Capítulo 17 Tecnología

Es un proceso mediante el cual los insumos son convertidos en producto. Por ejemplo, el trabajo, un proyector, un computador, la electricidad y el software, se combinan para producir ésta clase.

Generalmente diversas tecnologías producirán el mismo producto Generalmente diversas tecnologías producirán el mismo producto. Una pizarra y tiza pueden ser empleados en lugar del proyector y el computador. ¿Cuál es la “mejor” tecnología? ¿Cómo podemos comparar tecnologías?

Conjunto de insumos xi denota la cantidad empleada del insumo i; Un conjunto de insumos es el vector de cantidades de los insumos; (x1, x2, … , xn). Por ejemplo: (x1, x2, x3) = (6, 0, 9×3).

Función de Producción y denota el nivel de producción. La función de producción determina la cantidad máxima de producción posible a partir del conjunto de insumos.

Un insumo, un producto y = f(x) es la función de producción. y’ x’ x y’ = f(x’) es el máximo nivel de producción que se puede obtener de x’ unidades del insumo. x’ x Cantidad de insumo

Conjunto de tecnologías Un plan de producción es un conjunto de insumos y un nivel de producción; (x1, … , xn, y). Un plan de producción es factible si El conjunto de todos los planes factibles de producción es el conjunto de tecnologías.

Un insumo, un producto y = f(x) es la función de producción. y’ y” x’ y’ = f(x’) es el máximo nivel de producción que se puede obtener de x’ unidades del insumo. y” y” = f(x’) es un nivel de producción factible con x’ unidades del insumo. x’ x Cantidad de insumo

El conjunto de tecnologías es

Un insumo, un producto y’ Conjunto de tecnologías y” x’ x producción Cantidad de insumo

Un insumo, un producto y’ Conjunto de tecnologías y” x’ x producción Planes tecnológicamente efecientes y’ Conjunto de tecnologías y” Planes tecnológicamente ineficientes x’ x Cantidad de insumo

Tecnologías con múltiples insumos ¿Cómo se presenta el problema cuando tenemos más de un insumo? El caso de dos insumos: las cantidades de los insumos son x1 y x2. El nivel de producción es y. Supongamos la siguiente función de producción

Por ejemplo, el máximo nivel de producción factible con el conjunto de insumos (x1, x2) = (1, 8) es Y el máximo nivel de producción factible con el conjunto de insumos (x1,x2) = (8,8) es

y x2 (8,8) (8,1) x1

Una isocuanta es el conjunto de todos los insumos que generan como máximo el mismo nivel de producción y.

Isocuantas con dos insumos x2 y º 8 y º 4 x1

Las isocuantas se pueden graficar añadiendo el eje de producción y mostrando cada una de las isocuantas a una cierta altura correspondiente al nivel de producción.

y y º 8 y º 4 x2 x1

Más isocuantas nos dicen más sobre la tecnología de producción.

x2 y º 8 y º 6 y º 4 y º 2 x1

y y º 8 y º 6 y º 4 x2 y º 2 x1

El conjunto de isocuantas es el mapa de isocuantas. El mapa de isocuantas es equivalente a la función de producción Por ejemplo

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

y x1

y x1

y x1

y x1

y x1

y x1

y x1

y x1

y x1

y x1

Tecnologías a laCobb-Douglas Una función de producción a la Cobb-Douglas es de la forma 

x2 Todas las isocuantas son hipérbolas, son asintóticas a los ejes y nunca se tocan con ellos. x1

x2 Todas las isocuantas son hipérbolas, son asintóticas a los ejes y nunca se tocan con ellos. x1

x2 Todas las isocuantas son hipérbolas, son asintóticas a los ejes y nunca se tocan con ellos. x1

x2 Todas las isocuantas son hipérbolas, son asintóticas a los ejes y nunca se tocan con ellos. > x1

