Control Digital y No Lineal Introducción. Conceptos Fundamentales Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Misiones

Introducción Conocimientos previos necesarios: Teoría de Muestreo de Señales. Modelado de la planta o proceso por: función de transferencia o entrada-salida. en espacio de estados. Efecto de los autovalores del sistema sobre la respuesta transitoria y de régimen permanente. Respuesta en frecuencia: análisis de estabilidad y análisis de desempeño.

Introducción Historia del Control Digital: 1950 se desarrolla en Columbia, la teoría de sistemas de datos muestreados con: Ragazzini, Franklin, Zadeh, Jury, Kuo, entre otros. El interés surge en los (’50) control DDC para misiles y aviones. Los primeros libros de control por computadora datan de finales de la década del ’60. En 1956 se instaló un SCD para refinería de petróleo: 26 caudales y 72 temperaturas y 3 composiciones. MTBF de 50 a 100hs para la CPU. costos elevados. baja confiabilidad. gran consumo de energía. 1 suma en 1ms y 1 multiplicación en 20ms. Escaso desarrollo en lo que hace a sensores.

Historia del Control Digital: En el ’62 en una industria química en UK (Imperial Chemical Industries), un control digital con 224 entradas y un comando de 129 válvulas. DDC (Control Digital Directo) 1 suma en 0,1ms y 1 multiplicación en 1ms. MTBF 1000hs para la CPU. Incorporación de teclados y pantallas. Fácil reconfiguración del sistema. Segunda mitad de los ’60 realidad se altera sustancialmente con las minicomputadoras. 1 suma en 2 ms y 1 multiplicación en 7ms. MTBF aumenta a 20.000hs. Se reducen los costos para pequeños proyectos.

Introducción Historia del Control Digital: Más aún a mediados de los ’70 e inicio de los ’80 con el surgimiento de las microcomputadoras y mediados de los ’80 con la PC. Costo promedio bajo (U$S 500) Consumo de energía despreciable. Ya se habla de control dedicado para cada variable o grupo de ellas. Se observa un desarrollo importante de la teoría de control Surgen los PLC para control distribuido y secuenciamiento lógico. Comienza entonces, el desarrollo de paquetes de software tan importantes como ORACLS, Program CC, Control-C, PC-Matlab, MATRIXx, Easy5, SIMNON, SABER y muchos otros.

¿Porqué Control Digital? Control Digital versus Control Analógico Facilidad de Implementación; Flexibilidad de Actualización; Permite reducir el número de componentes; Interfaz Hombre-Máquina Insensibilidad a ruidos y variación paramétrica de componentes Gran disponibilidad de DSCs, mC, PC’s Industriales con periféricos dedicados y PLC’s. ¿Porqué Control Digital?

¿Porqué Control Digital? Control Digital versus Control Analógico ¿Porqué Control Digital? Presenta varias ventajas respecto al Control Analógico Permite implementar técnicas de control sofisticadas que tienen en cuenta: - Variaciones paramétricas, tolerancias, no linealidades. Técnicas de control Clásicas; Técnicas de control de Auto Análisis y Auto Sintonía; Técnicas de control de Tiempo Mínimo, (Deadbeat); Técnicas de control Predictivas.

Control Digital versus Control Analógico Técnicas de control adaptativas; Identificación paramétrica de procesos; Modelos de referencia; Técnicas de control robustas. Múltiples lazos de control a diferentes tazas de muestreo. Técnicas de Optimización. Control distribuido o jerárquico. Posibilita implementar sistemas de alarmas, registro y envío de datos, etc.

Control Digital: Espectro de Aplicaciones Control de Servo Motores de Corriente Continua, Fuentes Ininterrumpidas de Energía Eléctrica (UPS), Industria Aeroespacial, Control de Motores de Inducción de baja y alta tensión, Fuentes de Alimentación en Modo Conmutación Control de tensión y frecuencia, potencia activa y reactiva en usinas de generación: parques eólicos, pequeñas centrales hidroeléctricas, sistemas fotovoltaicos, motores de combustión interna, entre otros.

Dispositivos programables disponibles mC DSC’s PSoC FPGA Arquitecturas Von Neumann, Harvard y Hardvard Modificada: CISC y RISC CPU’s de hasta 32 bits y gran capacidad de memoria DSC’s: Procesadores matemáticos de aritmética de punto fijo y punto flotante DSC’s y Microcontroladores: Diseñados específicamente para tareas de CONTROL y COMANDO PSoC: Dispositivos programables mixtos, analógicos y digitales FPGA: Dispositivos programables digitales.

