Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas Simio y Simulación: Modelado, Análisis, Aplicaciones, © 2011 W. David Kelton, Jeffrey S. Smith, David T. Sturrock, David F. Muñoz Actualización más reciente de estas presentaciones: 30 de Noviembre, 2011 Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Introducción Muchas (no todas) las simulaciones son de sistemas de espera, o redes de colas que modelan sistemas reales Los “clientes” llegan, esperan por “servicio”, son atendidos, pueden ir a otra estación, esperan, etc., pueden irse Sistema “Clientes” “Servidores” Manufactura Componentes Máquinas, gente, transporte Clínica Pacientes Doctores, enfermeras, habitaciones Cadena de sum. Envíos, cargas Terminal, almacén, camiones Banco Clientes Cajeros, asesores, centrales Parque de diversión Visitantes Carros, kioskos, centros de atención Lab. de cómputo Estudiantes Computadoras, impresoras, sistemas Telecomunicaciones Mensajes, archivos Terminales, canales, conmutadores Esquina de tráfico Vehículos, personas Segmentos (espacios) en intersección Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Sistema de Colas con un Servidor Registro Cola Mesa Pacientes que llegan salen Pacientes que se registran Tiempos entre llegadas y de servicio aleatorios (distribucio-nes de probabilidad dadas) Interesados en medidas (métricas) de salida como Total de pacientes atendidos en un periodo de tiempo dado Tiempo promedio en cola (tiempo de espera), sin contar la atención Máximo tiempo en cola Promedio (en el tiempo) en cola (área bajo la función “número en cola” entre la longitud del periodo de tiempo) Máximo número de pacientes en cola en un periodo de tiempo dado Tiempo promedio de los pacientes en el sistema Máximo tiempo de los pacientes en el sistema Utilización del servidor (proporción de tiempo ocupado) Puede ser un nodo de una red de colas más grande … Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Clínica para Tratamientos de Urgencia Llegadas aleatorias (sin cita) Probabilidades de ramificación (independientes) Algunas preguntas: ¿Cuánto personal de cada tipo durante qué periodos de tiempo? ¿Cuán grandes deben ser las salas para la espera? ¿Cuál sería el efecto sobre las esperas de los pacientes si los doctores y enfermeras tienden a disminuir (o incrementar) los tiempos de atención de los pacientes? ¿Si llega un 10% más de pacientes (la tasa de llegadas sube 10%)? ¿Debemos atender a los pacientes por orden de severidad o sólo FIFO? Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

¿Porqué Estudiar Colas con Simulación? Lógica y terminología similar en muchos modelos de simulación En ciertos casos, se pueden obtener fórmulas para las medidas de desempeño, que sirven para verificar los modelos de simulación: Generalmente, los modelos de simulación de sistemas complejos no satisfacen las suposiciones de la teoría de colas … pero sí bajo ciertas simplificaciones (e.g., asumiendo tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, aun si en realidad no se cumplen) . Se modifica el modelo de simulación para satisfacer las simplificaciones y se corre por un tiempo grande … se dispone de resultados teóricos de colas sólo para el estado estable (i.e., largo plazo, horizonte infinito). Se compara la salida de la simulación con los resultados teóricos de colas … si están (aproximadamente) de acuerdo, se mejora la confianza en la lógica del modelo de simulación . ¡No olvidarse de regresar el modelo al estado en que debería estar! Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Nuestra Revisión de Teoría de Colas Muy breve– es una área enorme, data de por lo menos 1909, con muchos libros enteros sobre teoría de colas Just give some basic terminology, relationships, results Contrast it with simulation, in addition to its use in simulation verification Pre-requisitos: Probabilidad básica: experimento, espacio muestral, eventos Variables aleatorias (VAs) Discretas vs. continuas Funciones de Probabilidad (FPs) para VAs discretas Funciones de Densidad (FDs) para VAs continuas Funciones de Distribución Acumulativas (FDAs), discretas y continuas Esperanza, varianza y desviación estándar de las VAs Independencia entre VAs (y falta de independencia ) No se incluyen listados de las distribuciones en el libro Disponibles en otros libros o en la web, e.g. http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Estructura de los Sistemas de Espera Ciertas entidades (clientes, pacientes, trabajos) llegan y se atienden en una o varias estaciones, pueden esperar en colas y pueden abandonar el sistema (si lo hacen es un sistema abierto, si nunca salen es cerrado) Una red de colas tiene varias estaciones de colas, donde cada una puede tener uno o varios servidores Con varios servidores, una sola cola “alimenta” a todos los servidores en paralelo, que tienen la misma velocidad de servicio: Disciplinas de atención– ¿Cuando hay varias entidades en la cola, cuál será la próxima en recibir atención? Primero en llegar, primero en ser atendido (FIFO: first-in, first-out) Último en llegar, primero en ser atendido (LIFO) – una “pila” de objetos Prioridad – Shortest Job First (SJF); o Maximum Value First (MVF) Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Medidas de Desempeño en los Sistemas de Espera Tiempo en cola (excluyendo tiempo de atención); en una red: total (suma de todas las esperas) o en cada estación. Tiempo en el sistema, incluye tiempo en cola más tiempo de atención (nuevamente, sobre toda la red o en cada nodo). Número de entidades en cola (i.e., longitud de la cola), no se incluyen entidades siendo atendidas (nuevamente, sobre toda la red o en cada nodo). Número de entidades en el sistema, incluyendo en cola más siendo atendidas (sobre toda la red o en cada nodo). Utilización de un servidor o de un grupo de servidores idénticos, promedio (en el tiempo) del número de servidores que están ocupados entre promedio (en el tiempo) del número de servidores programados. Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Medidas de Desempeño de Colas en Estado Estable Casi todos los resultados teóricos de colas son de estado estable (tiempo → ∞) y sólo para esperanzas (promedios) Notación: Wq = tiempo promedio, en estado estable, que una entidad permanece esperando en la cola (excluyendo el tiempo de atención) W = tiempo promedio, en estado estable, que una entidad permanece en el sistema (en cola más en atención) Lq = número promedio de entidades en cola, en estado estable (no siendo atendidas) L = número promedio de entidades en el sistema, en estado estable (en cola más siendo atendidas)  = utilización de un grupo de servidores idénticos en paralelo, usualmente una estación (nodo) a la vez, no sobre toda la red En algunos casos, existen fórmulas explícitas A menudo, es necesario asumir que los tiempos entre llegadas o de servicio son exponenciales para obtener las fórmulas, que es una limitación clave de la teoría de colas Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Notación de Kendall para los Sistemas de Espera Para una sola estación (nodo) A/B/c/k A denota la distribución del tiempo entre llegadas o proceso de llegadas B denota la distribución del tiempo del tiempo de atención c = número de servidores idénticos en paralelo k = capacidad del sistema (en cola más siendo atendidas) A menudo k = ∞, en cuyo caso generalmente se omite Para A y B: M denota la distribución exponencial (por Markoviano) Em denota la distribución m-Erlang (suma de m VAs exponenciales IID) G denota General (cualquier distribución) Ejemplos: M/M/1, M/M/3, M/E3/2/10, etc. Se pueden “juntar” para sistemas en serie: M/M/2/G/3 Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Regla de Little y Otras Relaciones Relaciones entre métricas de estado estable Wq, W, Lq, L Notación adicional:  = tasa de llegadas = 1/E(tiempo entre llegadas) µ = tasa de atención de un servidor (no de un grupo de c servidores idénticos en paralelo) = 1/E(tiempo de atención) Regla de Little: L = W Cierta para colas G/G/c y sistemas mucho más generales Relaciona L (promedio en el tiempo) con W (promedio de observaciones) Típicamente se conoce , con L o W se conoce la otra También se cumple sólo para la cola: Lq = Wq Relación intuitiva entre tiempo en cola y tiempo en el sistema: W = Wq + E(tiempo de atención) = Wq + 1/µ Combinando las 3 relaciones se pueden obtener todas conociendo una de Wq, W, Lq, L , e.g.: Si conoce (o puede estimar) Wq, entonces L =  (Wq + 1/µ) Si conoce (o puede estimar) L, entonces Wq = L/ – 1/µ Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Resultados Específicos con Varios Servidores Para algunas colas G/G/c hay fórmulas (o ecuaciones que se “resuelven” numéricamente) para métricas de estado estable Recordar que conociendo una se obtienen todas las otras con la regla de Little y otras relaciones Usaremos  = /(cµ) para la utilización (intensidad de tráfico) del grupo de c servidores, debe ser < 1 para asegurar que la cola no explote en el largo plazo M/M/1: L =  /(1 – ) M/M/c: Sea p(n) = probabilidad (en estado estable) de n entidades en el sistema; p(0) = y Lq = M/G/1: Sea  2 = Var(tiempo de atención), Wq = Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Redes de Colas Consisten de nodos, cada uno es una estación G/G/c, conectados por arcos que representan posibles viajes. Se pueden tener llegadas del exterior a cualquier nodo y las entidades pueden salir del sistema por cualquier nodo. Cuando la entidad deja un nodo, puede tomar cualquier arco que sale del nodo, las probabilidades suman 1. Se asume: Todos los tiempos entre llegadas del exterior son exponenciales (procesos de Poisson) e independientes entre sí. Todos los tiempos de atención son indepen- dientes y exponenciales (cada nodo es M/M/c) Todas las capacidades son infinitas La utilización (intensidad de tráfico)  en cada nodo es < 1 Bajo estas suposiciones recibe el nombre de red de Jackson y se sabe mucho sobre ellas Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Redes de Colas … Propiedades del proceso de Poisson: El proceso de salida de un sistema M/M/c es un proceso de Poisson con la misma tasa del proceso de llegadas Ramificación de un proceso de Poisson: si la entidad toma una rama con ciertas probabilidades, cada rama es un proceso de Poisson independiente con tasa = (probabilidad de la rama) × (tasa del proceso de Poisson inicial) Superposición de procesos de Poisson independientes: si varios procesos de Poisson llegan al mismo punto, el resultado es un proceso de Poisson con tasa = suma de las tasas de los procesos que llegan Proceso de Poisson con tasa  Proceso de Poisson con tasa  Tiempos de atención exponenciales Proceso de Poisson con tasa p1 p1 p3 p2 Proceso de Poisson con tasa  Proceso de Poisson con tasa p2 Proceso de Poisson con tasa p3 Proceso de Poisson con tasa 1 Proceso de Poisson con tasa 2 Proceso de Poisson con tasa 1 + 2 + 3 Proceso de Poisson con tasa 3 Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Redes de Colas … Analizar cada nodo de la red de Jackson como una cola M/M/c usando las fórmulas anteriores Calcular tasas de los procesos de entrada/salida usando ramificación y superposición de procesos de Poisson Sea Firma la tasa de llegadas (Poisson) en la estación Firma, asumir tiempos de atención exponenciales: Analizar cada nodo en forma independiente: Firma: M/M/2 con tasa de llegadas Firma Registro: M/M/1, tasa de llegadas 0.9 Firma Salas de Traum.: M/M/2, tasa 0.1 Firma Salas de Exam.: M/M/4, tasa 0.9 Firma Salas de Trat.: M/M/2, tasa (0.9)(0.6) Firma + 0.1 Firma = 0.64 Firma Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Exam = Exam/(3µExam) = 0.9  SignIn/(3µExam) Redes de Colas … Análisis similar para calcular utilizaciones en cada nodo (funciona aún con tiempos entre llegadas ó de atención no exponenciales) Sea µExam la tasa de atención de cada Sala de Exámenes. La intensidad de tráfico “local” en el nodo Sala de Exámenes es Exam = Exam/(3µExam) = 0.9  SignIn/(3µExam) Se puede tener una red más general: Llegadas del exterior a cualquier nodo Ciclos de regreso … generalmente se requiere resolver ecuaciones lineales para determinar las tasas de entrada, no se pueden calcular secuencialmente como en el ejemplo Se utiliza ramificación y superposición de procesos de Poisson para calular las tasas en cada arco y en cada nodo Se debe verificar que las intensidades de tráfico son < 1, de otra forma el análisis no es válido Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas

Teoría de Colas vs. Simulación La teoría de colas tiene la ventaja de ser exacta, i.e., no hay incertidumbre o variabilidad estadística Los resultados de la simulación tienen incertidumbre o variabilidad estadística que debe ser reconocida y medida La teoría de colas también tiene desventajas: Suposiciones poco realistas como tiempos de atención exponenciales (¿moda = 0?), cuestionan la validez del modelo Casi siempre son resultados de estado estable, por lo que no sirven para el desempeño en el corto plazo (transitorio) No hay resultados para todas las distribuciones o para sistemas complejos (las redes de Jackson son sencillas) A pesar de la incertidumbre, la simulación tiene ventajas: No hay restricciones para las distribuciones de entrada o para la complejidad del modelo … se facilita la validación Se puede hacer análisis de corto plazo … en verdad, estado estable es más difícil para la simulación (calentamiento, corridas largas) Sólo tener cuidado con el análisis/diseño estadístico apropiado Capítulo 2 Fundamentos de la Teoría de Colas