Clase N°11 Métodos de reducción de varianza ICS3723 Simulación Profesor Pedro Gazmuri

Métodos de reducción de varianza Variables de control Números aleatorios comunes Variables antitéticas

1. Variables de control X: variable aleatoria de output. Y: otra variable con valor esperado conocido. Construimos una combinación lineal de ellas: Dos alternativas: Variables internas de control: una v.a. de input del sistema. Variables externas: simular otro sistema similar pero analíticamente tratable, de modo de conocer E(Y) (también necesitaríamos la correlación entre X e Y).

1. Variables de control El método puede generalizarse a varias variables de control: Lo que importa es que las variables de control estén fuertemente correlacionadas (positiva o negativamente) con X. Consideremos el caso simple:

1. Variables de control Se tiene: Luego: Podemos identificar el valor a más conveniente: Corrección: definición de a* como argumento de un mínimo y no un mínimo en sí.

1. Variables de control Si reemplazamos a* en la expresión de Var(XC) obtenemos:

1. Variables de control En la expresión anterior ρX,Y es el coeficiente de correlación entre X e Y Problema: para calcular a* no conocemos cov(X, Y) ni Var(Y) Podemos estimarlas de la muestra de n réplicas:

1. Variables de control Pero â*(n) no es un estimador insesgado. El estimador final de la medida de desempeño que usaremos es Este estimador tampoco es insesgado, ya que â*(n) e son en general dependientes.

1. Variables de control Ejemplo: sistema M/M/1 Medida de desempeño: espera promedio en la cola de los 100 primeros clientes. Xj : demora promedio en la réplica j. Variable de control: Yj : promedio de los tiempos entre llegadas de los primeros 100 clientes. Estimamos , usando .

1. Variables de control Resultados: Valores teóricos: Corrección: el valor teórico es para E(Y), no para Y

1. Variables de control Resultados: Recordemos: Corrección: orden de resultados y definiciones

1. Variables de control Nuestro estimador será: Estimemos la reducción de varianza:

1. Variables de control Se tiene , comparado con Recordemos que es un estimador sesgado. Una alternativa para evitar el sesgo es volver a repetir el experimento tomando a fijo e igual a –17.6. No se estima a en el nuevo experimento.

1. Variables de Control Tomemos ahora 2 variables de control: Y₁= Promedio de los tiempos entre llegadas primeros 100 clientes. Y₂= Promedio de los tiempos de servicio de primeros 100 clientes.

De aquí se deduce que: En ambos casos las covarianzas se estiman a partir de las réplicas.

Se hicieron 50 réplicas y se obtuvieron los siguientes resultados: Estimador Valor Muestral Valor Teorico 0.9893 1 0.9082 0.9 0.0106 0.01 0.0099 0.01235 11.844

Luego:

Se hicieron 50 réplicas adicionales usando los valores estimados para a₁ y a₂. Se obtuvo: Debemos comparar este valor con Veamos los intervalos:

Sin variables de Control: Si hubiéramos hecho 100 réplicas: Con variables de Control:

Los intervalos de confianza son:

2. Números aleatorios comunes Se usa para la comparación de dos diseños alternativos. Diseño 1: Medida de desempeño: X1 Diseño 2: Medida de desempeño: X2 Queremos estimar E(X1) – E(X2) La idea es someter ambos sistemas a las mismas condiciones experimentales. Se utiliza la misma secuencia de números U(0,1) en ambos modelos. Se trata de introducir una correlación positiva entre ambos resultados.

2. Números aleatorios comunes Sean: X1j , j = 1,…,n: output de n réplicas del sistema 1 X2j , j = 1,…,n: output de n réplicas del sistema 2 Queremos estimar: Sean: Estimador:

2. Números aleatorios comunes Si las corridas fueran independientes: Para estimar en el caso correlacionado usamos su estimador muestral .

2. Números aleatorios comunes Este estimador se obtiene calculando: Puesto que estamos usando estimadores de las varianzas, no podemos saber qué tanto vamos a reducir la varianza.

2. Números aleatorios comunes Principio a utilizar: tener el convencimiento de que ambos modelos responderán en forma similar a valores grandes o pequeños de las variables aleatorias de input del modelo. Procedimiento: sincronizar los números aleatorios de modo que uno utilizado para un cierto propósito en el primer sistema sea utilizado para el mismo propósito en el segundo.

2. Números aleatorios comunes Ejemplo: λ,μ; ρ = λ/μ λ,μ/2; ρ = λ/μ Ambos tienen la misma intensidad de tráfico.

2. Números aleatorios comunes Interesa: tiempo promedio de espera en la cola de los primeros 100 clientes. Queremos escoger el sistema con menor valor. Teóricamente, se sabe que el segundo es mejor. Cuando hay 2 o más personas en el sistema, ambas son iguales para efectos de la espera. Pero cuando hay una, un individuo que llega al segundo sistema no espera nada; en el primero sí.

2. Números aleatorios comunes Experimento: ρ = 0.9 Se hicieron 100 réplicas independientes para 4 casos: Números aleatorios independientes para cada modelo: I Coordinación tiempos entre llegadas, servicios independientes: LL Coordinación tiempos de servicios: S Coordinación de ambos: LL + S

2. Números aleatorios comunes X1j : valor promedio demora 100 clientes en sistema 1, en a réplica j. X2j : valor promedio demora 100 clientes en sistema 2, en a réplica j. Para cada caso se estimó y se analizó si se obtenía la respuesta correcta (i.e. X2j < X1j). Se calculó la proporción de error en las 100 réplicas. Corrección: “En esta corrida” por “En cada corrida”

2. Números aleatorios comunes Obsérvese que al reducir estamos mejorando la precisión del intervalo de confianza para I LL S S+LL 25.5 11.6 10.5 0.1 Proporción Error 0.44 0.37 0.4 0.05

3. Variables antitéticas Se usa para el caso de un solo sistema. Idea: hacer pares de corridas, compensando un valor pequeño de la variable de interés con un valor grande. Se usa el promedio de ambas observaciones como un valor del output. Procedimiento: usar números aleatorios U(0,1) complementarios. Si U ~ U(0,1), entonces 1 – U ~ U(0,1).

3. Variables antitéticas Si uk ~ U(0,1) es usado con un propósito específico en un la primera corrida, se usa 1 – uk para el mismo propósito en la segunda corrida. Nota: Y(1) = F-1(uk) Si Y(1) es grande, Y(2) = F-1(1 – uk) es pequeño, ya que F es creciente.

3. Variables antitéticas Se hacen n pares de corridas (cada par independiente de los otros): Definimos

3. Variables antitéticas Queremos estimar: Queremos inducir una correlación negativa entre y .

3. Variables antitéticas Principio general: la variable de output del sistema tiene que ser monótona (creciente o decreciente) en la variable de input. Y : input, X : output Y grande  X grande, Y chico  X chico (o al revés) No existe garantía que el método funcione, podría pasar que Y grande ó Y chico  X grande.

3. Variables antitéticas Ejemplo: Sistema M/M/1, ρ = 0.9 : promedio de la demora en cola de los primeros 100 clientes. Variables antitéticas: Servicios Tiempo entre llegadas

3. Variables antitéticas Se hacen 100 réplicas: Independencia, es decir, . Sincronización (v. antitéticas, servicios y llegadas) Resultados: Independencia V. Antitéticas s2(100) 4.84 1.94 ½ Intervalo al 90% 0.36 0.23 -0.07 - 0.52