100

G F + G = 100 (antes de los cupones) 100 F 100

G 100 F 40 100 140 F + G = 100 (antes de los cupones) Conjunto presupuestario después de un cupón de 40 unidades de alimentos. F 40 100 140

G 100 F 40 100 140 F + G = 100 (antes de los cupones) Conjunto presupuestario después de un cupón de 40 unidades de alimentos. El conjunto presupuestario es ahora mayor que antes. F 40 100 140

¿Y qué sucederá si los cupones de alimentos pueden ser vendidos en el mercado negro a $0.50 la unidad?

G 120 100 F 40 100 140 F + G = 100 (antes de los cupones) Conjunto presupuestario después de un cupón de 40 unidades de alimentos. Restricción de presupuesto con mercado negro. F 40 100 140

G 120 100 F 40 100 140 F + G = 100 (antes de los cupones) Conjunto presupuestario después de un cupón de 40 unidades de alimentos. El mercado negro hace que el conjunto presupuestario sea mayor que antes. F 40 100 140

Restricción de Presupuesto, precios relativos “Numerario” significa “unidad de cuenta”. Supongamos que los precios y el ingreso se miden en dólares. Digamos que p1=$2, p2=$3, m = $12. Entonces la restricción de presupuesto es 2x1 + 3x2 = 12.

Si los precios y el ingreso son medidos en centavos, entonces p1=200, p2=300, m=1200 y la restricción de presupuesto es 200x1 + 300x2 = 1200, igual a 2x1 + 3x2 = 12. Cambiando el numerario no cambia la restricción de presupuesto ni el conjunto presupuestario.

La restricción para p1=2, p2=3, m=12 2x1 + 3x2 = 12 es también 1 La restricción para p1=2, p2=3, m=12 2x1 + 3x2 = 12 es también 1.x1 + (3/2)x2 = 6, la restricción para p1=1, p2=3/2, m=6. Haciendo p1=1 el bien 1 funciona como numerario y define todos los precios en relación a p1; así 3/2 es el precio del bien 2 en relación al precio del bien 1.

Cualquier bien puede ser escogido como numerario sin modificar el conjunto presupuestario o la restricción de presupuesto.

p1=2, p2=3 y p3=6  Precio del bien 2 en relación al bien 1 es 3/2, Precio del bien 3 en relación al bien 1 es 3. Los precios relativos son las tasas de cambio del bien 2 y el bien 3 en unidades del bien 1.

Formas de la restricción de presupuesto Pregunta: ¿Qué determina que la restricción de presupuesto sea una línea recta? Respueta: Una línea recta tiene una pendiente constante y la restricción de presupuesto es p1x1 + … + pnxn = m en consecuencia, si los precios son constantes la restricción es una línea recta.

¿Pero y si los precios no son constantes? Por ejemplo, descuentos por compras mayores o penalidades por compras mayores. Entonces la restricción será expresada mejor por una curva.

Descuentos por cantidad Supongamos que p2 es constante e igual a $1 pero que p1=$2 para 0 £ x1 £ 20 y p1=$1 para x1>20.

Entonces la pendiente es - 2, para 0 £ x1 £ 20 y -p1/p2 = - 1, para x1 > 20 y la restricción es

pendiente = - 2 / 1 = - 2 (p1=2, p2=1) x2 m = $100 pendiente = - 2 / 1 = - 2 (p1=2, p2=1) 100 pendiente = - 1/ 1 = - 1 (p1=1, p2=1) x1 20 50 80

pendiente = - 2 / 1 = - 2 (p1=2, p2=1) x2 m = $100 pendiente = - 2 / 1 = - 2 (p1=2, p2=1) 100 pendiente = - 1/ 1 = - 1 (p1=1, p2=1) x1 20 50 80

x2 m = $100 x1 80 100 20 50 Restricción de Presupuesto Conjunto presupuestario x1 20 50 80

Penalidad por compras mayores x2 Restricción Presupuestaria Conjunto presupuestario x1

Precio Negativo El bien 1 es basura apestosa. A Ud. Se le paga $2 por unidad para aceptarla; es decir p1 = - $2. p2 = $1. El ingreso, sin tener en cuenta la aceptación del bien 1 es m = $10. Entonces la restricción es - 2x1 + x2 = 10 ó x2 = 2x1 + 10.

x2 x2 = 2x1 + 10 10 x1 La pendiente de la restricción es -p1/p2 = -(-2)/1 = +2 10 x1

x2 10 x1 El conjunto presupuestario son todas las canastas tales que x1 ³ 0, x2 ³ 0 y x2 £ 2x1 + 10. 10 x1

More General Choice Sets Las opciones del consumidor también se restringen por variables diferentes al ingreso; por ejemplo la restricción de tiempo y la restricción de otros recursos. Una canasta es factible solo si enfrenta a cada restricción.

Otros bienes Alimentos 10 Al menos 10 unidades De alimento deben ser Consumidos para sobrevivir Alimentos 10

Otros bienes También restringido Por el presupuesto Alimentos 10 Conjunto presupuestario Alimentos 10

Otros bienes Alimentos 10 También fuertemente limitado por la retricción de tiempo Alimentos 10

¿Entonces, cual es el conjunto de canastas factibles?

Otros bienes Alimentos 10

Otros bienes Alimentos 10

Otros bienes Alimentos 10 Es la intersección de todas las restricciones Alimentos 10