DSC’s TMS320F241

Consideraciones para seleccionar microcontroladores o DSC’s DESEMPEÑO DINÁMICO: Frecuencia de Muestreo del conversor A/D. Resolución del conversor A/D. Clock (ciclo mínimo de instrucción) (MIPS). Tamaño de palabra de la memoria de datos: cuantificación. Unidad aritmético-lógica de punto fijo o de punto flotante. Conjunto de instrucciones, cantidad de interrupciones y periféricos disponible Modulador PWM y Resolución en bits

Consideraciones para seleccionar microcontroladores o DSC’s DESEMPEÑO DINÁMICO: Módulo de Captura para Codificadores de Posición y Velocidad Memoria, Conjunto de Instrucciones y Cantidad de Interrupciones Tamaño de la memoria de datos y de programa. COSTO: Hoy día esta cuestión es relativa y no incide significativamente. Depende de la dimensión del proyecto. Disponibilidad de herramientas de desarrollo. Costos de las placas de evaluación.

Diferentes Tipos de Señales Señal Analógica o de Tiempo Continuo: Está definida en un intervalo continuo de tiempo, cuya amplitud puede adoptar infinitos valores en este intervalo. Señal Cuantificada en Tiempo Continuo: Su amplitud asume un N° finito de diferentes valores en un intervalo de tiempo continuo de tiempo. Señal de Tiempo Discreto o de Datos Muestreados: Es una señal definida solo a instantes discretos de tiempo. Señal Digital: Es una señal de tiempo discreto cuantificada en amplitud y en tiempo. Representada por una secuencia de números, binarios o hexadecimales.

Sistema de Control Digital Controlador Digital: Es muy importante que las señales estén cuantificadas, tanto en amplitud como en tiempo.

Proceso de Muestreo, Conversión de Datos y Cuantificación Muestreo: Muestras de la señal analógica a intervalos regulares. Frecuencia de Muestreo debe ser adecuadamente seleccionada: fm ≥ 2xfmax Retención: Retiene la muestra de la señal analógica por el tiempo que el ADC necesite para efectuar la conversión. Conversión y Cuantificación: Efectúa la correspondencia entre los valores de la señal analógica muestreada y los estados digitales posibles según el N° de bits del ADC. El rango de valores de la muestra puede ser infinito y el valor de salida del ADC es finito.

Proceso de Muestreo, Conversión de Datos y Cuantificación Muestreo y Retención: Rs ≈ 0 Retención Muestreo

Proceso de Muestreo, Conversión de Datos y Cuantificación Muestreo y Retención: Ta : Tiempo de adquisición ei (t) ± 0,1% Valor final Tp : Tiempo de apertura Ts : Tiempo de asentamiento Atenuación en Modo Retención Impedancia de Entrada Elevada

Proceso de Muestreo, Conversión de Datos y Cuantificación Muestreo y Retención: Seguimiento, p Frecuencia de Muestreo Uniforme

Proceso de Muestreo, Conversión de Datos y Cuantificación Muestreo y Retención: Diagrama de Bloques

Proceso de Muestreo, Conversión de Datos y Cuantificación Muestreo y Retención: Circuito Ideal Modulador de Amplitud de Pulsos 21

Proceso de Muestreo: Topologías Lazo abierto: Seguidor en Cascada Las configuraciones de los amplificadores pueden ser tanto inversoras como no inversoras. Lazo cerrado: Seguidor de Salida Lazo cerrado: Integrador de Salida 22

Proceso de Muestreo: Topologías S/H Comerciales: AD582, 583 y 585: (1970 a 1980). 1 S/H en un solo chip Tiempo total de adquisición y retención: 6,7ms AD684: 4 S/H en un solo chip Tiempo total de adquisición y retención de c/u: 1,515ms AD783: Very High Speed. 1 S/H en un solo chip Tiempo total de adquisición y retención de c/u: 480ns 23

Proceso de Conversión de Datos y Cuantificación Conversión Analógica a Digital: Proceso de conversión se realiza en un tiempo Dt finito. De aquí la importancia de la retención de la señal adquirida. Existen diferentes métodos: Por aproximaciones sucesivas (Buena resolución y velocidad) Por contador o tipo servo En paralelo (Alta velocidad y circuitería compleja) Por integración. De simple y doble rampa (Muy precisos pero lentos) S-Delta. (Muy buena precisión. Costos elevados)

Proceso de Conversión de Datos y Cuantificación Conversión Analógica a Digital: Pueden encontrarse conversores A/D desde 6 hasta 24 bits. Mayor resolución → Mayor número de bits, incrementa circuitería, resultando más costosos y hace que el tiempo de conversión aumente. Los tiempos de muestreo y conversión representan un atraso de transporte Pueden tener efectos adversos sobre la estabilidad del sistema de control. Este tiempo dependerá de la resolución y del método de conversión. Los conversores AD más utilizados en mC y DSC’s utilizan el método de conversión por aproximaciones sucesivas. Con resoluciones entre los 8 y 16 bits.

Conversión Analógica a Digital: Parámetros de interés Tiempo de conversión: Resolución: Exactitud: Error máximo: Dado el N° finito de niveles, el valor analógico resulta redondeado o truncado, cuando se convierte a una señal digital.

Conversores AD Comerciales AD7949: Aproximaciones sucesivas, 14bits, 250kS/seg Tiempo total de adquisición y conversión: 4,0ms AD7357: Dual. Aproximaciones sucesivas, 14bits, 4,2MS/seg Tiempo total de adquisición y conversión: 240ns AD7760: S-Delta, 24bits, 2,5MS/seg. Tiempo total de adquisición y conversión: 400ns AD7490: 16 canales Aproximaciones sucesivas, 12bits, 1MS/seg. Tiempo máximo de adquisición y conversión: 800ns 27

Conversores AD Controladores Digitales de Señal Conversores AD DSC’s: TMS320F240 a 243: Aproximaciones sucesivas, 10bits, 0,5MS/seg Tiempo total de adquisición y conversión: 1ms (una conversión) o 1,7ms (dos conversiones simultáneas). TMS320LF2407: Aproximaciones Sucesivas, 10bits, 1MS/seg Tiempo total de adquisición y conversión: 375ns (una conversión. TMS320F2812 o TMS320F28335: Aprox. Sucesivas, 12bits, 6,25MS/seg Tiempo total de adquisición y conversión: 80ns (una conversión) o hasta 200ns (dos conversiones simultáneas). TMS320F28377D Dual-Core Delfino: Resolución de 16 o 12 bits. Aprox. Sucesivas, 4,4MS/s o 14MS/s. Diferencial o Simples. 28

Muestreador y Retenedor de Datos Muestreador por Impulsos En t = kT: Siendo: 29

Muestreador y Retenedor de Datos Muestreador por Impulsos 30

Muestreador y Retenedor de Datos Reconstrucción de Señales Muestreadas Espectro de Amplitud de F*(s) Característica de amplitud de un filtro ideal 31

Muestreador y Retenedor de Datos Aproximación deseada por expansión en series de potencia de f(t) A mayor aproximación requerida mayor es el atraso de tiempo involucrado 32

Muestreador y Retenedor de Datos Primera Aproximación: ZOH Segunda Aproximación: FOH (First-Order Hold ) 33

Muestreador y Retenedor de Datos Retenedor de Orden Cero (ZOH): Filtro pasa bajos Impulso Unitario Respuesta del ZOH 34

Muestreador y Retenedor de Datos Retenedor de Orden Cero (ZOH) Respuesta al Impulso del ZOH Aplicando la Transformada de Laplace: 35

Muestreador y Retenedor de Datos Función de Transferencia Retenedor de Orden Cero (ZOH) 36

Muestreador y Retenedor de Datos Función de Transferencia del Retenedor de Orden Cero (ZOH) 37

Muestreador y Retenedor de Datos Retenedor de Orden Cero (ZOH): Análisis en frecuencia En régimen permanente senoidal: Puede ser reescrita de la siguiente forma: Filtro pasa bajos ideal 38

Muestreador y Retenedor de Datos Retenedor de Orden Cero (ZOH): Análisis en frecuencia El ZOH es un filtro pasa bajos en serie con un atraso de T/2 segundos 39

Muestreador y Retenedor de Datos Aproximación de Padé de un atraso puro: Con esta aproximación, la función de transferencia del ZOH resulta: Salida del ZOH presenta componentes de alta frecuencia Desplaza la fundamental en T/2 segundos 40

Muestreador y Retenedor de Datos Bode con Aproximación de Padé de primer orden: Finalmente, el ZOH puede aproximarse por: 41

Función Irracional de “s” Transformada Z Herramienta de análisis de sistemas discretos análoga a la transformada de Laplace para sistemas continuos. Transforma una secuencia discreta de números en una secuencia de variable compleja “z” Útil para el análisis y el diseño clásico de sistemas de control. Dificultad: Transformadas inversas de funciones irracionales. Función Irracional de “s” Para facilitar la obtención de la función f(t) se utiliza la transformación de variable compleja o transformación conforme: 42

Transformada Z Función Racional F(z) Se muestrea f(t) con un muestreador ideal, Se toma la transformada de Laplace de f*(t) para hallar F*(s), Se reemplaza esT por z-k para obtener F(z). Desventaja: La expresión resulta en una serie infinita en z-k por lo que es necesario un esfuerzo adicional para obtener F(z) en forma cerrada. 43

Transformada Z Limitaciones de la Transformada Z: Hipótesis del Muestreador Ideal. Exactitud del método de la transformada Z. No unicidad de la transformada Z inversa La simplicidad y ventajas superan mucho la desventaja de la No Unicidad de la transformada Z inversa . 44

Selección de la Frecuencia de Muestreo

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Introduce ∞ polos periódicamente espaciados sobre el eje jw La Transformada Z, traslapa estos ∞ polos en un N° finito de polos en el plano-z Re(z) Im(z) Plano-z Plano-s

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Consideramos la banda primaria

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Semiplano izquierdo abierto del plano-s Plano s

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Semiplano derecho abierto del plano-s

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Regiones de s constante Plano s Plano z

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Regiones de wd constante Plano s Plano z

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Regiones de x constante

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Regiones a wn constante Plano s Regiones a wd constante son normales a las de s constante

Relaciones entre el plano-s y el plano-z Región Deseada para proyecto

Aspectos del Diseño de Controladores Discretos MODELOS CONTÍNUOS Obtención del Modelo Nominal de la Planta MODELOS DISCRETOS Diseño del Controlador Continuo Discretización del Controlador Modelo Continuo Implementación Diseño del Controlador Discreto Modelo Discreto Implementación

Compensadores de Atraso o de Adelanto Controladores de Tiempo Continuo Discretizados o Aproximados Controladores de Tiempo Continuo: Proporcional (P); Proporcional + Integral (PI); Proporcional + Derivativo (PD) y Proporcional + Integral + Derivativo (PID) Compensadores de Atraso o de Adelanto Discretización del Controlador Continuo - Aproximaciones de Euler - Utilizando un (ZOH) - Transformación Bilineal, etc. DESVENTAJA: NO INCLUYE ATRASO DE TRANSPORTE

Controladores de Tiempo Continuo Discretizados o Aproximados Discretización del Controlador Continuo - Aproximaciones de Euler - Utilizando un (ZOH) - Transformación Bilineal, etc. DESVENTAJA: NO INCLUYE ATRASO DE TRANSPORTE 57

Controladores de Tiempo Discreto VENTAJAS DEL MODELO de TIEMPO DISCRETO - Permite modelar los atrasos - Controlador en la forma adecuada para su implementación - Resulta fácil la implementación de sistemas con diferentes frecuencias de muestreo

Controladores de Tiempo Discreto: Proporcional (P); Proporcional + Integral (PI); Proporcional + Derivativo (PD); Proporcional + Integral + Derivativo (PID); De Tiempo Mínimo o Deadbeat (por F.T o R.E); Regulador Lineal Cuadrático Discreto (Energía Mínima); Servo Controlador con Realimentación de Estados; Modelo Interno; Controladores Adaptativos e Identificación Paramétrica; Observadores de Estados; Sistemas de control con múltiples lazos y diferentes frecuencias de muestreo. Predictivos

Sistemas Muestreados en Lazo cerrado r(kT): un valor constante o un bloque de memoria dentro del mP

Especificaciones del Sistema de Control Especificaciones de Desempeño deseadas: Error nulo en régimen permanente; Respuesta transitoria rápida; Estabilidad, ABSOLUTA y RELATIVA y ; Robustez a los cambios en los parámetros del sistema; Rechazo de disturbios; Esfuerzo del controlador (Optimización de Energías)