Concepto de Probabilidad IIIº Medio 2015

¿Quién quiere ganar el Kino? ¿Cuántas posibilidades tengo de ganar el Kino? (Acertar 14 números de un total de 15? La verdad es que es bastante baja la probabilidad 1: 4.457.400, es decir, de 0,0000002 ¿Qué podríamos hacer para tratar de aumentar esta posibilidad?

Estrategias Analizar los números que han salido la mayor cantidad de veces en forma histórica, por ejemplo: Al construir tu cartlla de juego debes colocar un máximo de separación de 3 ó 4 números, es lo que más se da en el análisis hecho de las cartlllas ganadoras (74,9%). Los números consecutivos sean como máximo 3 ó 4, principalmente. La suma de todos los dígitos es más probable que se encuentre entre  180 y 192.

Estrategias ¿Sabiendo esto, tienes más ganas de jugar? Ojalá tener 6 números pares y 8 números impares Que hallan 3, 4 o 5 números primos 4, 5 ó 6 números de un dígito. Se reiteran 7 u 8 números del sorteo anterior. ¿Sabiendo esto, tienes más ganas de jugar?

Objetivo Comprender el concepto de probabilidad y calcular probabilidades utilizando teoría de conjuntos. Valorando la importancia de la comprensión al extraer datos relevantes de cada situación.

Conceptos Fundamentales Experimento: Cualquier procedimiento que se realice para obtener resultados, un experimento puede ser Determinístico: Se conoce de antemano el resultado. Aleatorio: No se conoce de antemano el resultado, pero sí se conoce el conjunto de los resultados posibles.

Conceptos Fundamentales Espacio muestral (W): Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Suceso o evento: Cualquier subconjunto de posibles resultados de un experimento

Ejemplos Experimento: Lanzar un dado  : {1, 2, 3, 4, 5, 6}  Discreto Podemos definir los siguientes sucesos: A: Sale nº par = {2, 4, 6} B: Sale un nº mayor que 4 = {5, 6} C: Sale 1 = {1}

Ejemplos Experimento: Tomar al azar un alumno del curso y preguntarle cuantos hermanos tiene. : {0, 1, 2, 3, 4, …}  Discreto Podemos definir los siguientes sucesos: A: El alumno tiene 2 hermanos = {2} B: El alumno no tiene hermanos = {0} C: El alumno tiene al menos 3 hermanos {3, 4, 5…}

Ejemplos 3. Ir al paradero y tomar el tiempo que transcurre hasta que pasa la micro que debo tomar.  Continuo Podemos definir los siguientes sucesos: A: Espero mas de 10 minutos B: Espero entre 5 y 12 minutos

Importante Un suceso ocurre cuando ocurre cualquiera de sus elementos. En el ejemplo 1, si sale 6 entonces: Ocurre A, pues es par Ocurre B, pues es mayor que 4 No ocurre C, pues no es 1

Importante Suceso es cualquier subconjunto de W, por lo tanto también son sucesos: El vacío Suceso imposible El espacio muestral completo W Suceso cierto

Importante Operando con sucesos se obtienen nuevos sucesos. Operar significa unir, intersectar, sacar complemento, etc.

Por ejemplo Si A es un suceso, Ac o A´, se llama A complemento y quiere decir si no ocurre A. En el diagrama sería  A 𝐴 𝑐

Por ejemplo Si A y B son dos sucesos, A U B (A unión B) ocurre si: Ocurre A Ocurre B Ocurren Ambos  A ∪ B B A

Por ejemplo Si A y B son sucesos, A ∩ B (A intersección B) ocurre si: Ocurren A y B simultaneamente  A ∩ B B A

Leyes de Morgan Ac ∩ Bc = (A U B)c Ac U Bc = (A ∩ B)c

Sucesos mutuamente excluyentes Dos sucesos A y B se dicen mutuamente excluyentes, si ellos no pueden ocurrir simultaneamente, es decir, A ∩ B = ø A B Ω

Definición axiomática de probabilidad Sea E un experimento aleatorio y Ω su espacio muestral. Con cada suceso A (A subconjunto de Ω), asociamos un número real llamado la probabilidad de A (P(A)), el que satisface los siguientes axiomas: P(A) 0 P(W) = 1 Si A y B son mutuamente excluyentes: P(A U B) = P(A) + P(B)

Propiedades P(ø) = 0 P(A) + P(Ac) = P(Ω)  P(Ac) = 1 - P(Ω) Si A y B son dos sucesos cualquiera P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Ejemplo Se lanza un dado y se definen los sucesos A= Sale un número par B = Sale un número menor a 5 ¿Calcular la probabilidad de que salga un número par o menor a 5?. Esto es: Puesto que me sirve cualquiera de las dos condiciones

Porque el 2 y 4 los estamos sumando dos veces, por eso se resta Si calculamos esta probabilidad como la suma directa de las probabilidades de ambos conjuntos tendríamos lo siguiente: ¿Porqué pasa eso? Porque el 2 y 4 los estamos sumando dos veces, por eso se resta la intersección Pues solo es A 6 5 4 3 2 1 B W

Ejercicios Sean A y B dos sucesos tales que: P(A) = 3/8 P(B) = ½ y P(A ∩ B) = ¼ Calcule: P(A U B), P(Ac), P(Bc), P(Ac ∩ Bc), P(Ac U Bc), P(A ∩ Bc), P(Ac ∩ B) Respuestas :

Ejercicios Respuestas: 0,5 y 0,375 En una ciudad el 40% de las personas tiene el pelo castaño, el 25% tiene los ojos café y un 15% tiene el pelo castaño y los ojos café. Si se escoge una persona al azar: ¿cuál es la probabilidad que no tenga el pelo castaño ni los ojos café? ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos café si se sabe que tiene el pelo castaño? Respuestas: 0,5 y 0,375

Ejercicios Sean A, B , C sucesos tales que: P(A) = 6/25 P(B) = 6/25 P(C) = 13/50 P(A ∩ B) = 1/10 P(A ∩ C) = 2/25 P(B ∩ C) = 1/10 P(A ∩ B ∩ C) = 3/50 Construya el diagrama de Venn y responda P(A U B), P(A U C), P(A U B U C) P(Ac U Bc U Cc), P(Ac ∩ Bc ∩ Cc) Respuestas: