Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 8 * 3º ESO E.AC. MÉTRICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 8.10 * 3º ESO E.AC. LUGARES GEOMÉTRICOS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO LUGARES GEOMÉTRICOS: MEDIATRIZ El conjunto de puntos del plano que equidistan de dos puntos dados. BISECTRIZ El conjunto de puntos del plano que equidistan de dos rectas dadas no paralelas. CIRCUNFERENCIA El conjunto de puntos del plano que equidistan de otro, que es el centro de la figura que se forma. CORONA CIRCULAR.- El conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos de una circunferencia. ELIPSE El conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos puntos dados (llamados focos) es una constante. HIPÉRBOLA El conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos puntos dados (llamados focos) es una constante. PARÁBOLA El conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz y de un punto llamado foco. ESFERA El conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, que es el centro de la figura que se forma. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO B Mediatriz @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Bisectriz s r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Lugares geométricos: Cónicas @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Circunferencia r r O r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Corona circular d d d d d d @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Elipse P PF + PF’ = 2.a = Cte F’ F 2.a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Área de la elipse Área interior de una elipse El área de la superficie interior de una elipse es: Siendo a y b los semiejes. Perímetro de una elipse El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales (2º Bachillerato). Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse.   Otra menos precisa: P = 2.π.√[(a2+b2)/2] @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Área de la elipse Ejemplo Hallar el área y el perímetro de una elipse cuyos ejes miden 10 y 8 cm. Área: A = π.a.b Semiejes: Mayor: a 10/2 = 5 Menor: b=8/2 = 4 A = π.5.4 = 20.π cm2 Perímetro: P = π [3.(a+b) – √(3a+b).(a+3b)] = π.[3.(5+4) - √(3.5+4).(5+3.4)] P = π [27 – √(19.17)] = 9,03. π = 28,3617 cm Otra forma de cálculo: P = 2.π.√(a2+b2)/2 = 2.π.√(25+16)/2 = 2.π.4,5277 = 28,4484 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Proporcionalidad El círculo ocupa π/4 del cuadrado que lo contiene. La misma proporción que la elipse respecto al rectángulo que la circunscribe: Acírc. = π.r2 ; Aelipse= π.ab Acuad. = 4. r2 ; Arect. = 4.ab Acírc π.r2 ------- = -------- = π/4 Acuad 4.r2 Aelipse π.a.b Arect 4.ab Es como si, al estirar el cuadrado para que se convierta en rectángulo, el círculo se convirtiera en elipse. r b a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Hipérbola P PF’ - PF = 2.a = Cte F’ F 2.a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Parábola d P PF = d V F @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Segmento de parábola Área del segmento parabólico   A= 2/3 del rectángulo que lo contiene. A = (2/3).a.b Ejercicios de lugares geométricos Hallar el área de la zona sombreada en las siguientes figuras: b a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ejercicios de lugar geométrico Soluciones a) Área del círculo envolvente: A1= π R2 = 25. π u2 Área de la elipse: A2= π.a.b = π.5.3 = 15. π u2 Área de los círculos tangentes: A3= 2.π r2 = 2. π .[(5 – 3)/2]2 = 2. π u2 Área = A1- A2- A3= 25. π – 15. π – 2. π = 8. π u2 c) Área del rectángulo: Arect= a.b = 6.9 = 54 u2 Área segmento parábola: A= 2/3. Arect = (2/3).54 = 36 u2 b) Área de la corona circular: Acorona= π (R2 – r2) = π (36 – 16) = 20.π u2 Área segmento: A= Acorona .120 / 360 = (20/3). π u2 b) Área segmento parábola: Asegm = 2/3. Arect = (2/3).54 = 36 u2 Área sombreada: A= [(Asegm .)/2] – Atriang= 18 – 3.9/2 = 18 – 13,5 = 4,50 u2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO