Apuntes de Matemáticas 3º ESO CUERPOS GEOMÉTRICOS U.D. 9 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO VOLÚMENES U.D. 9.8 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO VOLUMEN del PRISMA Volumen = l.a.h Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa. Para que exista volumen debe tener tres dimensiones: Largo, ancho y alto. El prisma regular recto es el cuerpo más representativo, por tener sus lados perpendiculares entre sí. La unidad de volumen es el metro cúbico, m3, que es un cubo de 1 m de arista. Cuando el cuerpo geométrico no es sólido, sino hueco, se habla de capacidad. La unidad de capacidad es el litro, que es lo que cabe en un volumen de un decímetro cúbico: 1 litro = 1 dm3 Alto = h Ancho = a Largo = l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PRINCIPIO DE CAVALIERI Si dos o más cuerpos de igual área de la base y la misma altura se cortan por planos paralelos a la base, y las secciones producidas por cada plano en esos cuerpos tienen la misma área, entonces esos cuerpos tienen el mismo volumen. h h @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO VOLUMEN DEL CILINDRO El volumen de un prisma es: V = l.a.h En general: V = Sb.h “Volumen = Superficie de la base por la altura” Como el cilindro es un prisma con una base de infinito número de lados, podemos poner que su volumen es: V = π .r2.h Pues la superficie de la base es un círculo de radio r. h h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tiene idéntica superficie de la base e igual altura. Por tanto: V = Sb.h / 3 Es indiferente el polígono de la base, con tal de tener IGUAL ÁREA. Para el volumen no cuenta, como se ve, ni la apotema de la pirámide ni su arista lateral. h h a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO VOLUMEN DEL CONO Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados. Por tanto tenemos: V = Sb.h / 3 V = π.r2.h / 3 que es el volumen de un cono. h h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio_1 Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. Hallar las dimensiones de otro prisma de igual altura y volumen, sabiendo que su base es un rectángulo de doble largo que ancho. El volumen del prisma regular dado será: V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 En el otro prisma: V = Ab.h = a. l . h 250 = a. 2. a .10  250 = 20.a2 De donde: a2 = 250 / 20 = 12,5 a = √12,5 = 3,54 cm l = 2.a = 7,08 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio_2 Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. Hallar las dimensiones de un cilindro de igual altura y volumen. El volumen del prima regular dado será: V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 En el cilindro: V = Ab.h = π.r2.h 250 = π.r2..10 de donde: r2 = 250 / 31,41 = 8 r = √8 = 2.√2 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio_3 Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. Hallar las dimensiones de una pirámide regular de igual altura y volumen, sabiendo que su base es exagonal. El volumen del prima regular dado será: V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 En la pirámide: V = Ab.h = Ab. 10 250 = Ab.10  Ab = 25 cm2 En el exágono: A = 6.l.[ l.√3 / 2) / 2 25 = 6 l 2 . √3 / 4  100 / 6√3 = l 2 l 2 = 9,62  l = 3,10 cm es el lado del hexágono de la base. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio_4 Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura. Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen. El volumen de la pirámide será: V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = 5 2 .9 / 3 = 25. 3 = 75 cm3 En el cono: V = Ab. h / 3 = π. r 2 . h / 3 75 = π. r 2. 9 / 3 75 . 3 / π. 9 = r 2  8 = r 2 r = 2,82 cm es el radio de la base del cono. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO