Ley de Little Procesos Estocásticos y Teoría de Filas

Presentación del tema: "Ley de Little Procesos Estocásticos y Teoría de Filas"— Transcripción de la presentación:

1 Ley de Little Procesos Estocásticos y Teoría de Filas
Primer Semestre de 2003 Luciano Ahumada Fierro

2 Ley de Little: Introducción
La ley de Little relaciona los valores medios de tres variables de importancia en un sistema: N : Número medio de usuarios en el sistema T : Tiempo promedio de un cliente en el sistema  : Tasa media de arribo al sistema En este caso, “sistema” se utiliza en un sentido amplio, que puede involucrar ya sea la fila y los servidores, sólo la fila o sólo los servidores.

3 Ley de Little: Introducción
Sistema Llegadas () fila servidor Salida N usuarios N es una variable de interés desde el punto de vista del sistema y permite dimensionar los buffers. T, el tiempo de retardo, es una variable de interés desde el punto de vista del usuario, ya que es lo que el debe esperar en la fila antes de ser atendido. La ley de Little relaciona estas variables a través de , la velocidad de entrada al sistema.

4 Ley de Little Se define :
(0,t): número de entradas al sistema en el intervalo (0,t) (0,t): número de salidas del sistema en el intervalo (0,t) (0,t) (0,t) N(t)

5 Ley de Little Se define : Se observa que N(t)=(0,t)-(0,t)
N(t): número de usuarios en el sistema en el instante t Se observa que N(t)=(0,t)-(0,t) (t) (t) N(t) ti Para ti, N(ti) = 3

6 Ley de Little (0,t) tiene unidades de [clientes•segundo]
Además, el área acumulada entre las dos curvas, (0,t) y (0,t), es una medida del tiempo total que todos los clientes han permanecido en el sistema en el intervalo de tiempo [0,t]. Esta cantidad se denomina (0,t). (t) (t) N(t) (t) (0,t) tiene unidades de [clientes•segundo]

7 Ley de Little La cantidad (0,t) es similar al concepto de Horas Hombre (HH). Las horas hombre son un cantidad que permite dimensionar la capacidad de un sistema.

8 Ley de Little Por ejemplo:
Una oficina dispone de 5 personas, cada una trabaja 8 horas diarias. La capacidad de la oficina es de 5•8 = 40 HH. La mantención de una maquinaria automática requiere que un operador manualmente permanezca 10 horas sustituyendo su función en la producción. Se dice entonces que la mantención de la máquina requiere de 10 HH. En el caso de una fila, en un sistema fila-servidor, la capacidad de la fila está dada por el (t) máximo, correspondiente al área acumulada entre las curvas de (0,t) y (0,t), de tal forma que la fila no se revalse.

9 Ley de Little Se define la tasa de llegada promedio en el intervalo [0,t] como (0,t) , donde: Llegadas y Salidas -2 2 4 6 8 10 Tiempo t Número de Clientes (0,t) t : Velocidad Media de Llegada

10 Ley de Little Sea T(0,t), el tiempo promedio que permanece un usuario en el sistema, en el intervalo [0,t]. T(0,t) equivale al tiempo total que permanecen los usuarios en el sistema dividido por el número de entradas en el intervalo (t) : cantidad proporcional al tiempo acumulado por todos los clientes que han estado en el sistema. (t): número de clientes que han estado en el sistema en [0, t] N(t) (t)

11 Ley de Little De acuerdo a las definiciones anteriores, se tiene que :
(0, t) : proporcional al tiempo total de todos los clientes que han permanecido en el sistema en el intevalo[0, t]. (0,t) : número de clientes que han entrado al sistema en el intervalo [0, t]. Por otra parte, se define : número promedio de usuarios en el intervalo (0,t)

12 Ley de Little Combinando las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene
puede calcularse como el cuociente entre una cantidad proporcional al tiempo acumulado que han estado los clientes en el sistema, (t), y el tiempo t. Combinando las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene

13 Ley de Little Asumiendo que el sistema es estable, se cumplen los siguientes límites: Notese que la existencia de estos límites es la única condición que se ha impuesto al sistema

14 Ley de Little Si estos límites existen, también existe el límite para . Sea Entonces se tiene que “Ley de Little”

15 Ley de Little Este es el resultado final de la ley de Little, y establece que el número medio de usuarios en un sistema, es igual a la tasa media de llegadas al sistema multiplicado por el tiempo medio de permanencia de un usuario en el sistema.

16 Ley de Little La Ley de Little relaciona una variable temporal (T, tiempo de retardo) con una variable espacial (N, por ejemplo, tamaño de un buffer) N y T se relacionan a través de , velocidad de llegada.  es en general la variable independiente, “la entrada al sistema” . La ley de Little es útil para evaluar el desempeño de un sistema en términos de su capacidad

17 Ley de Little Es importante notar que para la deducción de esta ley, no se ha hecho ninguna suposición acerca de la distribución de probabilidad de las llegadas Es decir, las llegadas pueden tener, una distribución de Poisson (M), Erlang (Er), determinista (D), llegadas múltiples, etc... En otras palabras, se tiene que, según la notación de Kendall, la ley de Little es válida para una fila con distribución de llegadas general (G)

18 Ley de Little Arribos aleatorios Arribos deterministas
distribución cualquiera Arribos deterministas En ambos casos, la ley de little se cumple, ya que la distribución de las llegadas no fue considerada en la deducción

19 Ley de Little Tampoco se ha hecho ninguna suposición acerca de la distribución de probabilidad del tiempo de atención. Esta distribución puede ser cualquiera. Según la notación de Kendall, la ley de Little es válida para una distribución de tiempo de servicio General (G). Además, el número de servidores en un sistema también es arbitrario. La única condición que se impone es que el factor de utilización  del sistema sea menor que 1.

20 Ley de Little Salidas deterministas
Salidas aleatorias, distribución cualquiera En ambos casos, la ley de little se cumple, ya que la disciplina de atención no fue considerada en la deducción

21 Ley de Little Tampoco se ha hecho ninguna suposición acerca de la disciplina de atención que se esté utilizando. En particular, la disciplina de atención podría ser FIFO, LIFO, o con prioridad. En cualquiera de estos casos, la ley de Little puede aplicarse, ya que en su deducción no se supuso ninguna disciplina en particular.

22 Ley de Little Es importante dejar en claro que un cambio en la disciplina de atención produce cambios en los resultados específicos de N, T y  Sin embargo, la relación entre las tres variables se sigue cumpliendo

23 Ley de Little t1 t2 t1 t2 t3 t3 t1 t1 +t2 t1 +t2 +t3
Por ejemplo, a un sistema llegan tres usuarios. Los tiempos de servicio para cada uno son t1<t2<t3. Si se atiende al trabajo más corto primero (asumiendo que en el instante t todos están presentes) el tiempo de permanencia promedio será: t1 t2 t1 t2 t3 t3 t1 t1 +t2 t1 +t2 +t3 T primer usuario T segundo usuario T tercer usuario

24 Ley de Little t1 t2 t1 t2 t3 t3 t1 t1 +t2 t1 +t2 +t3 t1 t1 +t2
T primer usuario T segundo usuario T tercer usuario t1 t1 +t2 t1 +t2 +t3 Tc

25 Ley de Little t1 t2 t3 t2 t1 t3 t3 t3 +t2 t3 +t2 +t1
En cambio, si se atiende al trabajo más largo primero: t1 t2 t3 t2 t1 t3 t3 t3 +t2 t3 +t2 +t1 T tercer usuario T segundo usuario T primer usuario

26 Ley de Little t1 t2 t3 t2 t1 t3 t3 t3 +t2 t3 +t2 +t1 t3 t3 +t2
T tercer usuario T segundo usuario T primer usuario t3 t3 +t2 t3 +t2 +t1 Tl

27 Ley de Little Del gráfico anterior claramente Tl es mayor que Tc
En este caso, los valores de los tiempos de permanencia promedio varían al cambiar la disciplina de atención Sin embargo, la ley de Little se cumple en ambos sistemas

28 Ley de Little Además, este resultado es válido tanto para el sistema fila-servidor en su totalidad, como para alguna de sus partes Es decir, la ley de Little puede también aplicarse a los servidores o a la fila por separado. En el siguiente ejemplo, se parte considerando la fila y el servidor por separado, para luego ir escalando el tamaño del objeto modelado hasta un sistema de gran envergadura. La ley de Little se cumple en cada uno de los sistemas por separado, así como en el sistema global

29 Ley de Little N=T Nf=fTf NS=STS NS Nf f S Tf TS N usuarios
servidor fila f S Tf TS N usuarios T tiempo medio de permanencia

30 Tiempo medio de servicio
Ley de Little En general, para el análisis de un servidor se tiene que =S servidor S Factor de utilización Tiempo medio de servicio

31 Ley de Little N=T N1=1T1 1 S1 N1 usuarios
servidor fila N1 usuarios T1 1 N1=1T1 S1 sistema N1 usuarios T1 tiempo medio de permanencia

32 Ley de Little N=T  2 N2=2T2 1 N1=1T1 3 N3=3T3 N usuarios
servidor fila N2 usuarios T2 2 N2=2T2 N1 usuarios T1 1 N1=1T1 N3 usuarios T3 3 N3=3T3 N=T N usuarios T tiempo medio de permanencia

33 Ley de Little N=T

34 Ley de Little N=T Internet

35 Ejemplo M/M/1 servidor fila N usuarios T  N=T Supongamos que el cliente “A” llega a una fila donde existen “k” clientes antes que él (k-1 en la fila y 1 en el servidor). Asumiendo tiempo de servicio exponencial de parámetro , es posible concluir que el tiempo medio de servicio será 1/

36 Ejemplo M/M/1 Esto significa que el cliente que está siendo servido, los k-1 clientes esperando en la fila y el Cliente A tendrán un tiempo de servicio promedio de 1/ cada uno. De allí entonces que el tiempo de permanencia promedio en el sistema del cliente A, condicionado a que existen k usuarios antes será:

37 Ejemplo M/M/1 Por lo tanto, la esperanza (valor medio) del tiempo de permanencia en el sistema (T) será

38 Ejemplo M/M/1 Pero E[k]=N, por lo tanto,
Además, de acuerdo a la Ley de Little

39 Ejemplo M/M/1 Despejando T, N de ambas ecuaciones se logra:
Tiempo medio de permanencia en el sistema Número medio de usuarios en el sistema

40 Ejemplo M/M/1 A partir de las ecuaciones anteriores se puede obtener:
Tiempo medio de permanencia en la fila Número medio de usuarios en la fila

41 Ley de Little: Ejemplos
Análisis de un concentrador Análisis de un computador de tiempo compartido

42 Ley de Little: Ejemplos
Análisis de un Concentrador TERMINAL CONCENTRADOR BUFFER

43 Análisis de un Concentrador
La ocupación promedio de un buffer de un concentrador de datos puede ser calculada para diferentes casos. En este tipo de equipos los paquetes entrantes de terminales conectados a él son almacenados en orden de llegada en un buffer, y son entonces leídos en FIFO sobre un enlace de salida de transmisión.

44 Análisis de un Concentrador
Suponganse las siguientes condiciones: 10 terminales están conectados al concentrador. Cada uno genera, en promedio, un paquete cada 8 segundos (distribuidos exponencialmente) Los paquetes tiene un largo promedio de 960 bits Se usa una línea de salida de capacidad de 2400 b/s. ocupación promedio del Buffer = = ? retardo medio en el sistema = T = ? tiempo de espera promedio en la fila = W = ?

45 Análisis de un Concentrador
Modelo : Para modelar el Buffer se usará una Fila M/M/1. Tasa de arribo de paquetes: Cada terminal genera paquetes de acuerdo a una distribución exponencial a una tasa de 1/8 [paquetes /seg] La llegada de paquetes al concentrador tendrá también distribución exponencial, y la tasa de llegada será la suma de las tasas a la que genera cada terminal, es decir: Apéndice

46 Análisis de un Concentrador
La tasa de servicio se calcula como: Por ende, la ocupación media del buffer es: Entonces, el número medio de usuarios en el sistema (Buffer y Servidor) es (Fila M/M/1):

47 Análisis de un Concentrador
Utilizando la Ley de Little, el tiempo medio de cada usuario en el sistema es: El tiempo medio de espera en el buffer es: T W T’=1/μ 

48 Análisis de un Concentrador
En este ejemplo, se conoce la tasa media de llegada  : lo que se quiere encontrar es N y T En una primera aproximación, la ley de Little sólo nos da la relación entre N y T Para conocer los valores exactos de N y T se necesita otro método para despejar alguna de las dos variables En general, encontrar expresiones para el tiempo de permanencia en la fila es más difícil Se utilizan entonces los modelos de teoría de filas “conocidos”, que permiten encontrar el número de usuarios en la fila

49 Ley de Little: Ejemplos
Análisis de un computador de tiempo compartido COMPUTADOR  R P T1 T2 TN D Arquitectura del sistema

50 Análisis de un computador de tiempo compartido
Parámetros del Sistema: N: Número de terminales R: Tiempo medio de espera en cada terminal P: Tiempo medio de procesamiento de cada trabajo. D: Tiempo medio desde que un trabajo es enviado al computador hasta que acaba su ejecución. T=R+D: tiempo medio de un trabajo en el sistema. : Throughput del sistema

51 Análisis de un computador de tiempo compartido
Modelado del Problema B 1 / P CPU TERMINAL 1 2 N  R T D P A Time Sharing

52 Análisis de un computador de tiempo compartido
Condiciones del sistema: N= Constante del sistema Condición Máxima de Utilización: Siempre existe un usuario con trabajo cuando otro acaba de ser atendido. Problema: Encontrar los valores máximos y mínimos de  y T.

53 Análisis de un computador de tiempo compartido
Debido a la hipótesis siempre existen N terminales procesando Aplicando a Ley de Little entre los puntos (A) y (B)

54 Análisis de un computador de tiempo compartido
Retardo mínimo de un trabajo (procesador desocupado) Dmin = P Retardo máximo de un trabajo ( todos los terminales han enviado un trabajo al procesador) Dmax = NP

55 Análisis de un computador de tiempo compartido
Conclusión: P  D  NP Por lo tanto R + P  T  R + NP (1) Aplicando la Ley de Little en (1) (2) Debido a que el procesamiento de un trabajo demora P, se cumple que: (3)

56 Análisis de un computador de tiempo compartido
Combinando (2) y (3), se obtiene: (4) Usando la Ley de Little se obtienen los límites de tiempo para el sistema (5)

57 Retardo Máximo y Mínimo del Sistema
Análisis de un computador de tiempo compartido Retardo Máximo y Mínimo del Sistema R 1 NP: mínimo R+NP:máximo zona de operación R+P

58 Análisis de un computador de tiempo compartido
Al aumentar el número de terminales, el tiempo de retardo aumenta El mínimo tiempo de retardo se obtiene para N=1, lo cual es de esperar por que en este caso el terminal es atendido de inmediato cuando tiene un trabajo

59 Throughput Máximo y Mínimo
Análisis de un computador de tiempo compartido Throughput Máximo y Mínimo NUMERO DE TERMINALES THROUGHPUT 1 / P 1 + R / P

60 Análisis de un computador de tiempo compartido
El máximo throughput es alcanzable cuando N es mayor que 1+R/P Se observa también que al aumentar el número de términales, el throughput se acerca con seguridad al máximo Esto significa un mejor aprovechamiento de los recursos Sin embargo, desde el punto de vista del usuario, el servicio se degrada debido a que aumenta el retardo

61 Análisis de un computador de tiempo compartido
En este ejemplo, no se trata de encontrar expresiones finales para N, T y  La idea es caracterizar el desempeño del sistema (en términos de throughput y retardo) asumiendo ciertas condiciones de operación De esta forma se obtienen valores máximos y mínimos para throughput y retardo en función del número de terminales En este caso, sin necesidad de un modelado del sistema, la Ley de Little provee resultados útiles

62 Apéndices

63 Notación de Kendall para sistemas de filas
Corresponde a un formato abreviado para denotar las características específicas de un proceso de nacimiento y muerte, como lo muestra la figura siguiente. G : General M : Exponencial Tiempo entre arribos G : General M : Exponencial Tiempo de servicio Número de servidores N : Número finito Infinito N :Finito Número de fuentes Infinito L :Finito Longitud de la cola Nota: Normalmente, los infinitos se omiten y la disciplina de atención es FIFO 1/2/3/4/5 23 23 23 23