RECTAS Primera Parte

CONTENIDO 1. Introducción. 2. Pendiente o Inclinación. 3. Ecuación de una recta: Punto - Pendiente. Pendiente - Ordenada al origen Recta Horizontal. Recta Vertical. Forma General. Aplicaciones

Para dibujar una recta no es preciso tener un plano cartesiano Introducción Se acostumbra decir que : * Una recta es el camino mas corto para ir de un lugar a otro. * Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta. * Una recta esta formada por un conjunto infinito de puntos. Para dibujar una recta no es preciso tener un plano cartesiano

Introducción Sobre esta recta observemos Sobre esta otra recta observemos La hormiga caminando sobre la recta de izquierda a derecha podemos decir que esta bajando o descendiendo. Si camina de derecha a izquierda decimos que esta subiendo o ascendiendo. La hormiga caminando, sobre la recta de izquierda a derecha, está ascendiendo Si camina de derecha a izquierda está descendiendo.

En la recta vertical la situación es diferente pues o sube o baja Introducción En la recta horizontal no se presenta ninguno de los casos anteriores es decir ni sube ni baja. En la recta vertical la situación es diferente pues o sube o baja Estas situaciones nos llevan a la necesidad de definir el concepto de pendiente.

Pendiente o inclinación Todos alguna vez hemos tenido la experiencia de subir y bajar las montañas, de viajar por carreteras más o menos empinadas, de caminar por terrenos planos, de subir y de bajar escaleras y hemos observado que el esfuerzo que tenemos que realizar para efectuar estas actividades es mayor o menor de acuerdo con el grado o pendiente del recorrido.

Es importante tener en cuenta que cuando subimos o bajamos, avanzamos tanto horizontal como verticalmente. Si se tiene una escalera por la cual ascendemos o descendemos, el grado de inclinación o pendiente de esta se puede calcular por medio de la razón Ancho del peldaño

Pendiente 30 cm 40 cm

Sentido de la Pendiente 30 cm 30 cm 40 cm 40 cm Al comparar las dos escaleras el grado de inclinación de las dos es el mismo. Sin embargo, la dirección del desplazamiento no es la misma. Es preciso definir el sentido del desplazamiento

Sentido del Desplazamiento Sobre el plano cartesiano, se tienen movimientos: + *horizontales a la derecha, tienen sentido positivo - * horizontales a la izquierda, tienen sentido negativo * verticales arriba, tienen sentido positivo + * verticales abajo, tienen sentido negativo - - - Pendiente positiva - Pendiente negativa - + + + +

Pendiente de una Recta DEFINICIÓN. La pendiente de una recta que no es vertical y que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) es: Q y2-y1 P x2-x1

Pendiente de una Recta Observemos la siguiente situación: En la gráfica, elegimos los puntos Hallemos m tomando P y Q: S R Q Ahora tomando R y S: m =1 P

Pendiente de una Recta ¿Qué sucede si tomamos Q y S? CONTINUACIÓN S R ¿Qué sucede si tomamos Q y S? Q P Como podemos ver: El valor de la pendiente de una recta es único, independientemente de los puntos que se elijan para calcularla.

Pendiente de una Recta Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que contiene los puntos (-1,-2) y (-2,-4). m=2 Observaciones: El valor de la pendiente es positiva. Al aumentar los valores en x aumentan los valores en y, en este caso diremos que la recta es creciente.

Pendiente de una Recta Ejemplo 2: Hallar la pendiente de la recta que contiene los puntos (1,-2) y (2,-4). Observaciones: El valor de la pendiente es negativa. Al aumentar los valores en x disminuyen los valores en y en este caso diremos que la recta es decreciente m= -2

Pendiente de una Recta Ejemplo 3: Hallar la pendiente de la recta que contiene los puntos (1,2) y (3,2). Observe que: La recta es horizontal, es decir, es paralela al eje x. No es creciente ni decreciente.

Pendiente de una Recta Ejemplo 4: calcular la pendiente de una recta que pasa por los puntos (3, 2) y (3, -3) La división por 0 no está definida, luego la pendiente no está definida. Observaciones: La recta es vertical, es decir, es paralela al eje y. No es creciente ni decreciente.

Ejemplo 5. Hallar la pendiente de la recta mostrada en la gráfica: Un desplazamiento de 3 unidades en y en sentido negativo y 5 unidades en x en sentido positivo

… Resumiendo Recta creciente Recta decreciente No es creciente ni decreciente m=0 m no esta definida

En el plano hay infinitas rectas con pendiente 3/2. Un desplazamiento de 2 unidades en la coordenada x en sentido positivo es acompañado por un desplazamiento de 3 unidades en la coordenada y en sentido positivo.

