La Distribución χ Square (“Chi Square”) Estimaci ὀ n de la Varianza σ 2 Intervalos de Confianza

Estimaci ὀ n de la Varianza σ 2 de la Poblaci ὀ n Con frecuencia necesitamos conocer la magnitud de una varianza (por ende su desviaci ό n estándar σ ). Por ejemplo, los fabricantes de electrodomésticos necesitan conocer la variabilidad en la calidad de sus productos para establecer periodos de garantía. Un fabricante de medicamentos debe conocer la variabilidad de respuesta del paciente a determinada medicina para incluir en sus anuncios informaci ό n verídica. Por lo general no conocemos las varianzas de la poblaci ό n, en consecuencia debemos estimarla a partir de los datos de la muestra. Cuando estimamos el promedio de la poblaci ό n (con la metodología ya aprendida), aprovechamos los datos obtenidos para estimar σ 2.

F ὀ rmula para los Intervalos de Confianza de σ 2 Donde: n-1 = grados de libertad χ 2 = valor de “Chi” obtenido de la tabla para el seleccionado = nivel de significancia: 1% (.01), 5% (.05) y 10% (.10). S 2 = varianza de la muestra (calculada) σ 2 = Varianza de la población (estimada a partir de la muestra)

Ejemplo Como parte de su programa de control de calidad, una empresa que produce láminas de hierro forjado desea estimar la varianza ( y por ende la desviación estandar) de peso por pie cuadrado de su producto. Una muestra aleatoria de 51 especímenes arroja una varianza de libras cuadradas. Deseamos estimar un intervalo de confianza de 95% ( =.05) para σ 2. Solución: Los valores de χ 2 para 50 grados de libertad (51-1) son de = y = así que tenemos Para obtener el intervalo de confianza de 95% para la desviación estandar, simplemente tomamos la raiz cuadrada de los términos calculados:

Ejercicios 1. Calcule los intervalos de confianza 99% y 90% para el ejercicio de ejemplo. 2. Una muestra aleatoria de 10 especimenes de cierto material es probada en cuanto a su resistencia a la tensión. La varianza calculada a partir de estos datos es de 4. Construya los intervalos de confianza de 90%, 95% y 99% para la varianza y desviación estandar de la población. 3. Un gerente de producción necesita saber el tiempo requerido para concluir cierta tarea en una planta manufacturera. Se diseña un estudio del que resulta una muestra aleatoria de 25 observaciones. Para el análisis. La varianza calculada a partir de los datos de muestra es de 0.3hr 2. Construya los intervalos de confianza de 90%, 95% y 99% para la varianza y desviación estandar de la población. 4. Un ecologista mide la cantidad de contaminantes en 15 muestras de agua de un río ubicado en un área industrial. Obtiene una varianza de S 2 = Construya los intervalos de confianza de 90%, 95% y 99% para la varianza y desviación estandar de la población.