Clase N°5 Generación de instancias de una v.a. (Parte II) ICS3723 Simulación Profesor Pedro Gazmuri

Generación de instancias de una v.a. (Parte II) Composición Convolución Métodos de aceptación y rechazo Generación de algunas distribuciones específicas N-Erlang GAMMA Weibull Normal Beta

1. Composición Sea y supongamos que F puede escribirse como una combinación lineal convexa de distribuciones , en que es fácil obtener instancias de esas distribuciones. Es decir, (1)

1. Composición Método: Sea J una v.a. tal que Generar una instancia de la v.a. J Generar una instancia de la distribución F Notemos que si (1) se cumple para la función de distribución F, una expresión análoga se cumple para f Aquí es la función densidad asociada a .

1. Composición Ejemplo: distribución de Laplace: Entonces:

1. Composición Luego f(x) es una combinación lineal convexa de: Primero generamos una instancia de la v.a. J: Generamos Si , generamos una instancia de

2. Convolución Supongamos que X puede escribirse como la suma de m v.a. i.i.d. Método: Generar instancias de Calcular

3. Métodos de aceptación y rechazo Supongamos X continua con distribución F y densidad f. Supongamos que existe una función t que “mayora” a f, es decir, En general, t no será una función densidad ya que: Pero si asumimos , definimos Suponemos que podemos generar con facilidad una instancia de , de densidad r(x).

3. Métodos de aceptación y rechazo Generar Y de acuerdo a la densidad r. Generar independiente de Y. Si ,retornar , en caso contrario, volver al paso i. Corrección: t(x) y f(x) por t(Y) y f(Y). Observación: gráfico confuso

3. Métodos de aceptación y rechazo Demostración del método: Supongamos que el evento A corresponde a la aceptación en el paso iii. Ahora X sólo está definido bajo el evento A. Ahora cuando A ocurre, , por lo tanto Ahora,

3. Métodos de aceptación y rechazo Demostración del método: Ahora, Luego,

3. Métodos de aceptación y rechazo Demostración del método: Por otra parte, Por lo tanto,

4. Generación de algunas distribuciones específicas N-Erlang Corresponde a un caso especial de la Corresponde a la suma de n exponenciales de tasa λ, es decir, tiene distribución

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA Con parámetros , tiene densidad Si , se cumple que No existe una fórmula cerrada para la función distribución inversa. Corrección: E(x) y Var(x) por E(Y) y Var(Y)

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA Recordar que Si es entero,

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA Ahora, si entonces Y distribuye como βX. Luego, sólo nos basta saber cómo generar

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA 1. Caso . Existe un algoritmo de aceptación y rechazo que es eficiente para este caso:

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA 1. Caso . Corrección: B por b

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA 1. Caso . La función de distribución R asociada a r es: Y esta función es invertible: Corrección: B por b, y variable z entre 0 y 1

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA 2. Caso . También se usa un algoritmo de aceptación y rechazo En este caso,

4. Generación de algunas distribuciones específicas GAMMA 2. Caso . Las funciones de distribución y su inversa son, respectivamente

4. Generación de algunas distribuciones específicas Weibull Con parámetros , tiene densidad Según los valores de a y b, puede dar origen a muchas formas distintas. F es invertible en este caso:

4. Generación de algunas distribuciones específicas Normal F no es invertible. Método: Si U1,U2 son v.a. i.i.d. U(0,1), entonces Observación: no queda claro cómo se genera una instancia de una normal a partir de eso

4. Generación de algunas distribuciones específicas Beta Con parámetros , tiene densidad Da lugar a muchas formas distintas. Resultado: si Y1 e Y2 son independientes con entonces: