Ecuaciones Diferenciales para el modelado de ondas de sonido fRANCISCO jOSÉ Nava lUJÁN José ANTONIO vELÁZQUEZ Sánchez

Introducción Planteamiento del problema: ¿Por qué dos instrumentos musicales que tocan una misma melodía suenan distintos? Explicación breve del planteamiento físico: las ondas de sonido y su desplazamiento en el ambiente.

Ecuación Diferencial Ley de Hooke: 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = −𝑘𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = −𝑘𝑦 𝑦 ′′ +𝑘𝑦=0 Encontrando el polinomio característico: 𝜆 2 +𝑘=0 𝜆 2 = −𝑘 𝜆= −𝑘 Y por lo tanto la solución de la E.D. es: 𝑦= 𝐶 1 cos 𝑘 + 𝐶 2 sin 𝑘

Sen(2π*440)

Sen(2π*880)

𝑦= 𝐶 1 sen 2𝜋440𝑡 + 𝐶 2 cos 2𝜋660𝑡

Superposición de ondas; ejemplo.

Espacio Vectorial Base ={ cos 2𝜋𝑓𝑡 , sin 2𝜋𝑓𝑡} ; Infinitas Bases 𝑔 𝑡 ⋅𝑓(𝑡)= 2𝐿 𝑎 𝑎+ 1 𝐿 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝑏(𝑡) = 2𝐿 𝑎 𝑎+ 1 𝐿 ( sin (2𝜋𝑓𝑡) ) 2 𝑑𝑡 = = 2𝐿 1𝑎 2 + 1 2𝐿 − 1𝑎 2 =1 𝑏 1 𝑡 ⋅ 𝑏 2 (𝑡)= 2𝐿 𝑎 𝑎+ 1 𝐿 sin (2𝜋 𝑓 1 ) sin (2𝜋 𝑓 2 ) 𝑑𝑡 =  2𝐿 0−0 = 0

Serie de Fourier 𝐶= 𝑔 𝑡 ⋅𝑏(𝑡)= 2𝐿 𝑎 𝑎+ 1 𝐿 𝑓 𝑡 𝑏 𝑡 𝑑𝑡

Un poco de teoría musical Escala de Do Mayor Escala cromática de Do a Do

La escala bien temperada Fórmula impulsada por J. S. Bach en el s. XVII Semitono =𝑓∗ 12 2 Nota Fórmula Frecuencia Resultante La 440 Sol# 440*2^(-1/12) 415.30 Sol 440*2^(-2/12) 392 Fa# 440*2^(-3/12) 370 Fa 440*2^(-4/12) 349.23 Mi 440*2^(-5/12) 329.63 Re# 440*2^(-6/12) 311.13 Re 440*2^(-7/12) 293.66 Do# 440*2^(-8/12) 277.18 Do 440*2^(-9/12) 261.63 Si 440*2^(-10/12) 246.94 La# 440*2^(-11/12) 233.08 La (una octava debajo de La fundamental a 440 Hz) 440*2^(-12/12) 220

Comparación de formas de onda a 440Hz (Seno vs Piano) FORMA DE ONDA SENO FORMA DE ONDA DEL PIANO

Frecuencia Fundamental y Armónicas LA 440 LA 880 LA 1320 Fundamental Armónicas

Frecuencia fundamental y Armónicos Las combinaciones lineales de las notas fundamental y armónicos y cómo sus pesos afectan a la forma de onda final para un La 440Hz está dada por el espacio vectorial: 𝑔 𝑡 ⋅𝑓(𝑡)= 880 𝑎 𝑎+ 1 440 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝐴 1 sin 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐵 1 cos 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐴 2 sin 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐵 2 cos 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐴 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡 )+ 𝐵 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡 𝐴 1 sin 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐵 1 cos 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐴 2 sin 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐵 2 cos 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐴 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡 )+ 𝐵 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡

El Peso de las Frecuencias 𝐴 1 sin 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐵 1 cos 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐴 2 sin 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐵 2 cos 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐴 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡 )+ 𝐵 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡 𝐴 1 sin 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐵 1 cos 2𝜋∗440∗𝑡 )+ 𝐴 2 sin 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐵 2 cos 2𝜋∗880∗𝑡 )+ 𝐴 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡 )+ 𝐵 3 sin 2𝜋∗1320∗𝑡 El “peso” de cada frecuencia dentro del sonido lo podemos encontrar por: 𝑃 𝑛 = 𝐴 𝑛 2 + 𝐵 𝑛 2

Ondas de un piano y una flauta

Pesos de sus Armónicos

Conclusión - Experimento en MATLAB La primera estrofa del himno nacional en 2 formas de onda distintas: Piano Flauta

Código fuente del programa

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Transformada Rápida de Fourier