En el plano hay infinitas rectas con pendiente -1/4. Un desplazamiento de 4 unidades en la coordenada x en sentido positivo es acompañado por un desplazamiento de 1 unidad en la coordenada y en sentido negativo.

Observemos la siguiente situación: Todas las rectas mostradas tienen pendiente 2. Si se quiere determinar específicamente una recta, además de la pendiente se debe conocer un punto de la recta.

Forma Punto-Pendiente Ecuación de una recta Tomemos una recta L con pendiente m y que pasa por el punto Si (x,y) es cualquier otro punto sobre la recta, la pendiente de la recta determinada por Multiplicando a ambos lados por obtenemos: Forma Punto-Pendiente

Ejemplo 6: Encontrar la ecuación de una recta que tiene pendiente 2/5 y pasa por el punto (-2,-1) utilizando Punto-Pendiente: Sustituyendo en la ecuación:

Pendiente-Ordenada al origen Ecuación de una recta Pendiente-Ordenada al origen Encontrar la ecuación de la recta con pendiente m y su intercepto con el eje y (ordenada al origen) es b (0,b) Despejando y:

Ejemplo 7 Encontrar la ecuación de una recta que tiene pendiente -3/4 y pasa por el punto (0,3), utilizando Pendiente-Intersecto: y=mx + b Tenemos m=-3/4 y b=3, Luego:

El punto de intersección con el eje y es (0,2), luego b=2 Ejemplo 8: Determinar la ecuación de la recta mostrada en la gráfica: La pendiente es positiva ya que la recta es creciente. El punto de intersección con el eje y es (0,2), luego b=2 Un desplazamiento de 3 unidades a la derecha en x corresponde a un desplazamiento de 2 unidades hacia arriba en y, luego m=2/3

Ecuación de una recta horizontal Si la recta es horizontal, su pendiente es m=0 reemplazando en la ecuación tenemos: Ejemplo 9 Hallar la ecuación de una recta horizontal que pasa por el punto (2,3) 3 b=3 2 y=3

Ecuación de una recta vertical Si la recta es vertical la pendiente no está definida pero podemos expresar su ecuación como x=a, donde a es la intersección con el eje x La abscisa x de cada uno de los puntos sobre la recta es a. Todos los puntos de la recta son de la forma (a, y). Ejemplo 10 Hallar la ecuación de una recta vertical que pasa por el punto (-2,3) a= -2 x= -2

Ecuación general de una recta Toda ecuación lineal en dos variables Ax + By + C=0 (A, B no son simultáneamente 0) es una recta y cada recta es la gráfica de una ecuación lineal en dos variables. Ejemplo 11: La ecuación -3x+2y-5=0 es una ecuación lineal con A= -3, B= 2 y C= -5. Si despejamos y en la ecuación obtenemos: Que es una ecuación de la forma y=mx+b con:

Ecuación general de una recta Continuación: La gráfica corresponde a una línea recta

Ecuación de una recta Forma General La ecuación de una recta de la forma y=mx+b es una ecuación lineal de la forma Ax+By+C=0: Ejemplo 12: Escribir la ecuación y= -3x + 1 de la forma Ax+By+C=0 Igualando a 0 obtenemos: 3x+y-1=0, luego A= 3, B= 1, C= -1 Ejemplo 13: Escribir la ecuación de la recta vertical x=3 de la forma Ax+By+C=0. Igualando a 0 obtenemos x – 3 =0, en donde A= 1, B =0 y C= -3.

Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de la recta 2x-5y=3 Ejemplo 14 Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de la recta 2x-5y=3 Escribimos la ecuación de la forma y=mx+b, para ello despejamos y: Luego, m=2/5 y b=-3/5 2 5

Problema Una pequeña empresa compra un computador en $1.800.000. Después de cuatro años, el valor esperado del computador será de $500.000. Para cuestiones de contabilidad, la empresa aplica la depreciación lineal para evaluar el valor del computador en un tiempo dado. Si V es el valor del computador en un tiempo t, determinemos una ecuación lineal para relacionar V y t. Consignemos la información dada en la siguiente tabla: t (tiempo en años) 4 V (valor en pesos) 1800000 500000 34

Qué representa la pendiente? Veamos la gráfica correspondiente: V (en millones) Pendiente 1.8 Ecuación 0.5 T Qué representa la pendiente? t (tiempo en años) 4 V (valor en pesos) 1800000 500.000 La depreciación anual. 35

Veamos la gráfica correspondiente: V (en millones) Qué representa la intersección con el eje V de la gráfica? El valor inicial del computador. 1.8 ¿cuál es el valor del computador 3 años después de la compra? 0.5 T t (tiempo en años) 4 V (valor en pesos) 1800000 500000 36