Tecnología de proporciones fijas Una función de producción de proporciones fijas es de la forma

x2 x1 = 2x2 min{x1,2x2} = 14 7 4 min{x1,2x2} = 8 2 min{x1,2x2} = 4 4 8 14 x1

Tecnología de insumos sustitutos perfectos Una función de producción con insumos sustitutos perfectos es de la forma

x2 x1 + 3x2 = 18 x1 + 3x2 = 36 x1 + 3x2 = 48 8 6 Todas son lineales y paralelas 3 9 18 24 x1

Producto Marginal El producto marginal del insumo I es la tasa de cambio del nivel de producción cuando cambia el nivel de empleo del insumo, manteniendo constantes el nivel de empleo de los otros insumos. Es decir,

si Entonces el producto marginal del insumo 1 es

Y el producto marginal del insumo 2 es

En general, el producto marginal de uno de los insumos depende de la cantidad empleada de los otros insumos. Por ejemplo, si  si x2 = 8, Y si x2 = 27 

El producto marginal del insumo I es decreciente si se hace más pequeño a medida que se incrementa el empleo del insumo i. Es decir, si

Por ejemplo, si  y



Ambos productos marginales son decrecientes

Retornos a Escala El producto marginal describe el cambio en el nivel de producción como resultado del cambio en el empleo de uno de los insumos. Los retornos a escala describen cómo cambia el nivel de producción como resultado del cambio en las cantidades de todos los insumos en la misma proporción.

Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn), Entonces la tecnología descrita por la función de producción presenta retornos constantes a escala. Por ejemplo (k = 2); al duplicar el empleo de todos los factores se duplica el nivel de producción.

Un insumo, un producto y = f(x) 2y’ Retornos constantes a escala y’ x’ producción y = f(x) 2y’ Retornos constantes a escala y’ x’ 2x’ x Cantidad de insumo

Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn), Entonces la tecnología descrita por la función de producción presenta retornos a escala decrecientes. Por ejemplo, (k = 2): duplicando el empleo de todos los insumos, se obtiene menos del doble de producción.

Un insumo, un producto 2f(x’) y = f(x) f(2x’) producción 2f(x’) y = f(x) f(2x’) Retornos a escala decrecientes f(x’) x’ 2x’ x Cantidad de insumo

Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn), Entonces la tecnología descrita por la función de producción presenta retornos a escala crecientes. Por ejemplo, (k = 2): duplicando el empleo de todos los insumos, la producción crece más del doble.

Un insumo, un producto Retornos a escala crecientes y = f(x) f(2x’) producción Retornos a escala crecientes y = f(x) f(2x’) 2f(x’) f(x’) x’ 2x’ x Cantidad de insumo

Una tecnología puede mostrar “localmente” diferentes retornos a escala.

Un insumo, un producto y = f(x) Retornos a escala crecientes producción y = f(x) Retornos a escala crecientes Retornos a escala decrecientes x Cantidad de insumo

Ejemplos de retornos a escala La función de producción de insumos sustitutos perfectos es Si se incrementa el empleo de todos los insumos proporcionalmente en el factor k, El nivel de producción cambia a:

La función de producción de insumos sustitutos perfectos presenta retornos a escala constantes.

La función de producción de insumos complementarios perfectos es Si se incrementa el empleo de todos los insumos proporcionalmente en el factor k, El nivel de producción cambia a:

La función de producción de insumos sustitutos perfectos presenta retornos a escala constantes.

La función de producción a la Cobb-Douglas es Si se incrementa el empleo de todos los insumos proporcionalmente en el factor k, El nivel de producción cambia a:

Los retornos a escala de la función de producción a la Cobb Douglas son constantes si a1+ … + an = 1

Los retornos a escala de la función de producción a la Cobb Douglas son constantes si a1+ … + an = 1 crecientes si a1+ … + an > 1

Los retornos a escala de la función de producción a la Cobb Douglas son constantes si a1+ … + an = 1 crecientes si a1+ … + an > 1 decrecientes si a1+ … + an < 1.

