SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3 x 3 1

Sistemas de Ecuaciones Lineales 3 x 3 La suma de las cifras de un número es 16. Al sumar la cifra de las decenas con la de las centenas se obtiene el doble de las unidades más 1, y si se suma la cifra de las unidades y las decenas se obtiene la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número? 2

¿Cómo resolverías este problema? 3

Designemos primero las variables o Si leemos atentamente el problema podemos traducir esta información al lenguaje de las ecuaciones. Sería algo así: Designemos primero las variables o incógnitas u cifra de las unidades d cifra de las decenas c cifra de las centenas 4

Escribamos ahora las ecuaciones u + d + c = 16 d + c = 2u + 1 u + d = c 5

Tenemos entonces, 3 ecuaciones con 3 incógnitas; es decir, un sistema 3 x 3. Para darle solución debemos resoverlo por alguno de los métodos estudiados para los sistemas 2x2. 6

Veamos como solucionarlo por el método de eliminaciones sucesivas (método de suma y resta o reducción). 7

Nota: Antes de resolverlo procuremos dejar todas las variables del lado izquierdo de la igualdad y los términos independientes (término que no tiene variable) del lado derecho. 8

u + d + c = 16 u + d + c = 16 u + d = c u + d – c = 0 Esto quedaría así: u + d + c = 16 u + d + c = 16 Ec.1 d + c = 2u + 1 -2u + d + c = 1 Ec.2 u + d = c u + d – c = 0 Ec.3 9

+ 1) Sumamos miembro a miembro la ecuación 1 y la ecuación 3 u + d + c = 16 + u + d – c = 0 Ec.4 2u + 2d = 16 10

+ 2) Sumamos miembro a miembro la ecuación 2 y la ecuación 3 -2u + d + c = 1 + u + d – c = 0 Ec.5 -u + 2d = 1 11

3) Con la ecuación 4 y la ecuación 5 formamos un sistema 2x2. 2u + 2d = 16 -u + 2d = 1 Ec.5 12

- 4) Restamos miembro a miembro 2u + 2d = 16 -u + 2d = 1 3u = 15 Ec.4 2u + 2d = 16 - -u + 2d = 1 Ec.5 3u = 15 u = 15 3 u = 5 13

5) Sustituimos este valor en la ecuación 4 2u + 2d = 16 2(5) + 2d = 16 5 10 + 2d = 16 2d = 16 - 10 2d = 6 d = 6 2 d = 3 14

6) Teniendo estos dos valores, se sustituyen en cualquiera de las 3 ecuaciones originales para obtener el último valor. Ec.1 u + d + c = 16 5 + 3 + c = 16 8 + c = 16 c = 16 - 8 c = 8 15

835 Por lo tanto, el número buscado es: Comprobando: u + d + c = 16 d + c = 2u + 1 u + d = c 5 + 3 + 8 = 16 3 + 8 = 2(5) + 1 5 + 3 = 8 16 = 16 11 = 10 + 1 8 = 8 11 = 11 16

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