Pregunta: ¿Una tecnología puede presentar retornos a escala crecientes incluso si todos sus productos marginales son decrecientes?

respuesta: sí. Por ejemplo:

en consecuencia esta tecnología presenta retornos a escala crecientes.

Pero es decreciente

y también es decreciente

En consecuencia, una tecnología puede presentar retornos a escala crecientes incluso si sus productos marginales son decrecientes. ¿Por qué?

El producto marginal es la tasa de cambio de la producción cuando el nivel de uno de los insumos se incrementa, manteniendo todos los otros insumos fijos. El producto marginal es decreciente debido a que el nivel de empleo de los otros insumos es fijo, en consecuencia las unidades adicionales del insumo tienen cada vez menos y menos de los otros insumos con los cuales trabajar.

Cuando los niveles de todos los insumos se incrementan proporcionalmente, no es necesario que el productomarginal disminuya porque cada insumo siempre tendrá la misma cantidad de los otros insumos para trabajar. La productividad de los insumos no tiene por qué caer y, en consecuencia, los retornos a escala pueden ser constantes o crecientes.

La tasa marginal de sustitución de factores ¿A qué tasa se puede sustituir un insumo por otro sin modificar el nivel de producción?

x2 yº100 x1

La pendiente es la tasa a la cual se sacrifican unidades del insumo 2 para incrementar una unidad del insumo 1 sin cambiar el nivel de producción. La pendiente de la isocuanta se conoce como la tasa marginal de sustitución de factores. x2 yº100 x1

¿Cómo se calcula la tasa marginal de sustitución de factores?

La función de producción es Un pequeño cambio (dx1, dx2) en el conjunto de insumos genera un cambio en el nivel de producción igual a

Pero dy = 0 porque no debe haber ningún cambio en el nivel de producción, en consecuencia Los cambios dx1 y dx2 deben satisfacer

reordenando 

Es la tasa a la cual se sustituyen unidades del insumo 2 para incrementar en una unidad el insumo 1 manteniendo el nivel de producción constante. Es la pendiente de la isocuanta.

Ejemplo con la función de producción a la Cobb Douglas

x2 x1

x2 8 x1 4

x2 6 x1 12

Tecnologías regulares Las tecnologías regulares son monotónicas, y convexas.

Monotonicidad: Más de cualquier insumo genera más producción. y y monotónica no monotónica x x

Convexidad: si el conjunto de insumos x’ y x” generan y unidades de producto, entonces la combinación tx’ + (1-t)x” proporciona al menos y unidades deproducto, para cualquier 0 < t < 1.

x2 yº100 x1

x2 yº100 x1

x2 yº120 yº100 x1

x2 La convexidad implica que la TMgS es decreciente cuando x1 se incrementa. x1

Mayores niveles de producción x2 yº200 yº100 yº50 x1

Corto y Largo Plazo El largo plazo es el período de tiempo en el cual la empresa no tiene restricciones para escoger todos los niveles de empleo de todos los insumos. Existen muchos “cortos plazos” posibles. El corto plazo es el período de tiempo en el cual la empresa está restringida ,en alguna forma, para escoger el nivel de empleo de al menos uno de los insumos.

Ejemplo de restricciones en el corto plazo: Temporalmente es incapaz de instalar o remover maquinaria Está requerido por la ley a mantener niveles positivos de empleo de algunos insumos Sometido a regulaciones para contratar insumos locales.

¿Qué implican las restricciones de corto plazo en términos de la tecnología de producción? Supongamos que la restricción de corto plazo es fijar el nivel del insumo 2. El insumo 2 es, en consecuencia, un insumo fijo en el corto plazo. El insumo 1 se mantiene como un insumo variable.

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

x2 y x1

y x2 x1

y x2 x1

y x2 x1

y x1

y x1

Four short-run production functions. y x1 Four short-run production functions.

es la función de producción de largo plazo (x1 y x2 son variables). La función de producción de corto plazo cuando x2 º 1 es La función de producción de corto plazo cuando x2 º 10 es

y x1